任意角的三角函数案例分析

1 2 11 2 1 任意角的三角函数任意角的三角函数 一 三维目标 1 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义 理解三角函数是以实数为自变 量的函数 并从任意角的三角函数的三角函数定义认识正弦 余弦 正切函数的定义域 理解并掌握正弦 余弦 正切函数在各象限内的符号 2 通过对任意角的三角函数定义的理解 掌握终边相同角的同一三角函数值相等 二 教学重 难点 重点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 终边相同的角的同一三角函数值相等 难点 用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数 三角函数的符号 第一课时第一课时 任意角的三角函数 一 任意角的三角函数 一 一 创设情境 提问 锐角的正弦 余弦 正切怎样表示 借助右图直角三角形 复习回顾 引入 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函数 数 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图 设锐角的顶点与原点重合 始边与轴的非负半轴重合 Ox 那么它的终边在第一象限 在的终边上任取一点 它与原点的距离 过作 P a b 22 0rab P 轴的垂线 垂足为 则线段的长度为 线xMOMa 段的长度为 则 MPbsin MPb OPr cos OMa OPr tan MPb OMa 思考 对于确定的角 这三个比值是否会随点 在的终边上的位置的改变而改变呢 P 显然 我们可以将点取在使线段的长OP 的特殊位置上 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数 1r sin MP b OP cos OM a OP tan MPb OMa 思考 上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示 那么 角的概念推广以 后 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改 以利推广到任意角呢 本节课就研 究这个问题 任意角的三角函数 二 探究新知 1 探究 结合上述锐角的三角函数值的求法 我们应如何求解任意角的三角函数值呢 显然 我们只需在角的终边上找到一个点 使这个点到原点的距离为 1 然后就可以类似 锐角求得该角的三角函数值了 所以 我们在此引入单位圆的定义 在直角坐标系中 我们称 以原点为圆心 以单位长度为半径的圆 O 2 思考 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义 如图 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 那么 P x y y P a b r O M 的终边 P x y O x y 1 叫做的正弦 记做 即 y sin siny 2 叫做的余弦 记做 即 x cos cosx 3 叫做的正切 记做 即 y x tan tan 0 y x x 注意 当 是锐角时 此定义与初中定义相同 指出对边 邻边 斜边所在 当 不是锐角时 也能够找出三角函数 因为 既然有角 就必然有终边 终边就必然与单位 圆有交点 从而就必然能够最终算出三角函数值 P x y 3 思考 如果知道角终边上一点 而这个点不是终边与单位圆的交点 该如何求它的三角 函数值呢 前面我们已经知道 三角函数的值与点在终边上的位置无关 仅与角的大小有关 我P 们只需计算点到原点的距离 那么 22 rxy 22 sin y xy 22 cos x xy 所以 三角函数是以为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的tan y x 函数 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系 故三角函数也可以看成实数 为自变量的函数 4 例题讲评 例例 1 1 求的正弦 余弦和正切值 5 3 例例 2 2 已知角的终边过点 求角的正弦 余弦和正切值 0 3 4 P 教材给出这两个例题 主要是帮助理解任意角的三角函数定义 我也可以尝试其他方法 如例 2 设则 3 4 xy 22 3 4 5r 于是 4 sin 5 y r 3 cos 5 x r 4 tan 3 y x 5 练习 1 已知角 的终边过点 求 的三个三角函数值 2 已知角 的终边上一点 a R 且 a 0 求 的三 个三角函数值 6 探究 请根据任意角的三角函数定义 将正弦 余弦和正切函数的定义域填入下表 7 例题讲评 例例 3 3 求证 当且仅当不等式组成立时 角为第三象限角 sin0 tan 0 8 思考 根据三角函数的定义 终边相同的角的同一三角函数值有和关系 显然 终边相同的角的同一三角函数值相等 即有公式一 sin 2 sink 其中 cos 2 cosk kZ 5 12 P aaP8 15 tan 2 tank 9 例题讲评 例例 4 4 确定下列三角函数值的符号 然后用计算器验证 1 2 3 4 cos250 sin 4 tan 672 tan3 例例 5 5 求下列三角函数值 1 2 3 sin148010 9 cos 4 11 tan 6 利用公式一 可以把求任意角的三角函数值 转化为求到 或到 角的三02 0 360 角函数值 另外可以直接利用计算器求三角函数值 但要注意角度制的问题 10 巩固练习 11 学习小结 1 内容总