高数一全套公式06143

初等数学基础知识初等数学基础知识 一 三角函数一 三角函数 1 公式 公式 同角三角函数间的基本关系式 同角三角函数间的基本关系式 平方关系 sin 2 cos 2 1 tan 2 1 sec 2 cot 2 1 csc 2 商的关系 tan sin cos cot cos sin 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 三角函数恒等变形公式 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 倍角公式 sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 tan 2 2tan 1 tan 2 半角公式 sin 2 2 1 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 tan 2 2 1 cos 1 cos tan 2 sin 1 cos 1 cos sin 万能公式 sin 2tan 2 1 tan 2 2 cos 1 tan 2 2 1 tan 2 2 tan 2tan 2 1 tan 2 2 积化和差公式 sin cos 1 2 sin sin cos sin 1 2 sin sin cos cos 1 2 cos cos sin sin 1 2 cos cos 和差化积公式 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 2 特殊角的三角函数值 f 0 0 6 30 4 45 3 60 2 90 cos12 3 2 2 2 10 sin02 1 2 22 3 1 tan03 113不存在 cot不存在313 10 只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系 依照三角函数的定义即可推出上面的三角值 3 诱导公式 函数 角 A sincostgctg sin cos tg ctg 90 cos sin ctg tg 90 cos sin ctg tg 180 sin cos tg ctg 180 sin cos tg ctg 270 cos sin ctg tg 270 cos sin ctg tg 360 sin cos tg ctg 360 sin cos tg ctg 记忆规律 竖变横不变 奇变偶不变 符号看象限 一全 二正弦割 三切 四余弦割 即第一象限全是正的 第二象限正弦 正割是正的 第三象限正切是正的 第四象限余弦 余割是正的 二 一元二次函数 方程和不等式二 一元二次函数 方程和不等式 acb4 2 0 0 0 0 2 一元二次函数 acbxaxy 2 1 x 0 2 cbxax 一元二次方程 a acbb x 2 4 2 2 1 有二互异实根 a b x 2 2 1 有一根有二相等实根 无实根 1 45 2 1 45 1 2 30 60 3 2 x 1 x 0 2 cbxax 21 21 xxxx xx 或 a b x 2 Rx 0 式 等 不 次 二 元 一 a 0 2 cbxax 21 xxx x x 三 三 因式分解与乘法公式因式分解与乘法公式 22 222 222 3322 3322 32233 32233 222 1 2 2 3 2 4 5 6 33 7 33 8 222 abab ab aabbab aabbab abab aabb abab aabb aa babbab aa babbab abcabbcca 2 1221 9 2 nnnnnn abc abab aababbn 四 等差数列和等比数列四 等差数列和等比数列 1 1 1 1 1 22 n n nn aand n aan n nSSnad 1 等差数列 通项公式 前项和公式或 1 1 00 n nn GP aa qaq 2 等比数列 通项公式 1 1 1 1 1 1 n n n aq q Sq naq 前项和公式 五 常用几何公式五 常用几何公式 平面图形平面图形 名称符号周长 C 和面积 S 正方形a 边长C 4a S a2 长方形a 和 b 边长C 2 a b S ab 三角形a b c 三边长 h a 边上的高 s 周长的一半 A B C 内角 其中 s a b c 2 S ah 2 ab 2 sinC s s a s b s c 1 2 a2sinBsinC 2sinA 平行四边形a b 边长 h a 边的高 两边夹角 S ah absin 菱形a 边长 夹角 D 长对角线长 d 短对角线长 S Dd 2 a2sin 梯形a 和 b 上 下底长 h 高 m 中位线长 S a b h 2 mh 圆r 半径 d 直径 C d 2 r S r2 d2 4 扇形r 扇形半径 a 圆心角度数 C 2r 2 r a 360 S r2 a 360 圆环R 外圆半径 r 内圆半径 D 外圆直径 d 内圆直径 S R2 r2 D2 d2 4 椭圆D 长轴 d 短轴 S Dd 4 立方图形立方图形 名称符号表面积 S 和体积 V 正方体a 边长S 6a2 V a3 长方体a 长 b 宽 c 高 S 2 ab ac bc V abc 圆柱r 底半径 h 高 C 底面周长 S底 底面积 S侧 侧面积 S表 表面积 C 2 r S底 r2 S侧 Ch S表 Ch 2S底 Ch 2 r2 V S底h r2h 圆锥r 底半径 h 高 V r2h 3 球r 半径 d 直径 V 4 3 r3 d3 6 S 4 r2 d2 基本初等函数基本初等函数 名 称 表达式定义域 图 形 特 性 常 数 函 数 Cy R y C 0 x 幂 函 数 xy 随而异 但在上 R 均有定义 00 20 40 60 811 21 41 61 8 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 y x y x 1 y x1 3 y x 2 y x3 过点 1 1 时在0 R 单增 时在0 R 单减 指 数 函 数 1 0 a a ay x R 2 5 2 1 5 1 0 500 511 522 5 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 0 1 y ax y ax x 0 a1 0 a 1 O 1 0 x y 过点 1 0 单增 1 a 单减 10 a log log1 log 10 0 logloglog logloglog loglog log log0 1 log log 0 0 a aa aaa aaa p aa c a c x a x a M N MNMN M MN N MPM b bc a ax x ax x 正 弦 函 数 xysin R 2 O x y 1 1 2 3 2 2 奇函数 2T 1 y 余 弦 函 数 xycos R O x y 1 1 2 3 2 2 2 偶函数 2T 1 y 正 切 函 数 xytan 2 kx Zk O x y 2 2 奇函数 T 在每个周期 内单增 余 切 函 数 xycot kx Zk O y x 奇函数 T 在每个周期 内单减 反 正 弦 函 数 xyarcsin 1 1 2 2 1 1 y x o 奇函数 单增 22 y 反 余 弦 函 数 xyarccos 1 1 2 1 1 y xo 单减 y0 反 正 切 函 数 xyarctan R 2 2 y x o 奇函数 单增 22 y 反 余 切 函 数 xycotarc R y x o 2 单减 y0 极限的计算方法极限的计算方法 一 初等函数 一 初等函数 1 lim 2 lim0lim0 lim0 3 lim0 0lim0 0 4 lim 00 CC C f xMf xf x f xCC f x f xMf x C f xC C C C C 是常值函数 若 即是有界量 即是无穷小量 特别 若 即是有界量 特别 5 0 1 0 sin 1 ln1 x A Bxx exxx 未定式 型 分子分母含有相同的零因式消去零因式 等价无穷小替换常用 lim limlim fxf xfx Cfxgx gxg xgx 洛必达法则 要求存在且存在此时 2 A B C 型 忽略掉分子分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大保留最高阶的无穷大再化简计算 分子分母同除以最高阶无穷大后再化简计算 洛必达法则 型型或转化为数有理化通过分式通分或无理函 型 0 0 3 0 0 1 0 0 1 04转化为 1lim17 06 005 1 0 0 0 或求对数来计算通过型 型 型 求对数 求对数 exx x 二 分段函数 二 分段函数 分段点的极限用左右极限的定义来求解 切线方程切线方程为 法线方程法线方程为 000 xxxfyy 1 0 0 0 xx xf yy 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 1 是常数 2 0 CC 1 xx 3 特别地 当时 aaa xx ln ea xx ee 4 特别地 当时 ax x a ln 1 log ea x x 1 ln 5 6 xxcos sin xxsin cos 7 8 x x x 2 2 sec cos 1 tan x x x 2 2 csc sin 1 cot 9 10 xxxtan sec sec xxxcot csc csc 11 12 arcsin x 2 1 1 x 2 1 1 arccos x x 13 14 2 1 1 arctan x x 2 1 arccot 1 x x 函数的和 差 积 商的求导法则函数的和 差 积 商的求导法则 的和 差 商 除分母为 0 的点外 都在点 x 可导 可导都在点及函数xxvvxuu xvxu及 1 xvxuxvxu 2 xvxuxvxuxvxu 3 2 xv xvxuxvxu xv xu 0 xv 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 1 为常数 0dc c 2 为任意常数 1 d xxdx 3 特别地 当时 ln xx d aaadx ea xx d ee dx 4 特别地 当时 1 log ln a dxdx xa ea 1 ln dxdx x 5 sin cosdxxdx 6 cos sindxxdx 7 2 tan secdxxdx 8 2 cot cscdxxdx 9 sec sec tandxxxdx 10 csc csc cotdxxxdx 11 2 1 arcsin 1 dxdx x 12 2 1 arccos 1 dxdx x 13 2 1 arctan 1 dxdx x 14 2 1 cot 1 d arcxdx x 曲线曲线的切线方程的切线方程 000 yyfxxx 幂指函数的导数幂指函数的导数 极限 可导 可微 连续之间的关系极限 可导 可微 连续之间的关系 极限连续 可导 可微 条件 A 条件 B A 为 B 的充分条件 条件 B 条件 A A 为 B 的必要条件 条件 A 条件 B A 和 B 互为充分必要条件 边际分析边际分析 边际成本 MC 边际收益 MR C q R q 边际利润 ML MR MC L q L qR qC q 弹性分析弹性分析 在点处的弹性 xfy 0 x 特别的 需求价格弹性 EDp D p EpD 罗尔定理罗尔定理 若函数满足 1 在闭区间连续 xf ba 2 在开区间可导 ba 3 则在内至少存在一点 使 bfaf ba 0 f ln v xv x ux u xu xvxu xv x u x 0 0 0 0 x x xEy y x Exy 拉格朗日定理拉格朗日定理 设函数满足 xf 1 在闭区间连续 ba 2 在开区间可导 ba 则在上至少存在一点 使得 ba ab afbf f 基本积分公式基本积分公式 1 0dxC 2 特别地 kCkxkdx dxxC 3 1 1 1 C x dxx 4 有时绝对值符号也可忽略不写 Cxdx x ln 1 5 C a a dxa x x ln 6 Cedxe xx 7 Cxxdx sincos 8 Cxxdx cossin 9 Cxxdx x dx tansec cos 2 2 10 Cxxdx x dx cotcsc sin 2 2 11 Cxxdxx sectansec 12 Cxxdxx csccotcsc 13 或 Cx x dx arctan 1 2 Cxarc x dx cot 1 2 14 或 Cx x dx arcsin 1 2 Cx x dx arccos 1 2 15 Cxxdx cos lntan 16 Cxxdx sin lncot 17 Cxxxdx tansec lnsec 18 Cxxdxx cotcsc lncot 19 C a x axa dx arctan 1 22 0 a 20 C ax ax axa dx ln 2 1 22 0 a x y 0 a b yg x yf x y 0 x c d xy xy 21 C a x xa dx arcsin 22 0 a 22 Caxx ax dx 22 22 ln 0 a 常用凑微分公式常用凑微分公式 1 0 1 ababaxd a dx 2 2 2 1 xdxdx 3 x ddx x 11 2 4 xddx x 2 1 5 xddx x ln 1 6 xx dedxe 7 sincosxdxdx 8 xdxdxsincos 9 xdxdxtansec2 10 xdxdxcotcsc2 11 2 1 arcsin 1 dxdx x 12 xddx x arctan 1 1 2 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解的通解为 P x dxP x dx yeQ x edxC 平面图形面积的平面图形面积的计算公式计算公式 1 区域 D 由连续曲线 和直线 x a x b 围成 其中 右图 dy P x yQ x dx f xg x axb b a Ag xf x dx D 的面积 yf xyg x 2 区域 D 由连续曲线 和直线 x c x d 围成 其中 右图 平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式 1 绕 x 轴的旋转体体积 右图 注意 此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴 2 绕 y 轴的旋转体体积 右图 注意 此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴 由边际函数求总函数由边际函数求总函数 00 0 0 q C qf x dxCCC 为固定成本 0 q R qg x dx 总利润函数为 0 0 q L qR qC qg