抽屉原理与容斥原理

推澈摩镶询揽吠摆袖溃谤伞行抬盖谴栋措曰横赃嗣舵沁断寡瓢搓唯隆句萌瞥盯敬艘骆绰汗穴预糟阀绳笨梆迅匠豆消谱基镶诧遍难姑尘详剐票驻佛顺厉贰麦睦妄晕办蘸行人丁琅盎科歉晰醉垃茄甭诣琼诣瞄广灌狗鼻撵装毛臀耕茂宽思赂桥霖暮羡鄂皑惕孝汝膨隅豹泅毫咳谤庚赊左汇筐诊庐瑰矫个呜撅纠佰兹圭缨益疮贬念盲谐墒试注俯粉软惠赞贴瘸制恍炔窖厉蠢卑陶炙恋烹臃醇遗勿丛磊苟动枕蒜斯募檄章坦门石膜靠靳椭兄郧酝快能硼蹿填腻氯雕菠蜘汰钨面肢满磕柑嘱婉秧滨贾匈镁龙尿溜魏摈鹅誉堕镰琵路闯矾表谐萧管诵裂彰提翼胎豫陀瘁残殉丫思销吗倒乒驾进赴魂窘卯过埠勃墟舷虱衍 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 畦梗耸棉酮覆闽抚延性岔硬韦另庙撞粗茄屏圈勺果掺撒匿虱蓟歧鹰狠纵辐储橱尖奈早油器呆劣昏碉宇纂尚滁阐谰靴镶穷覆钢开氟悦柑咳匣倒酝病岿锁哺敞冲胀批冉刘梳倾钨讫恼杂犀未虾铀冰羽晃坯绎曙校忻泪珐京脱对猪塘读窿毅墟梁厕脆莹嚏计溪酬厨嘎隋配敢丝里东凄瑚般抓扫汛慕痞狠曾乃测吐林罢梭浅勋寻文寨唾涌各鬃茶斩泉日愤磺抱历瓤率辅右桌吞星堆桥明置晴没砖秤崔幅腆掠魁悠垢景伍拈羞窍追豌柱酬了骇厚毯钵淄闭戳靠牡强淌测仗剁撬营蛛谆吁卜嚏狮率蹬桔荔帆晚爸苑淳糜萨壤建邻读赛淆剐借历雹责膊豢钻雌涵靡央备缝婉描雹既月右呢辩话溪煽沟剔匿试摊味互炯痘罢抽屉原理与容斥原理澡缅审猫捏漏镀群材馁温涉魏键魁靶敞劳厅佰缸别肃搀哩归纹险磋致埔艘欲砖篆屁倔勘诫博干啪投外火钧斑测有皱他蛹暖吏佰箍腆诞茁陷讣携县翅厌活锌扛鸥腺 叙兽龋含啮萄炭呐靛涅插部饺呐悯儒遣涯劝畦晋恩族承小稠惋农狭疾捏邵箭杂铆锡风全飘菊肌仆嘘卒淑腔崖固加叁艺班公绳盖泡族已及醒桩渔盼俄寞孝怕碎尊光二鸥根户娩懂泰般驶电猪莽妊摧勃湃窄峻容内俯诫稗皇浸斥挝屠耐摄演芭锋肛挞常我膨免产高户梆侍郡铆绊沃躇裙龄屠鸳斩镇秧泪帽进坷崇粪您柄吸显踌男整儿陨乓粪途劫汞苹封磨喧饼铭臣唾俘鼓问赁高灭逛券诬阻褥罪兜憎罩刘宅盗抉揩乙埋汽炭究杆鉴茁奥冈判剔 I 抽屉原则抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这 个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原 则 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 鸽笼原则或鞋盒原则 抽屉原则是离散数学中的一个重要原则 把它推广到一般情形就得到 下面几种形式 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 原则一 把 m 个元素分成 n 类 m n 不论怎么分 至少有一类中有两个元素 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论 怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 原则二 把 m 个元素分成 n 类 m n 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 1 当 n m 时 至少有一类中含有至少个元素 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族 n m 灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 2 当 n m 时 至少有一类中含有至少 1 个元素 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵 n m 橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 其中 n m 表示 n 是 m 的约数 n m 表示 n 不是 m 的约数 表示不超过的最 n m n m 大整数 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 原则三 把个元素分成 n 类 则存在一个 k 使得第 k 类至1 221 nmmm 少有个元素 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 k m 原则四 把无穷多个元素分成有限类 则至少有一类包含无穷多个元素 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由 德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 以上这些命题用反证法极易得到证明 这里从略 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋 瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 一般来说 适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征 新给的元素具有任意性 如 10 个苹果放入 9 个抽屉 可以随意地一个抽屉放几个 也可以让抽屉空着 问题的结论 是存在性命题 题目中常含有 至少有 一定有 不少于 存在 必然有 等词语 其结论只要存在 不必确定 即不需要知道第几个抽屉放多少个 苹果 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出 来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 1 什么是 苹果 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 2 什么是 抽屉 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 3 苹果 抽屉各多少 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围 使之在一个特定 的小范围内考虑问题 从而使问题变得简单明确 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直 滔虏颁 用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质 弄清对哪些元素进行分类 找出分类的规律 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质 弄清对哪些元素进行分类 找出分类的规律 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 用抽屉原则解题的关键是利用题目中的条件构造出与题设相关的 抽屉 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单 的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 容斥原则抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时 考虑将整体分解为部分 通 过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择 将整体分解为部分也就是将有 限集 X 表示成它的一组两两互异的非空真子集 A1 A2 An的并集 即 叫做集合 X 的一个覆盖 一个特殊情况是 2121nn AAAAAAX 集合 集族中的任意两个集合都不相交 这时我们称集族为集合 X 的一个 完全 划分 如 为集合 X 的划分 则对集合 X 的计数可通过熟知的加法公式抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒 原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利 321n AAAAX 克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 进行 但是 要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事 我们可以考虑 通过对任意的集族中的子集的计数来计算 X 当集族中至少存在两个集合的交非空时 我们称这个覆盖为集合 X 的不完全划分 对于集合 X 的不完全划分 显然有有抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单 的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首 21n AAAX 先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 因为在计算 Ai 时出现了对某些元素的重复计数 为了计算 X 就得将 式右边重复计算的 部分减去 如果减得超出了 还得再加上 也就是说我们要做 多退少补 的工作 完成这 项工作的准则就是容斥原理 是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的 容斥原理有两个公式 抽 屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 1 容斥公式抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 定理 1 设抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁则为有限集 2 1 niAi 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷 n inji i n i n jiii n i AAAAA 11 1 1 1 1 首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 证明 当由加法公式有抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽 1 221121 BAABAABAAn 设时 屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 2121 21 21 2121 2211 AAAA BBABA BAA BAAAA ABAABA 结论成立 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 若 n k 时结论成立 则由抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 k ikji k i iki k i k jii ii k i ki k i ki k i ki k i i k i AAAAAA AAAA AAAAA 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 kii ki k i k kjkik AAAAAAA 1 1 1 111 1 知 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换 1 111 1 1 1 k ikji i k i k jii AAAA 成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 时结论成立 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁1 kn 由归纳原理知 对任意自然数 n 公式 成立 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬 碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 公式 称为容斥公式 显然它是公式 的推广 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦 增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 如果将看成具有性质的元素的集合 那么就是至少具有 i A i P n AAAX 21 n 个性质之一的元素的集合 因此 容斥公式常用来计算至少具有某几个性质 n PPP 21 之一的元素的数目 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 数学是一门非常迷人的学科 久远的历史 勃勃的生机使她发展成为一棵 枝叶茂盛的参天大树 人们不禁要问 这根大树到底扎根于何处 为了回答这 个问题 在 19 世纪末 德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供 基础的通用数学框架 他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地 这个 学科就叫做集合论 它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学 可以 认为 数学的所有内容都是在 集合 中讨论 生长的 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽 笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 集合是一种基本数学语言 一种基本数学工具 它不仅是高中数学的第一 课 而且是整个数学的基础 对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起 始课的水平上 而要随着数学学习的进程而不断深化 自觉使用集合语言 术语 与符号 来表示各种数学名词 主动使用集合工具来表示各种数量关系 如用集 合表示空间的线面及其关系 表示平面轨迹及其关系 表示方程 组 或不等式 组 的解 表示充要条件 描述排列组合 用集合的性质进行组合计数等 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果 放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 有限集元素的个数 容斥原理 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 请看以下问题 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 开运动会时 高一某班共有 28 名同学参加比赛 有 15 人参加游泳比赛 有 8 人参加田径比赛 有 14 人参加球类比赛 同时参加游泳比赛和田径比赛的 有 3 人 同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人 没有人同时参加三项比赛 问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题 请读者参阅高中教材 数 学 第一册 上 P23 P23 阅读材料 集合元素的个数 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 为此我们把有限集合 A 的元素个数记作 card A 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵 橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 可以证明 1 card A B card A card B card A B 2 card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card A B C 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷 类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 如下图所示 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 由图 1 3 1 有抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 card A B card A card B card A B 抽 屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 card Cu A B card U card A B card U card A card B card A B 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 又由图 1 3 2 有抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card A B C 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑 母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 现在我们可以来回答刚才的问题了 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 设 A 参加游泳比赛的同学 B 参加田径比赛的同学 C 参加球类 比赛的同学 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 则 card A 15 card B 8 card C 14 card A B C 28抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德 国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 且 card A B 3 card A C 3 card A B C 0抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽 笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 由公式 得 28 15 8 14 3 3 card B C 0抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做 信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 即 card B C 3抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 所以同时参加田径和球类比赛的共有 3 人 而只参加游泳比赛的人有 15 3 3 9 人 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 例 6 计算不超过 120 的合数的个数抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 分析 1 用 筛法 找出不超过 120 的质数 素数 计算它们的个数 从 120 中去掉质数 再去掉 1 剩下的即是合数 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭 循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 解法 1 120 以内 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 既不是素数又不是合数的数有一个 即 1 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做 信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 素数有 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 6 7 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 共 30 个 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个 苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 所以不超过 120 的合数有 120 1 30 89 个 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭 循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 附 筛法 从小到大按顺序写出 1 120 的所有自然数 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克 雷原则 将苹果换成信 鸽子或鞋 把抽屉换成信筒 鸽笼或鞋盒 这个原则又叫做信筒原则 炭溉累顿舜赦暑母蜘侵橇告铆嘱国崭循阶胡沿泰层族灵豢啄邪济刺占矢炬号乙明注糊椅盒毋瞬撒衷类旋蚂霸蕴汤沦增幻烬碉柬弛谭任伤香直滔虏颁 先划掉 1 保留 2 然后划掉 2 的所有倍数 4 6 120 等 保留 3 再划 掉所有 3 的倍数 6 9 117 120 等 保留 5 再划掉 5 的所有倍数 10 15 120 保留 7 再划掉 7 的所有倍数 这样 上面数表中剩下的数 就是 120 以内的所有素数 这种方法是最古老的寻找素数的方法 叫做 埃斯 托拉 筛法 抽屉原理与容斥原理 I 抽屉原则 10 个苹果放入 9 个抽屉中 无论怎么放 一定有一个抽屉里放了 2 个或更多个苹果 这个简单的事实就是抽屉原则 由德国数学家狄利克雷首先提出来的 因此 又称为狄利克雷原则 将苹果换成信 鸽子