高考数学复习-直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆 圆与圆的位置关系 A 组 1 2009 年高考天津卷 若圆x2 y2 4 与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦 的长为 2 则a 3 解析 两圆方程作差易知弦所在直线方程为 y 1 a 如图 由已知 AC OA 2 有 OC 1 a 1 3 1 a 答案 1 2 2009 年高考全国卷 已知圆O x2 y2 5 和点A 1 2 则过A且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析 依题意 过A 1 2 作圆x2 y2 5 的切线方程为x 2y 5 在x轴 上的截距为 5 在y轴上的截距为 切线与坐标轴围成的三角形面积 5 2 S 5 答案 1 2 5 2 25 4 25 4 3 2009 年高考湖北卷 过原点O作圆x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设 切点分别为P Q 则线段PQ的长为 解析 圆的标准方程为 x 3 2 y 4 2 5 可知圆心为 3 4 半径 为 如图可知 CO 5 5 OP 2 tan POC 25 55 PC OP 在 1 2 Rt POC中 OC PM OP PC PM 25 5 5 2 PQ 2PM 4 答案 4 4 若直线 3x 4y m 0 与圆x2 y2 2x 4y 4 0 没有公共点 则实数m的 取值范围是 解析 将圆x2 y2 2x 4y 4 0 化为标准方程 得 x 1 2 y 2 2 1 圆心为 1 2 半径为 1 若直线与圆无公共点 即圆心到直线的距离大于半径 即d 1 m10 3 1 4 2 m 32 42 m 5 5 答案 0 10 5 原创题 已知直线x y 2m 0 与圆x2 y2 n2相切 其中m n N 3 且n m 5 则满足条件的有序实数对 m n 共有 个 解析 由题意可得 圆心到直线的距离等于圆的半径 即 2m 1 n 所以 2m 1 m 5 因为m n N 所以Error Error Error Error Error Error Error Error 故有序 实数对 m n 共有 4 个 答案 4 个 6 2010 年南京调研 已知 以点C t t R t 0 为圆心的圆与x轴交于 2 t 点O A 与y轴交于点O B 其中O为原点 1 求证 OAB的面积为定值 2 设直线y 2x 4 与圆C交于点M N 若OM ON 求圆C的方程 解 1 证明 圆C过原点O OC2 t2 设圆C的方程是 x t 4 t2 2 y 2 t2 令x 0 得y1 0 y2 令y 0 得x1 0 x2 2t 2 t 4 t2 4 t S OAB OA OB 2t 4 即 OAB的面积为定值 1 2 1 2 4 t 2 OM ON CM CN OC垂直平分线段MN kMN 2 kO C 1 2 直线OC的方程是y x t 解得 t 2 或t 2 1 2 2 t 1 2 当t 2 时 圆心C的坐标为 2 1 OC 此时圆心C到直线 5 y 2x 4 的距离d 圆C与直线y 2x 4 不相交 1 55 t 2 不符合题意舍去 圆C的方程为 x 2 2 y 1 2 5 B 组 1 直线ax by b a 0 与圆x2 y2 x 3 0 的位置关系是 解析 直线方程化为a x 1 b y 1 0 过定点 1 1 代入圆的 方程 左侧小于 0 则定点在圆内 所以直线与圆总相交 答案 相交 2 2010 年秦州质检 已知直线y x与圆x2 y2 2 相交于A B两点 3 P是优弧AB上任意一点 则 APB 解析 弦心距长为 半径为 所以弦AB所对的圆心角为 又因为 6 22 3 同弦所对的圆周角是圆心角的一半 所以 APB 答案 6 6 3 已知向量a cos sin b cos sin a与b的夹角为 60 直线xcos ysin 0 与圆 x cos 2 y sin 2 的位置关系是 1 2 解析 cos60 cos cos sin sin cos d cos r 答案 cos cos sin sin cos2 sin2 3 2 2 2 相离 4 过点A 11 2 作圆x2 y2 2x 4y 164 0 的弦 其中弦长为整数的共有 条 解析 方程化为 x 1 2 y 2 2 132 圆心为 1 2 到点A 11 2 的 距离为 12 最短弦长为 10 最长弦长为 26 所以所求直线条数为 2 2 25 10 32 条 答案 32 5 若集合A x y y 1 B x y y k x 2 4 当集 4 x2 合A B有 4 个子集时 实数k的取值范围是 解析 A B有 4 个子集 即A B有 2 个元 素 半圆x2 y 1 2 4 y 1 与过P 2 4 点 斜率为k的直线有两个交点 如图 A 2 1 kPA 过P与半圆相切时 k k 3 4 5 12 5 12 3 4 答案 k 5 12 3 4 6 2009 年高考全国卷 已知AC BD为圆O x2 y2 4 的两条相互垂直的弦 垂足为M 1 则四边形ABCD的面积的最大值为 2 解析 设圆心O到AC BD的距离分别为d1 d2 则d12 d22 OM2 3 四边形ABCD的面积S AB CD 2 8 d12 d22 1 2 4 d12 4 d22 5 7 2010 年宁波调研 已知圆C x2 y2 bx ay 3 0 a b为正实数 上任意 一点关于直线l x y 2 0 的对称点都在圆C上 则 的最小值为 1 a 3 b 解析 由题意 知圆心在直线上 所以 2 0 b 2 a 2 1 则 1 1 2 1 a 4 b 4 1 a 3 b a 4 b 4 b 4a 3a 4b b 4a 3a 4b 3 2 8 设圆O x2 y2 直线 16 9 l x 3y 8 0 点A l 使得圆O上存在点B 且 OAB 30 O为坐标原点 则点A的横坐标的取 值范围是 解析 依题意点A l 设A x0 过点A作圆O的切线 切点为 8 x0 3 M 则 OAM OAB 30 从而 sin OAM sin30 即 sin30 1 2 OM OA 就是 OA 2 4 OM 2 x02 2 5x02 8x0 0 解得 1 2 64 9 8 x0 3 64 9 x0 0 8 5 答案 0 8 5 9 2009 年高考江西卷 设直线系M xcos y 2 sin 1 0 2 对于下列四个命题 A 存在一个圆与所有直线相交 B 存在一个圆与所有直线不相交 C 存在一个圆与所有直线相切 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 xcos ysin 2sin 1 0 则点 0 2 到其 直线的距离为 d 0 cos 2sin 2sin 1 cos2 sin2 1 说明此直线是圆心为 0 2 半径为 1 的圆的切线 圆心为 0 2 半径大于等于 1 的圆与所有直线相交 A 对 圆心为 0 2 半径小于 1 的圆与所有直线不相交 B 对 圆心为 0 2 半径等于 1 的圆与所有直线都相切 C 对 因为M中的直线与以 0 2 为圆心 半径为 1 的圆相切 所以M中的直线所 能围成的正三角形面积不都相等 如图 ABC与 ADE均为等边三角形而面积不 等 答案 A B C 10 已知圆C1 x2 y2 2x 2y 8 0 与圆C2 x2 y2 2x 10y 24 0 相交 于A B两点 1 求公共弦AB所在的直线方程 2 求圆心在直线y x上 且经过A B两点的圆的方程 解 1 Error Error x 2y 4 0 2 由 1 得x 2y 4 代入x2 y2 2x 2y 8 0 中得 y2 2y 0 Error Error 或Error Error 即A 4 0 B 0 2 又圆心在直线y x上 设圆心为M x x 则 MA MB 解得 M 3 3 M x 3 2 y 3 2 10 11 2010 年江苏徐州调研 已知圆C的方程为x2 y2 1 直线l1过定点 A 3 0 且与圆C相切 1 求直线l1的方程 2 设圆C与x轴交于P Q两点 M是圆C上异于P Q的任意一点 过点 A且与x轴垂直的直线为l2 直线PM交直线l2于点P 直线QM交直线l2于 点Q 求证 以P Q 为直径的圆C 总过定点 并求出定点坐标 解 1 直线l1过点A 3 0 且与圆C x2 y2 1 相切 设直线l1的方 程为y k x 3 即kx y 3k 0 则圆心O 0 0 到直线l1的距离为d 1 解得k 3k k2 1 2 4 直线l1的方程为y x 3 2 4 2 对于圆C x2 y2 1 令y 0 则x 1 即P 1 0 Q 1 0 又 直线l2过点A且与x轴垂直 直线l2方程为x 3 设M s t 则直线PM的方程为y x 1 t s 1 解方程组Error Error 得P 3 同理可得Q 3 4t s 1 2t s 1 以P Q 为直径的圆C 的方程为 x 3 x 3 y y 0 又s2 t2 1 4t s 1 2t s 1 整理得 x2 y2 6x 1 y 0 6s 2 t 若圆C 经过定点 只需令y 0 从而有x2 6x 1 0 解得 x 3 2 2 圆C 总经过定点 定点坐标为 3 2 0 2 12 2009 年高考江苏卷 如图在平面直角坐标系xOy中 已知圆C1 x 3 2 y 1 2 4 和圆 C2 x 4 2 y 5 2 4 1 若直线l过点A 4 0 且被圆C1截得的弦长为 2 求直线l的方程 3 2 设P为平面上的点 满足 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1 和l2 它们分别与圆C1和C2相交 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆 C2截得的弦长相等 试求所有满足条件的点P的坐标 解 1 由于直线x 4 与圆C1不相交 所以直 线l的斜率存在 设直线l的方程为 y k x 4 圆C1的圆心到直线l的距离为d 因为直线l被圆C1截得的弦长为 2 所 3 以d 1 由点到直线的距离公 22 r 3 2 式得 d 从而k 24k 7 0 即k 0 或k 所以直线l的 1 k 3 4 1 k2 7 24 方程为y 0 或 7x 24y 28 0 2 设点P a b 满足条件 不妨设直线l1的方程为y b k x a k 0 则直线l2的方程为y b x a 因为圆C1和圆C2的半径相等 且 1 k 直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等 所以圆C1的圆心 到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 即 1 k 3 a b 1 k2 5 1