勾股定理难题

勾股定理典型例题勾股定理典型例题 例题精讲例题精讲 1 1 例例如图是一个长方体盒子 尺寸如图所示 在长方体下底部的 A 点有一只蚂 蚁 它想吃到上底面 B 点的食物 BC 3cm 需爬行的最短 路程是多少 2 2 练练如图所示 有一个圆柱形状的建筑物 底面直径为 8 m 高为 7 m 为方便工作人员从底部 A 点到达顶部的 B 点 要绕建筑物修一螺 旋状的梯子 试求梯子最短为多少米 取 3 5 一种盛饮料的圆柱形杯 测得内部底面半径为 2 5 高为 12 吸管放进杯里 杯口外面至少要露出 4 6 问吸管要做多长 例题精讲例题精讲 3 3 例例一个直角三角形的两条直角边长为 a b 斜边上的高为 h 斜边长为 c 则以 c h a b h 为边的三角形的形状是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 随堂练习随堂练习 1 1 直角三角形的两条直角边长为 a b 斜边上的高为 h 则下列各式中总能成立的 是 A ab h2 B a 2 b 2 2h 2 C D a 1 b 1 h 1 2 1 a 2 1 b 2 1 h 2 以下各组正数为边长 能组成直角三角形的是 B A a 1 2a a 1 B a 1 2 a 1a C a 1 a 1 D a 1 a a 12a2 3 已知 ABC 的三边为 a b c 且 a b 4 ab 1 c 试判定 ABC14 A C B 9cm 12cm 16cm C A D B E C D B A 的形状 4 若 ABC 三边 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c ABC 是直角 三角形吗 为什么 实际应用实际应用 5 5 例例如图 公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇 点 A 处有一所中学 AP 160 米 点 A 到公路 MN 的距离为 80 米 假使拖拉机行驶时 周围 100 米以内会受到噪 音影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到影响 请 说明理由 如果受到影响 已知拖拉机的速度是 18 千米 小时 那么学校受到影响的时间为多少 随堂练习随堂练习 1 1 练练如图 5 所示 一条清水河的同旁有两个村庄 A 和 B 到河岸 l 的距离分别为 3 千米和 5 千米 两个村的水平距离 CD 6 千米 问 要在河边修一个水泵站 向两个村供水 需要的水管最少应为多少千米 2 如图所示的一块地 ADC 90 AD 12m CD 9m AB 39m BC 36m 求这 块地的面积 3 如图 一个梯子 AB 长 2 5 米 顶端 A 靠在墙 AC 上 这时 梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1 5 米 梯子滑动后停在 DE 的位置 上 测得 BD 长为 0 5 米 求梯子顶端 A 下落了多少米 A P QM N 4 如图 铁路上 A B 两点相距 25km C D 为两村庄 DA AB 于 A CB AB 于 B 已知 DA 15km CB 10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E 使得 C D 两村到 E 站 的距离相等 则 E 站应建在离 A 站多少 km 处 5 如图 某学校 A 点 与公路 直线 L 的距离为 300 米 又与公路车站 D 点 的距离为 500 米 现要在公路上建一个小商店 C 点 使之与该校 A 及车站 D 的距离相等 求商店与车站之间的 距离 6 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行驶时 周围 100m 以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖 拉机的速度为 18km h 那么学校受影响的时间为多少秒 7 如图 某货船以 20 海里 时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处 经 16 小时的航行到达 到达后必须立即卸货 此时 接到气象部门通知 一台风中心正以 40 海 里 时的速度由 A 向北偏西 60 方向移动 距台风中心 200 海里的圆形区域 包括边界 均会受到影响 1 问 B 处是否会受到台风的影响 请说明理由 2 为避免受到台风的影响 该船应在多少小时内卸完货物 供选用数据 1 4 1 7 23 A D E B C C B A D 9 在一次课外实践活动中 同学们要测量某公园人工湖两侧AB 两个凉亭之间的距 离 现测得30AC m 70BC m 120CAB 请计算AB 两个凉亭之间的距 离 5 如图 1 在水塔 O 的东北方向 32m 处有一抽水站 A 在水塔的东南方向 24m 处有一建 筑工地 B 在 AB 间建一条直水管 则水管的长为 B A 45m B 40m C 50m D 56m 6 一艘轮船以 16 海里 时的速度离开 A 港向东南方向航行 另一艘轮船同时以 12 海里 时的速度离开 A 港向西南方向航行 经过 1 5 小时后它们相距 海里 7 如图 要在河边修建一个水泵站 分别向张村 李村送水 已知张村 A 李村 B 到河边 的距离分别为 2km 和 7km 且张 李二村庄相距 13km 1 水泵站应建在什么地方 可使所用的水管最短 请在图是设计出水泵站的位 置 2 如果铺设水管的工程费用为每千米 1500 元 请求出 8 如图 2 一段楼梯 高 BC 是 3 斜边 AB 是 5 如果楼梯上铺毯 那么地毯至少需要 A 5 B 6 C 7 D 8 9 如图 A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 320km 的 B 处 以每小时 40km 的速度 向北偏东 60 的 BF 方向移动 距离台风中心 200km 的范围内是受台风影响的区域 1 A 城是否受到这次台风的影响 为什么 2 若 A 城受到这次台风影响 那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间 10 一架 25 分米长的梯子 斜立在一竖直的墙上 这时梯足距离墙底端 7 分米 如果梯子的 顶端沿墙下滑 4 分米 那么梯足将滑动 A 9 分米 B 15 分米 C 5 分米 D 8 分米 11 要登上 12m 高的建筑物 为安全起见 需要使梯子的底端离建筑物 5m 至少需要 m 长的梯子 12 有一个边长为 1 米正方形的洞口 想用一个圆形盖去盖住这个洞口 则圆形盖半径至为 米 13 如图所示 某人到岛上去探宝 从 A 处登陆后先往东走 4km 又往北走 1 5km 遇到障 碍后又往西走 2km 再折回向北走到 4 5km 处往东一拐 仅走 0 5km 就找到宝藏 问 登陆点 A 与宝藏埋藏点 B 之间的距离是多少 东东 北北 F F E E A A B B 14 有一只小鸟在一棵高 4m 的小树梢上捉虫子 它的伙伴在离该树 12m 高 20m 的一棵 大树的树梢上发出友好的叫声 它立刻以 4m s 的速度飞向大树树梢 那么这只小鸟至少几 秒才可能到达大树和伙伴在一起 15 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上 旗杆从旗顶到地面的高度为 320cm 在无风的天 气里 彩旗自然下垂 如右图 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h 彩旗完全展平时 的尺寸如左图的长方形 单位 cm 折叠问题折叠问题 例题精讲例题精讲 例例 1 1 如图 一块直角三角形的纸片 两直角边 AC 6 BC 8 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 求 CD 的长 随堂练习随堂练习 如图 折叠一个直角三角形的纸片 使 A 与 B 重合 折痕为 DE 若已知 AC 10cm BC 6cm 你能求出 CE 的长吗 A B 4 1 5 2 4 5 0 5 例题精讲例题精讲 例例 2 2 三角形 ABC 是等腰三角形 AB AC 13 BC 10 将 AB 向 AC 方向对折 再将 CD 折叠到 CA 边上 折痕 CE 求三角形 ACE 的面积 例题精讲例题精讲 例例 3 3 边长为 8 和 4 的矩形 OABC 的两边分别在直角坐标系的 X 轴和 Y 轴上 若 沿对角线 AC 折叠后 点 B 落在第四象限 B1 处 设 B1C 交 X 轴于点 D 求 三角 形 ADC 的面积 随堂练习随堂练习 折叠矩形纸片 先折出折痕对角线 BD 在绕点 D 折叠 使点 A 落在 BD 的 E 处 折痕 DG 若 AB 2 BC 1 求 AG 的长 1 折叠长方形的一边 AD 点 D 落在 BC 上的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10cm 则 EC 的长是 2 有一个直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿 CAB 的 角平分线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合则 CD 的长等于 B A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm 3 6 已知矩形 ABCD 沿直线 BD 折叠 使点 C 落在 C 处 BC 交 AD 于 E AD 8 AB 4 则 DE 的长为 A 3 B 4 C 5 D 6 4 如图 一块直角三角形的纸片 两直角边 AC 6 BC 8 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 则 CD 等于 5 已知 如图 ABD C 90 AD 12 AC BC DAB 30 求 BC 的长 2 如图 将一个边长分别为 4 8 的长方形纸片ABCD折叠 使C点与A点重 合 则EB的长是 A 3B 4 C D 5 5 一 利用勾股定理来解题 一 直接应用 1 ABC 若 A B C AC 则 AB BC S ABC 2 1 3 1 33 2 如图 2 已知 AB CD ABD BCE 都为等腰三角形 若 CD 7 BE 3 则 AC 长为 A 8 B 5 C 4 D 3 3 如图 6 在 Rt ABC 中 C 90 D 是 BC 边上一点 且 BD AD 10 ADC 60 则 ABC 的 A C D B A D B C B A C D 第14题图 E 16 题 F E D C B A 面积是 4 如图 8 在四边形 ABCD 中 BAD 90 AD 4 AB 3 BC 12 则正方形 DCEF 的面积是 5 若等腰三角形中相等的两边长为 10cm 第三边长为 16 cm 那么第三边上的高为 A 12 cm B 10 cm C 8 cm D 6 cm 6 如图 8 ACB 90 AC 12 BC 5 AD AE BE BC 则 DE 的长为 A 4 B 3 C 2 D 5 二 多解题 1 在 Rt ABC 中 已知两边长为 3 4 第三边的长是 2 已知在 ABC 中 AB 4 AC 3 BC 边上的高等于 2 4 那么 ABC 的周长是 3 ABC 中 AB 15 AC 13 高 AD 12 则 ABC 的周长为 A 42 B 32 C 37 或 33 D 43 或 32 二 利用勾股定理列方程 1 等腰三角形底边上的高为 8 周长为 32 则三角形的面积是 2 直角三角形中 两直角边上的中线长分别为 5 和 则斜边长为 40 3 已知 RT ABC 的周长为 4 2 斜边 AB 的长为 2 RT ABC 的面积为 33 4 在平静的糊面上 有一支红莲 高出水面 1 米 一阵风吹来 红莲被吹到 一边 花朵齐及水面 已知红莲移动的水平距离为 2 米 则水深是 5 如图所示 一个梯子 AB 长 5 米 顶端 A 靠在墙 AC 上 这时梯子下端 B 与墙角 C 间 的距离为 3 米 梯子滑动后停在 DE 的位置上 测得 DB 的长为 1 米 则梯子顶端 A 下 落了 米 6 2002 年在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的 勾股圆方图 它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形 如图 4 所示 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积是 1 直角三角形的最短边为 a 较 长直角边为 b 那么 a b 2的值为 C A 13B 19 C 25 D 169 7 如图 7 ABC 中 AB 26 BC 25 AC 17 那么 S ABC 8 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门 如果把竹竿竖放就比门高出 1 尺 斜放就恰好等于门的对角线 已知门宽 4 尺 求竹竿高与门高 9 根旗杆高 10 米 折断后顶端落地离底端 8 米处 则旗杆折断处离地面有 米 10 一个直角三角形的三边为三个连续偶数 则它的三边长分别为 三 面积法和勾股定理 E A CB D AA B BC C D E 1 已知一个直角三角形的两条直角边分别是 6 8 那么这个直角三角形斜边上 的高为 五 添加辅助线构造直角三角形 1 如图 1 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 点 M 为 BC 的中点 MN AC 于点 N 则 MN 等于 A B C D 5 6 5 9 5 12 5 16 2 如图 在四边形 ABCD 中 A B D AB 2 CD 1 则 BC 和 AD 0 60 0 90 的长分别为多少 3 图 5 四边形 ABCD 中 AB 3cm BC 4cm CD 12cm DA 13cm 且 ABC 90 则四边形 ABCD 的面积是 B cm2 A 84 B 36 C D 无法确定 2 51 4 知在 ABC 中 B 45 C 30 BC 3 3 则 AB 的长为 3 六 展开图构造直角三角形 1 如图 2 一圆柱体的底面周长为 24cm 高 AB 为 4cm BC 是直径 一只蚂蚁从 A 出发 沿着圆柱体的表面爬到点 C 的最短路程大约是 C B A 6cm B 12cm C 13cm D 16cm 2 如图 5 是一个长 8m 宽 6m 高 5m 的仓库 在其内壁的 A 长的四等分点 处有一只 壁虎 B 宽的三等分点 处有一只蚊子 则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 m 3 如图 5 一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点 B 则它走过的最短路 程为 A B C 3a D a3a5a 21 七 用勾股定理来构造面积来解题 1 如图 以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形 其面积分别为S1 S2 S3 且 S1 4 S2 8 则 S3 2 如图中所有三角形是直角三角形 所有四边形是正方有形 144 9 31 ss169 4 s 2 s 3 在直线 L 上依次摆放着七个正