徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷

徐州 宿迁市徐州 宿迁市 20132013 届高三年级第三次模拟考试届高三年级第三次模拟考试 数学 参考公式 样本数据的方差 其中 12 n x xx 22 1 1 n i i sxx n 1 1 n i i xx n 锥体的体积公式 其中为锥体的底面面积 是高 1 3 VSh 锥体 Sh 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位分 请把答案填写在答题卡相应位 置上 置上 1 已知 是虚数单位 若 则的值为 i 3i i i a ba b Rab 2 某射击选手连续射击枪命中的环数分别为 59 79 910 110 210 1 则这组数据的方差为 3 右图是一个算法流程图 则输出的的值是 S 4 若集合 则 1 0 1A cos By yxxA AB 5 方程表示双曲线的充要条件是 22 1 15 xy kk k 6 在中 已知 则的值是 ABC 4 cos 5 A 1 tan 2 AB tanC 7 已知实数满足则的最小值是 x y 1 3 10 x y xy 22 2xyx 8 已知是等差数列的前项和 若 则数列的前 20 项和为 n S n an 7 7S 15 75S n S n 9 已知三棱锥的所有棱长都相等 现沿 三条侧棱剪开 将其表PABC PAPBPC 面展开成一个平面图形 若这个平面图形外接圆的半径为 则三棱锥的2 6PABC 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页 包含填空题 共 14 题 解答题 共 6 题 满分为 160 分 考试时间 为 120 分钟 考试结束后 请将答题卡交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 考试号等用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔填写在答题 卡上 并用 2B 铅笔正确涂写考试号 3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 在其它位置作 答一律无效 如有作图需要 可用 2B 铅笔作答 并请加黑 加粗 描写清楚 结束 开始 1 i 1 1 S S 1ii 3i 输出S Y N 第 3 题图 1 2 S 体积为 10 已知为的外心 若 则等于 OABC 51213OAOBOC 0 C 11 已知数字发生器每次等可能地输出数字 或中的一个数字 则连续输出的个数字之124 和能被 3 整除的概率是 12 若 且 则的最小值为 0 0ab 11 1 21abb 2ab 13 已知函数若 且 则的取值范围 2 01 1 2 1 2 x xx f x x 0ab f af b bf a 是 14 已知曲线 直线 在曲线上有一个动点 过点C 0 a f xxa x lyx CP 分别作直线 和轴的垂线 垂足分别为 再过点作曲线的切线 分别与直Ply A BPC 线 和轴相交于点 是坐标原点 若的面积为 则的面积ly M NOABP 1 2 OMN 为 二 解答题二 解答题 本大题共本大题共 6 小题 小题 15 17 每小题每小题 14 分 分 18 20 每小题每小题 16 分 共计分 共计 90 分 请分 请 在答题卡指定的区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 在答题卡指定的区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 如图 均为圆的直径 圆所在的平面 求证 ABCDOCE OBFCEA 平面平面 BCEF ACE 直线平面 DFAACE 16 已知的面积为 角的对边分别为 ABC S A B C a b c 3 2 AB ACS A 求的值 cos A 若成等差数列 求的值 a b csinC 17 已知一块半径为的残缺的半圆形材料 O 为半圆的圆心 残缺部分rABC 1 2 OCr 位于过点的竖直线的右侧 现要在这块材料上截出一个直角三角形 有两种设计方C 案 如图甲 以为斜边 如图乙 直角顶点在线段上 且另一个顶点在BCEOCD 上 要使截出的直角三角形的面积最大 应该选择哪一种方案 请说明理由 并 A AB A B OC D 第 17 题甲图 A BOC D 第 17 题乙图 E A B C D O E F 第 15 题图 求出截得直角三角形面积的最大值 18 如图 在平面直角坐标系中 已知椭圆 的离心率xOyE 22 22 1 0 xy ab ab 分别是椭圆的左 右两个顶点 圆的半径为 过点作圆 3 2 e 12 A AE 2 Aa 1 A 的切线 切点为 在轴的上方交椭圆于点 2 APxEQ 求直线的方程 OP 求的值 1 PQ QA 设为常数 过点作两条互相垂直的直线 分别交椭圆于点 分别交圆aOE B C 于点 记和的面积分别为 求的最大值 2 A MNOBC OMN 1 S 2 S 12 SS 19 已知数列满足 n a 1 2 0 aaa 1 2 n n aa a n N 若 求数列的通项公式 0a n a 设 数列的前项和为 证明 1nnn baa n bn n S 1n Sa A1A2O P Q M N B C x y 第 18 题图 20 已知函数 2 lnf xxaxx a R 若函数在其定义域内是单调增函数 求的取值范围 yf x a 设函数的图象被点分成的两部分为 点除外 该函数 yf x 2 2 Pf 12 c cP 图象在点处的切线为 且分别完全位于直线 的两侧 试求所有满足条件Pl 12 c cl 的的值 a 宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学 附加题 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 2 页 均为解答题 第 21 题 第 23 题 本卷满分为 40 分 考试时间为 30 分 钟 考试结束后 请将答题卡交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 考试号等用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔填写在答题 卡上 并用 2B 铅笔正确涂写考试号 3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 在其它位置作 答一律无效 如有作图需要 可用 2B 铅笔作答 并请加黑 加粗 描写清楚 21 21 选做题选做题 本大题包括本大题包括 A A B B C C D D 共共 4 4 小题 请从这小题 请从这 4 4 题中选做题中选做 2 2 小题小题 每小题每小题 1010 分 分 共共 2020 分分 请在答题卡上准确填涂题目标记请在答题卡上准确填涂题目标记 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步解答时应写出文字说明 证明过程或演算步 骤骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知圆 圆都经过点 是圆的切线 圆交于点 连结ABCBCABABD 并延长交圆于点 连结 求证 CDAEAE2DE DCAD DB B 选修 4 2 矩阵与变换 已知 若矩阵所对应的变换把直线 变换为自身 a b R 1 3 a b Ml23xy 求 1 M C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 已知直线被圆截得的弦长为 2 cossin0 0 aa 4sin 2 求的值 a D 选修 4 5 不等式选讲 已知 且 求的最小值 x y z R234xyz 222 xyz 2222 必做题必做题 本小题本小题 1010 分分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 如图 在正三棱柱中 已知 分别是棱 111 ABCABC 1 6AA 2AB M N 1 BB 上的点 且 1 CC4BM 2CN 求异面直线与所成角的余弦值 AM 11 AC 求二面角的正弦值 1 MANA 第 22 题图 A B C A1 B1 C1 M N E AB C D 第 21 A 题图 2323 必做题必做题 本小题本小题 1010 分分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 已知函数 021122223211 CCCC 1 C 1 nnnrrnrnnn nnnnn f xxxxxx n N 当时 求函数的极大值和极小值 2n f x 是否存在等差数列 使得对一切都成立 n a 01 121 CCC 2 n nnnn aaanf n N 并说明理由 宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学参考答案与评分标准 一 填空题 1 2 3 4 5 6 7 1 3 0 032 5 8 1 1 1 5 11 2 8 55 9 10 11 12 13 14 9 3 4 3 8 2 31 2 5 3 4 4 二 解答题 15 因为圆所在的平面 圆所在的平面 CE OBC O 所以 2 分CEBC 因为为圆的直径 点在圆上 所以 3 分ABOCOACBC 因为 平面 ACCEC AC CE ACE 所以平面 5 分BC ACE 因为平面 所以平面平面 7 分BC BCEFBCEF ACE 由 又因为为圆的直径 ACBC CDO 所以 BDBC 因为在同一平面内 所以 9 AC BC BDACBDA 分 因为平面 平面 所以平面 11BD ACEAC ACEBDAACE 分 因为 同理可证平面 BFCEABFAACE 因为 平面 BDBFB BD BF BDF 所以平面平面 BDFAACE 因为平面 所以平面 14DF BDFDFAACE 分 16 由 得 即 2 分 3 2 AB ACS A 31 cossin 22 bcAbcA 4 sincos 3 AA 代入 化简整理得 4 分 22 sincos1AA 2 9 cos 25 A 由 知 所以 6 分 4 sincos 3 AA cos0A 3 cos 5 A 由及正弦定理 得 2bac 2sinsinsinBAC 即 8 分2sin sinsinACAC 所以 2sincos2cossinsinsinACACAC 由及 得 10 分 3 cos 5 A 4 sincos 3 AA 4 sin 5 A 代入 整理得 4sin cos 8 C C 代入 整理得 12 分 22 sincos1CC 2 65sin8sin480CC 解得或 12 sin 13 C 4 sin 5 C 因为 所以 14 分 0 C 12 sin 13 C 17 如图甲 设 DBC 则 2 分 3 cos 2 r BD 3 sin 2 r DC 所以 4 2 9 sin2 16 BDC Sr 分 2 9 16 r 当且仅当时取等号 6 分 4 此时点到的距离为 可以保证点在半圆形材料内部 因此按照图甲方案DBC 3 4 rDABC 得到直角三角形的最大面积为 7 分 2 9 16 r 如图乙 设 则 EOD cosOEr sinDEr A B OC D 第 17 题甲图 A BOC D 第 17 题乙图 E 所以 10 分 2 1 1cos sin 2 BDE Sr 3 2 设 则 2 1 1cos sin 2 fr 2 1 1cos 2cos1 2 fr 当时 所以时 即点与点重合时 3 2 0f 3 EC 的面积最大值为 13 分BDE 2 3 3 8 r 因为 22 3 39 816 rr 所以选择图乙的方案 截得的直角三角形面积最大 最大值为 14 分 2 3 3 8 r 18 连结 则 且 2 A P 21 A PAP 2 A Pa 又 所以 12 2A Aa 12 60A A P 所以 所以直线的方程为 3 分 2 60POA OP3yx 由 知 直线的方程为 的方程为 2 A P3 yxa 1 AP 3 3 yxa 联立解得 5 分 2 P a x 因为 即 所以 故椭圆的方程为 3 2 e 3 2 c a 22 3 4 ca 22 1 4 ba E 22 22 4 1 xy aa 由解得 7 分 22 22 3 3 4 1 yxa xy aa 7 Q a x 所以 8 分 1 3 27 4 7 aa PQ a QA a 不妨设的方程为 OM 0 ykx k 联立方程组解得 22 22 4 1 ykx xy aa 22 1414 aak B kk 所以 10 分 2 2 1 14 k OBa k 用代替上面的 得 1 k k 2 2 1 4 k OCa k 同理可得 13 分 2 2 1 a OM k 2 2 1 ak ON k 所以 14 分 4 12 22 1 4 14 4 k SSOB OC OM ONa kk 因为 22 2 2 11 1 5 14 4 4 17 k kk k k 当且仅当时等号成立 所以的最大值为 16 分1k 12 SS 4 5 a 19 若时 所以 且 0a 1 2a 1 2 n n a a 2 1 2 nn aa 0 n a 两边取对数 得 2 分 1 lg22lglg nn aa 化为 1 1 lglg2 lglg2 2 nn aa 因为 1 lglg22lg2a 所以数列是以为首项 为公比的等比数列 4 分 lglg2 n a 2lg2 1 2 所以 所以 6 分 1 1 lglg22 lg2 2 n n a 2 21 2 n n a 由 得 1 2 n n aa a 2 1 2 nn aaa 当时 2n 2 1 2 nn aaa 得 8 分 111 2 nnnnnn aaaaaa 由已知 所以与同号 10 分0 n a 1nn aa 1nn aa 因为 且 所以恒成立 2 1aa 0a 2222 12 2 1 330aaaaaa 所以 所以 12 分 21 0aa 1 0 nn aa 因为 所以 1nnn baa 1 nnn baa 所以 21321 nnn Saaaaaa 16 分 11111 nn aaaaa 20 2 分 2 121 21 0 axx fxaxx xx 只需要 即 2 210axx 2 2 11111 2 24 a xxx 所以 4 分 1 8 a 因为 1 21fxax x 所以切线 的方程为 l 1 4 2 ln242 2 yaxa 令 则 2 1 ln 4 2 ln242 2 g xxaxxaxa 2 0g 6 分 2 1 2 4 1 11 2 24 2 axax g xaxa xx 若 则 0a 2 2 x g x x 当时 当时 0 2 x 0g x 2 x 0g x 所以 在直线 同侧 不合题意 8 分 2 0g xg 12 c cl 若 0a 1 2 2 4 a xx a g x x 若 是单调增函数 1 8 a 2 1 2 0 x g x x g x 当时 当时 符合题意 10 分 2 x 2 0g xg 0 2 x 2 0g xg 若 当时 1 8 a 1 2 4 x a 0g x 2 0g xg 当时 不合题意 12 分 2 x 0g x 2 0g xg 若 当时 1 0 8 a 1 2 4 x a 0g x 2 0g xg 当时 不合题意 14 分 0 2 x 0g x 2 0g xg 若 当时 0a 0 2 x 0g x 2 0g xg 当时 不合题意 2 x 0g x 2 0g xg 故只有符合题意 16 分 1 8 a 附加题附加题 21 A 由已知 因为 ACBC 90ACDBCD ACAE BCBD 所以 ACDE BCDBDC 因为 所以 ADEBDC 90EADE 所以 5 分AEAB 延长交于点 连结 则 DBBAFFC2DFDB 90DCF 所以 所以 所以 ACDF EF RtADE RtCDF 所以 所以 因为 ADDE CDDF DE DCAD DF 2DFDB 所以 10 分2DE DCAD DB B 对于直线 上任意一点 在矩阵对应的变换作用下变换成点 l x yM x y 则 1 33 axxayx bybxyy 因为 所以 423xy 2 3 3xaybxy 分 所以解得 22 231 b a 1 4 a b 所以 7 分 11 43 M 所以 10 分 1 31 41 M C 直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 3 分20 xya 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 即 6 分 22 4xyy 22 2 4xy 因为截得的弦长为 所以圆心到直线的距离为 2 0 2 413 即 因为 所以 10 分 2 3 5 a 0a 152a D 由柯西不等式 得 2222222 2 3 1 2 3 xyzxyz 即 5 分 2222 23 14 xyzxyz 即 222 1614 xyz F E A B C D 第 21 A 题图 所以 即的最小值为 10 分 222 8 7 xyz 222 xyz 8 7 22 以的中点为原点 分别以所在直线为轴 建立空间直角坐标系ACO OA OB x z 如图 则 Oxyz 0 0 0 O 1 0 0 A 1 0 0 C 0 0 3 B 1 2 0 N 0 4 3 M 1 1 6 0 A 1 1 6 0 C 所以 1 4 3 AM 11 2 0 0 AC 所以 11 11 11 25 cos 102 20 AM AC AM AC AM AC A 所以异面直线与所成角的余弦值为 5 分AM 11 AC 5 10 平面的一个法向量为 1 ANA 0 0 1 m 设平面的法向量为 因为 AMN x y z n 1 4 3 AM 2 2 0 AN 由得令 则 AM AN n n 430 220 xyz xy 1x 1 1