数学建模层次分析法作业.docx

一位同学准备购买一部手机，他考虑的因素有质量、颜色、价格、外形、实用、品牌等因素。比较中意的手机有诺基亚N73、摩托罗拉E8、索爱W890i，但不知道购买哪一款好，请你建立数学模型给他一个好的建议。解：首先对考虑的准则排序：考虑到学生的身份首先考虑的是质量，一部手机只要质量好就行了，其次是价格，作为学生没有经济来源，我们要考虑价格不能太高，接着是实用，一部手机在质量好价格合理的条件下，我们接下来看重的是手机的实用程度，在考虑以上因素之后，就选择品牌、颜色和外形。显然品牌优先于颜色和外形，而颜色和外形并不是我们要考虑的重要因素，因此我们对准则层排序：质量价格实用品牌颜色=外形排完序后我们建立层次结构模型：购买手机决策层质量颜色价格外形实用品牌准则层诺基亚N73摩托罗拉E8索爱W890i方案层接着建立成对比矩阵：A = 1.0000 7.0000 3.0000 8.0000 4.0000 7.0000 1/7 1.0000 1/7 3.0000 1/5 1/3 1/3 7.0000 1.0000 6.0000 3.0000 5.0000 1/8 1/3 1/6 1.0000 1/7 1/5 0.2500 5.0000 0.3333 7.0000 1.0000 3.00001/7 3.0000 1/5 5.0000 1/3 1.0000矩阵A的特征根和与特征根对应的特征向量分别为矩阵D与V，如下：对特征根进行一致性检验。首先非负实特征根对应的特征根是6.5412，则特征根6.5412其对应的特征向量为所求。查表得当N=6时RI=1.24，从而CI=（- 6）/(6 -1)=0.10824,CR=CI/RI=0.10824/1.24W890E8,颜色：E8w890N73,价格：N73E8W890,外形：W890E8N73,实用：N73W890E8,品牌：N73W890E8构造准则层的关于质量、颜色、价格、外形、实用、品牌的成对比矩阵B1、B2、B3、B4、B5、B6，找出各个矩阵的非负特征向量以及对应的特征根，B1 = 1.0000 5.0000 3.0000 1/5 1.0000 1/31/3 3.0000 1.0000B1的特征向量以及对应的特征根为：V = 0.9161 0.9161 0.9161 0.1506 -0.0753 - 0.1304i -0.0753 + 0.1304i 0.3715 -0.1857 + 0.3217i -0.1857 - 0.3217iD = 3.0385 0 0 0 -0.0193 + 0.3415i 0 0 0 -0.0193 - 0.3415i查表得当N=3时RI=0.58,取非负特征向量对应的特征根3.0385从而CI=（-3）/（3-1）=0.01925，CR=CI/CR=0.01925/0.580.1,一致性检验通过。将3.0385对应的特征向量归一化，得到A = 0.6370 0.10470.2583B2 = 1.0000 1/6 1/3 6.0000 1.0000 5.00003.0000 1/5 1.0000B2的特征向量以及对应的特征根为：V = 0.1177 -0.0588 - 0.1019i -0.0588 + 0.1019i 0.9584 0.9584 0.9584 0.2601 -0.1301 + 0.2253i -0.1301 - 0.2253iD = 3.0940 0 0 0 -0.0470 + 0.5373i 0 0 0 -0.0470 - 0.5373i对非负实特征根3.0940进行一致性检验：（3.0940-3）/2=0.047，0.047/0.580.1,一致性检验通过。将其对应的特征向量归一化，得到B = 0.0881 0.71720.1947B3 = 1.0000 5.0000 7.0000 1/ 5 1.0000 3.00001/ 7 1/ 3 1.0000B3的特征向量以及对应的特征根为：V = 0.9628 0.9628 0.9628 0.2483 -0.1241 + 0.2150i -0.1241 - 0.2150i 0.1067 -0.0533 - 0.0924i -0.0533 + 0.0924iD = 3.0649 0 0 0 -0.0324 + 0.4448i 0 0 0 -0.0324 - 0.4448i对非负实向量对应的特征根3.0649进行一致性检验：（3.0649-3）/2=0.032450.03245/0.580.1,一致性检验通过，对特征向量归一化，得到C = 0.7306 0.18840.0810B4 = 1.0000 1/ 5 1/ 8 5.0000 1.0000 1/ 38.0000 3.0000 1.0000V = 0.0933 0.0467 + 0.0808i 0.0467 - 0.0808i 0.3785 0.1893 - 0.3278i 0.1893 + 0.3278i 0.9209 -0.9209 -0.9209 D = 3.0441 0 0 0 -0.0220 + 0.3656i 0 0 0 -0.0220 - 0.3656i对特征根3.0441进行一致性检验，发现通过检验。从而将特征根3.0441对应的特征向量归一化，得到D = 0.0670 0.27180.6612B5 = 1.0000 7.0000 3.0000 1/ 7 1.0000 1/ 31/ 3 3.0000 1.0000V = 0.9331 0.9331 0.9331 0.1226 -0.0613 - 0.1062i -0.0613 + 0.1062i 0.3382 -0.1691 + 0.2929i -0.1691 - 0.2929iD = 3.0070 0 0 0 -0.0035 + 0.1453i 0 0 0 -0.0035 - 0.1453i对非负实特征向量对应的实特征根进行一致性检验，发现3.0070通过一致性检验，从而对其所对应的特征向量归一化，得到E = 0.6694 0.08790.2426B6= 1 6 4 1/6 1 1/3 1/4 3 1B6对应的特征向量和特征根为V = 0.9463 -0.9463 -0.9463 0.1252 0.0626 + 0.1084i 0.0626 - 0.1084i 0.2981 0.1490 - 0.2581i 0.1490 + 0.2581iD = 3.0536 0 0 0 -0.0268 + 0.4038i 0 0 0 -0.0268 - 0.4038i将非负实特征向量对应的实特征根进行一致性检验，得知一致性检验通过，从而将对应的特征向量归一化，得到F = 0.6909 0.0914 0.2176从决策层得到的特征向量为（0.4410 0.0428 0.2312 0.0271 0.1504 0.0774）k1 234560.6370 0.10470.25830.08810.71720.19470.73060.18840.08100.06700.27180.66120.66940.08790.24260.69090.09140.21763.03853.09403.06493.04413.00703.0536CI0.0330.0810.0560.0380.0060.0460.441*0.637+0.0428*0.0881+0.2612*0.7306+0.0271*0.067+0.1504*0.6694+0.0774*0.6909=0.631490.441*0.1047+0.0428*0.7172+0.2612*0.1884+0.0271*0.2718+0.1504*0.0879+0.0774*0.0914=0.1537390.441*0.