数值分析实验(4)

实验四实验四 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 专业班级 信计 131 班 姓名 段雨博 学号 2013014907 一 实验目的 1 熟悉 matlab 编程 2 学习数值积分程序设计算法 3 通过上机进一步领悟用复合梯形 复合辛普森公式 以及用龙贝格求积方法计算积分的 原理 二 实验题目 P137 1 用不同数值方法计算积分 1 0 4 ln 9 xxdx 1 取不同的步长 分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分 给出误差中关于的hh 函数 并与积分精确值比较两个公式的精度 是否存在一个最小的 使得精度不能再被h 改善 2 用龙贝格求积计算完成问题 1 三 实验原理与理论基础 1 1 复合梯形公式及其复合辛普森求解 11 1 01 2 22 nn nkkk kk hh Tf xf xf afxf b 误差关于 h 的函数 2 12 n ba Rfh f 复合辛普森公式 11 1 2 01 42 6 nn nkk kk h Sf afxfxf b 误差关于 h 的函数 4 4 1802 nn bah RfISf 1 2 龙贝格求积算法 龙贝格求积公式是梯形法的递推化 也称为逐次分半加速法 它是在梯形公式 辛普森公 式和柯特斯公式之间的关系的基础上 构造出一种计算积分的方法 同时它有在不断增加 计算量的前提下提高误差的精度的特点 计算过程如下 1 取 求 0 khba 0 0 2 h Tf af bka b 令k1记为区间的二分次数 2 求梯形值即按递推公式计算 0 2k ba T 1 21 0 2 1 22 n nn k k h TTfx 0 k T 3 求加速值 按公式逐个求出 T 表的地 k 行其余各 1 11 44 4141 mm kkk mmm mm TTT 元素 1 2 kj j Tjk 4 若 预先给定的精度 则终止计算 并取 00 1kk TT 转 2 继续计算 0 1 k TIkk 否则令 T 表 kh 0 k T 1 k T 2 k T 3 k T 4 k T 0b a 0 0 T 1 2 ba 1 1 0 T 0 1 T 2 4 ba 2 2 0 T 3 1 1 T 0 2 T 3 8 ba 4 3 0 T 5 2 1 T 6 1 2 T 0 3 T 4 16 ba 7 4 0 T 8 3 1 T 9 2 2 T 10 1 3 T 0 4 T 上表指出了计算过程 第二列给出了子区间长度 i 表示第 i 步外推 2k ba h 可以证明 如果充分光滑 那么 T 表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积 f x 分 I 四 实验内容 程序设计如下 1 复合梯形法 M 文件 function t natrapz fname a b n h b a n fa feval fname a fb feval fname b f feval fname a h h b h 0 001 h t h 0 5 fa fb sum f 2 复合辛普森法 M 文件 function t natrapz fname a b n h b a n fa feval fname a fb feval fname b f1 feval fname a h h b h 0 001 h f2 feval fname a h 2 h b h 0 001 h t h 6 fa fb 2 sum f1 4 sum f2 3 龙贝格算法 M 文件 function I step Roberg f a b eps if nargin 3 eps 1 0e 4 end M 1 tol 10 k 0 T zeros 1 1 h b a T 1 1 h 2 subs sym f findsym sym f a subs sym f findsym sym f b while tol eps k k 1 h h 2 Q 0 for i 1 M x a h 2 i 1 Q Q subs sym f findsym sym f x end T k 1 1 T k 1 2 h Q M 2 M for j 1 k T k 1 j 1 T k 1 j T k 1 j T k j 4 j 1 end tol abs T k 1 j 1 T k j end I T k 1 k 1 step k 1 复合梯形法运行 format long natrapz inline sqrt x log x eps 1 10 format short ans 0 417062831779470 format long natrapz inline sqrt x log x eps 1 100 format short ans 0 443117908008157 format long natrapz inline sqrt x log x eps 1 1000 format short ans 0 444387538997162 2 复合辛普森法运行 format long natrapzz inline sqrt x log x eps 1 10 format short ans 0 435297890074689 format long natrapzz inline sqrt x log x eps 1 100 format short ans 0 444161178415673 format long natrapzz inline sqrt x log x eps 1 1000 format short ans 0 444434117614180 3 龙贝格算法运行 q s Roberg sqrt x log x 0 0000001 1 q 0 4444 s 9 五 实验结果 1 复合梯形法结果 format long natrapz inline sqrt x log x eps 1 10 format short ans 0 417062831779470 format long natrapz inline sqrt x log x eps 1 100 format short ans 0 443117908008157 format long natrapz inline sqrt x log x eps 1 1000 format short ans 0 444387538997162 2 复合辛普森法结果 format long natrapzz inline sqrt x log x eps 1 10 format short ans 0 435297890074689 format long natrapzz inline sqrt x log x eps 1 100 format short ans 0 444161178415673 format long natrapzz inline sqrt x log x eps 1 1000 format short ans 0 444434117614180 3 龙贝格算法结果 q s Roberg sqrt x log x 0 0000001 1 q 0 4444 s 9 实验结论 对比以上的计算结果可得 复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的 精度要高 且当步长取不同值时 即越大 越小时 积分精度越高 实验结果说明不nh 存在一个最小的 使得精度不能再被改变 由两个相应的关于的误差余项hh 其中 可知愈 2 12 n ba Rfh f 4 4 1802 n bah Rff a b h 小 余项愈小 积分精度越高 六 实验结果分析与小结 1 通过这次实习 加深了对复合梯形法 复合辛普森法和龙贝格法的理解 之前学习这三 个算法时觉得特别麻烦 公式那么长 而且不是很理解 这次实习对三种算法的编程 对 三种算法进行详细地分析 现在理解了算法的过程 在编写函数程序的过程中也在不断地 提高和改进 有些虽然不是很熟 也不太清楚到底怎么做 但是查阅了之后就懂了 2 在编写程序 进行算法设计还是会出现很大问题 有程序运行不出来修