广东省茂名市2013年高三第一次高考模拟考试理科数学

1 绝密 启用前 试卷类型 A茂名市 2013 年第一次高考模拟考试 数学试卷 理科 本试卷分选择题和非选择题两部分 共 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生要务必填写答题卷上的有关项目 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卷各题目指定区域内的 相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卷的整洁 考试结束后 将答题卷交回 第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 设集合 则 1Ax x 2 1Bx x 1 2 计算 2 1 ii A B C 2 D 22i2i 3 已知是奇函数 当时 则 xf0 x 2 logf xx 1 2 f A 2 B 1 C D 1 2 4 已知向量 1 2 2 1 axb 则ab 的充要条件是 A 0 x B 5x C 1x D 1 2 x 5 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形 且其体积为 则该几何体的俯视图 1 2 可以是 2 6 已知函数xxycossin 则下列结论正确的是 A 此函数的图象关于直线对称 B 此函数的最大值为 1 4 x C 此函数在区间上是增函数 D 此函数的最小正周期为 4 4 7 某程序框图如图所示 该程序运行后 输出的值为 31 则a等于 x A 0 B 1 C 2 D 3 8 已知 满足约束条件 xy 1 1 3 y yx yx 若 则的取值范围为 20 byax 1 2 a b A 0 1 B 1 10 C 1 3 D 2 3 第二部分 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 7 小题 分为必做题和选做题两部分 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 第 9 至 13 题为必做题 每道试题考生都必须作答 9 已知等比数列 n a的公比为正数 且 则 q 2 395 2aaa q 10 计算 11 已知双曲线的一个焦点是 则其渐近线方程为 22 1xky 5 0 12 若 n 的展开式中所有二项式系数之和为 64 则展开式的常数项为 2 x 1 x 13 已知 1234 212 21 33 4 21 3 54 5 6 21 3 5 75 6 7 8 依此类推 第个等式为 n 二 选做题 第 14 15 题为选做题 考生只选做其中一题 两题全答的只算前一题得分 14 坐标系与参数方程选做题 已知曲线C的参数方程为 2 cos sin x y 3 为参数 则曲线C上的点到直线 3 4 4 0 的距离的最大值为 xy 15 几何证明选讲选做题 如图 O的直径AB 6cm P是AB 延长线上的一点 过P点作 O的切线 切点为C 连接AC 若 CPA 30 PC 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 如图 角为钝角 且 点 分别是在角A 5 3 sin APQ 的A 两边上不同于点的动点 A 1 若 5 求的长 APPQ3 5AQ 2 设 2sin 13 12 cos 求且AQPAPQ 的值 17 本小题满分 12 分 某连锁超市有 两家分店 对该超市某种商品一个月 30 天的销售量进行统计 分店的ABA 销售量为 200 件和 300 件的天数各有 15 天 分店的统计结果如下表 B 销售量 单位 件 200300400 天 数 10155 1 根据上面统计结果 求出分店销售量为 200 件 300 件 400 件的频率 B 2 已知每件该商品的销售利润为 1 元 表示超市 两分店某天销售该商品的利润之和 AB 若以频率作为概率 且 两分店的销售量相互独立 求的分布列和数学期望 AB 18 本小题满分 14 分 如图 为矩形 为梯形 平面 平面 PDCEABCDPDCEABCD 90BADADC 1 2 2 ABADCDa PDa 1 若为中点 求证 平面 MPAACMDE 2 求平面与所成锐二面角的大小 PADPBC 19 本小题满分 14 分 已知数列中 且当时 nn ab 11 1ab 2n 1 0 nn ana 1 1 22n nn bb 记的阶乘 n 1 2 3 2 1n nnn 1 求数列的通项公式 2 求证 数列为等差数列 n a 2 n n b 4 3 若 求的前n项和 2 2n n nn n a cb a n c 20 本小题满分 14 分 已知椭圆 的离心率为 连接椭圆的四个顶点得到的四边 1 C 22 22 1 xy ab 0ab 3 3 形的面积为 2 6 1 求椭圆的方程 1 C 2 设椭圆的左焦点为 右焦点为 直线过点且垂直于椭圆的长轴 动直线垂直 1 C 1 F 2 F 1 l 1 F 2 l 于点 线段的垂直平分线交于点M 求点M的轨迹的方程 1 lP 2 PF 2 l 2 C 3 设O为坐标原点 取上不同于O的点S 以OS为直径作圆与相交另外一点R 求该圆 2 C 2 C 面积的最小值时点S 的坐标 21 本小题满分 14 分 已知函数 函数是函数的导函数 32 1 22 3 g xaxxx f x g x 1 若 求的单调减区间 1a g x 2 若对任意 且 都有 求实数的取值范围 1 x 2 xR 12 xx 1212 22 xxf xf x f a 3 在第 2 问求出的实数的范围内 若存在一个与有关的负数 使得对任意aaM 时恒成立 求的最小值及相应的值 0 xM 4f x Ma 5 茂名市 2013 年第一次高考模拟考试数学试卷 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 每小题 5 分 共 40 分 题号12345678 答案ADBACCDB 二 填空题 每小题 5 分 共 30 分 9 10 11 12 2 2 e2yx 160 13 3 2 1 12 5312nnnnnn n 14 3 15 3 3 三 解答题 共 80 分 16 解 1 是钝角 1 分A 3 sin 5 A 4 cos 5 A 在中 由余弦定理得 APQ 222 2cosPQAPAQAP AQA 所以 4 分 2 8200AQAQ 解得 或 舍去负值 所以 6 分2AQ 10 2AQ 2 由 7 分 13 5 sin 13 12 cos 得 在三角形APQ中 A 又 8 分 3 sin sin sin 5 AA 9 分 4 cos cos 5 A 11 分sin 2 sin sincos cossin 12 分 65 56 5 3 13 12 5 4 13 5 17 解 1 B分店销售量为 200 件 300 件 400 件的频率分别为 和 3 分 1 3 1 2 1 6 2 A分店销售量为 200 件 300 件的频率均为 4 分 1 2 的可能值为 400 500 600 700 且 5 分 P 400 P 500 111 236 11115 223212 P 600 P 700 9 分 11111 26223 111 2612 的分布列为 400500600700 6 P 1 6 5 12 1 3 1 12 10 分 400 500 600 700 元 12 分E 1 6 5 12 1 3 1 12 1600 3 18 1 证明 连结PC 交DE与N 连结MN PAC 中 M N分别为两腰 PA PC的中点 MNAC 2 分 因为MN 面MDE 又AC 面MDE 所以 AC平面MDE 4 分 2 解法一 设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为 以D为空间坐标系的原点 分别 以 DA DC DP所在直线为 x y z轴建立空间直角坐标系 则 0 0 2 0 0 2 0 Pa B a aCa 2 0 PBa aa BCa a 6 分 设平面PAD的单位法向量为 1 n 则可设 1 0 1 0 n 7 分 设面PBC的法向量 2 1 nx y 应有 2 2 1 2 0 1 0 0 nPBx ya aa nBCx ya a 即 20 0 axaya axay 解得 2 2 2 2 x y 所以 2 22 1 22 n 12 分 13 分 12 12 2 1 2 cos 212 n n nn 所以平面PAD与PBC所成锐二面角为 60 14 分 解法二 延长CB DA相交于G 连接PG 过点D作 DH PG 垂足为H 连结 HC 6 分 矩形PDCE中PD DC 而AD DC PD AD D CD 平面PAD CD PG 又CD DH D PG 平面CDH 从而PG HC 8 分 DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平 面角 10 分 在 中 2PDa 可以计算 12 分Rt PDG22DGADa DH 2 3 3 a 7 在 中 13 分RtCDH 2 tan3 2 3 3 CDa DHC DH a 所以平面PAD与PBC所成锐二面角为 60 14 分 19 解 1 1 0 nn ana 2n 1 1 a 123 1 1 2 nnnn anan nan nna 2 分 1 1 2 3 2n nnan 又 3 分 11 1 a n an 2 由两边同时除以得即 4 分 1 1 22n nn bb 2n 1 1 1 222 nn nn bb 1 1 1 222 nn nn bb 数列是以为首项 公差为的等差数列 5 分 2 n n b1 2 1 2 故 6 分 11 1 1 2222 n n bn n 2 1 2 n n n b 3 因为 8 分 1 2 111 22 1 2 12 nn n n n a bn annnn 记 n A 312 3452 n n aaaa aaaa 10 分 1111111111 2334451222 n A nnn 记的前n项和为 2 n n b n B 则 0121 1 22 23 22n n Bn 121 21 22 2 1 22 nn n Bnn 由 得 0121 22222 nn n Bn 1 2 2 1 21 1 2 n nn nn 13 分 14 分 123nn Scccc 11 1 2 22 n nn ABn n 20 解 1 解 由 得 再由 222 cab 解得 1 分 3 3 e 22 3ac 6 2 ab 由题意可知 即 2 分 1 222 6 2 ab 6a b 解方程组得 3 分 6 2 6 ab ab 32 ab 8 所以椭圆C1的方程是 3 分 22 1 32 xy 2 因为 所以动点到定直线的距离等于它到定点 1 0 的距 2 MPMF M 1 1lx 2 F 离 所以动点的轨迹是以为准线 为焦点的抛物线 6 分M 2 C 1 l 2 F 所以点的轨迹的方程为 7 分M 2 C 2 4yx 3 因为以为直径的圆与相交于点 所以 ORS 90 即 OS 2 CR0OR SR 8 分 设S R 1 x 1 y 2 x 2 ySR 2 x 1 x 2 y 1 yOR 2 x 2 y 所以 222 221 221221221 0 16 yyy OR SRx xxyyyyyy 因为 化简得 10 分 12 yy 2 0y 12 2 16 yy y 所以 222 122 22 22 256256 3223264yyy yy 当且仅当即 16 y2 4 时等号成立 12 分 2 2 2 2 256 y y 2 2 y 圆的直径 OS 4 2224222 1 111111 11 16 8 64 1644 y xyyyyy 因为 64 所以当 64 即 8 时 13 分 2 1 y 2 1 y 1 y min 8 5OS 所以所求圆的面积的最小时 点S的坐标为 16 8 14 分 21 解 1 当时 1 分 1a 32 1 22 3 g xxxx 2 42g xxx 由解得 2 分 0g x 2626x 当时函数的单调减区间为 3 分 1a g x 26 26 2 易知 2 42f xg xaxx 依题意知 1212 22 xxf xf x f 22 2 12121122 4242 4 2 222 xxxxaxxaxx a 5 分 2 12 0 4 a xx 因为 所以 即实数的取值范围是 6 分 12 xx 0a a 0 3 解法一 易知 22 24 42 2f xaxxa x aa 0a 9 显然 由 2 知抛物线的对称轴 7 分 0 2f 2 0 x a 当即时 且 4 24 a 02a 2 0 M a 4f M 令解得 8 分 2 424axx 242a x a 此时取较大的根 即 9 分M 2422 422 a M aa 10 分 02a 2 1 422 M a 当即时 且 4 24 a 2a 2 M a 4f M 令解得 11 分 2 424axx 246a x a 此时取较小的根 即 12 分M 2466 462 a M aa 当且仅当时取等号 13 分 2a 6 3 462 M a 2a 由于 所以当时 取得最小值 14 分31 2a M3 解法二 对任意时 恒成立 等价于 且 0 xM 4f x 4f x max 4f x min 由 2 可知实数的取值范围是a 0 故的图象是开口向上 对称轴的抛物线 7 分 2 42f xaxx 2 0 x a 当时 在区间上单调递增 2 0M a f x 0 M f x max 0 24f 要使最小 只需要M 8 分 2 424f xf MaMM min 若即时 无解1680a 2a 若即时 9 分1680a 02a 解得 舍去 或 2422a M aa 242 1 a M a 10 故 当且仅当时取等号 10 分1M 2a 当时 在区间上单调递减 在递增 2 M a f x 2 M a 2 0 a 0 24 f 则 11 分 24 24f aa 2a 要使最小 则即M 2 424f MaMM 12 分 2 460aMM 解得 舍去 2462a M aa 或 当且仅当时取等号 13 分 2466 3 462 a M aa 2a 综上所述 当时 的最小值为 14 分2a M3 解解 由 得 42 n an 1 2 4ad 2 1 2 1 4 1 2 1 4 222 21 4 2 n n nn n S S nnn 所以它为数列 6 分S 设等差数列 公差为 则 常数 8 分 n ad 1 2 1 1 1 2 1 22 21 2 n n a nn nd S k S a nnnd 化简得 22 11 2442a nn dnda knn dknkd 10 分 1 41 21 2 0dknkad 由于 对任意正整数均成立 n 则 解得 12 分 1 41 0 21 2 0 dk kad 1