上海市浦东新区建平中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

1 上海市浦东新区建平中学上海市浦东新区建平中学 2018 20192018 2019 学年高一数学下学期期末考试试学年高一数学下学期期末考试试 题 含解析 题 含解析 第第 卷 共卷 共 6060 分 分 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1212 个小题个小题 每小题每小题 3 3 分分 共共 3636 分分 1 和的等差中项为 14 答案 5 2 解析 分析 设 和的等差中项为 利用等差中项公式可得出的值 14xx 详解 设 和的等差中项为 由等差中项公式可得 故答案为 14x 145 22 x 5 2 点睛 本题考查等差中项的求解 解题时要充分利用等差中项公式来求解 考查计算能力 属于基础题 2 已知 若 则实数的值为 1 2a r 4bx a b rr x 答案 2 解析 分析 利用共线向量等价条件列等式求出实数的值 x 详解 且 因此 故答案为 1 2a r q 4bx a b rr 21 4x 2x 2 点睛 本题考查利用共线向量来求参数 解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解 考查计算能力 属于基础题 3 设函数 则 的值为 arctanf xx 1f 答案 4 解析 2 分析 根据反正切函数的值域 结合条件得出的值 1f 详解 且 因此 arctan 22 x q tantan1 44 1arctan1 4 f 故答案为 4 点睛 本题考查反正切值的求解 解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来 求解 考查计算能力 属于基础题 4 已知数列为等比数列 则数列的公比为 n a 2 1a 5 8a n a 答案 2 解析 分析 设等比数列的公比为 由可求出的值 n a q 3 5 2 a q a q 详解 设等比数列的公比为 则 因此 数列的公比 n a q 3 5 2 8 1 a q a 2q n a 为 2 故答案为 2 点睛 本题考查等比数列公比的计算 在等比数列的问题中 通常将数列中的项用首项和 公比表示 建立方程组来求解 考查运算求解能力 属于基础题 5 已知 则的值为 3 sin 25 cos 答案 3 5 解析 分析 3 利用诱导公式将等式化简 可求出的值 3 sin 25 cos 详解 由诱导公式可得 故答案为 3 sincos 25 3 5 点睛 本题考查利用诱导公式化简求值 在利用诱导公式处理化简求值的问题时 要充分 理解 奇变偶不变 符号看象限 这个规律 考查运算求解能力 属于基础题 6 已知无穷等比数列的首项为 公比为 则其各项的和为 n a 1 1 2 答案 2 3 解析 分析 根据无穷等比数列求和公式求出等比数列的各项和 n a 详解 由题意可知 等比数列的各项和为 故答案为 n a 12 13 1 2 s 2 3 点睛 本题考查等比数列各项和的求解 解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行 计算 考查计算能力 属于基础题 7 311 lim 312 n nn n 答案 1 解析 分析 在分式的分子和分母上同时除以 然后利用极限的性质来进行计算 31 31 n n 3n 4 详解 故答案为 1 1 31111 0 3 limlimlim01 1 31221 0 1 3 n n nnn nnn n 1 点睛 本题考查数列极限的计算 解题时要熟悉一些常见的极限 并充分利用极限的性质 来进行计算 考查计算能力 属于基础题 8 已知 若方程的解集为 则 0 2 sin3cos2sinxxx r 答案 3 解析 分析 将利用辅助角公式化简 可得出的值 sin3cosxx 详解 13 sin3cos2sincos2 sin coscos sin2sin 22 xxxxxxx q 其中 因此 故答案为 1 cos 2 3 sin 2 02 q 3 3 点睛 本题考查利用辅助角公式化简计算 化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤 考查运 算求解能力 属于中等题 9 在锐角中 角 所对的边为 若的面积为 且 abc a bcabcabc 1 21b 则的弧度为 2c a 答案 6 解析 分析 利用三角形的面积公式求出的值 结合角为锐角 可得出角的弧度数 sin aaa 5 详解 由三角形的面积公式可知 的面积为 abc 111 sin1 2 sin 222 abc sbcaa 得 为锐角 因此 的弧度数为 故答案为 1 sin 2 a a a 6 6 点睛 本题考查三角形面积公式的应用 考查运算求解能力 属于基础题 10 数列满足 设为数列的前 n a 111 1 22 31 n ann n n l n s 1nn aa 项和 则 n10 s 答案 5 12 解析 分析 先利用裂项求和法将数列的通项化简 并求出 由此可得出的值 n a 1nn aa 10 s 详解 111 11n nnn q 111111 11 22311 n a nnn l 1 1111 11 1212 nn aa nnnn 因此 故答案为 10 111111115 2334111212212 s l 5 12 点睛 本题考查裂项法求和 要理解裂项求和法对数列通项结构的要求 并熟悉裂项法求 和的基本步骤 考查计算能力 属于中等题 11 设为数列的前项和 若 则数列的通项公式为 n s n a n 8 1 4 2 n n n snn n n a n a 答案 1 8 1 2 3 4 3 n n n a n n n 解析 6 分析 令时 求出 再令时 求出的值 再检验的值是否符合 3n 1nnn ass 1n 1 a 1 a 由此得出数列的通项公式 2 n an n a 详解 当时 3n 11 1 443 4 nnn nnn ass 当时 不合适上式 1n 11 8as 1 8a 当时 不合适上式 2n 221 1688asa 2 8a 因此 1 8 1 2 3 4 3 n n n a n n n 故答案为 1 8 1 2 3 4 3 n n n a n n n 点睛 本题考查利用前项和求数列的通项 考查计算能力 属于中等题 n 12 已知等比数列 满足 则的取值范 1 a 2 a 3 a 4 a 1 0 1a 3 1 2a 4 2 4a 6 a 围为 答案 3 2 4 64 解析 分析 设等比数列 的公比为 由和计算出的取值范围 再由 1 a 2 a 3 a 4 aq 4 3 a q a 3 4 1 a q a q 可得出的取值范围 2 64 aa q 6 a 详解 设等比数列 的公比为 1 a 2 a 3 a 4 aq 所以 1 0 1a q 3 1 2a 4 2 4a 4 3 1 4 a q a 3 4 1 2 a q a 3 2 4q 所以 故答案为 23 64 2 4 64aa q 3 2 4 64 点睛 本题考查等比数列通项公式及其性质 解题的关键就是利用已知条件求出公比的取 7 值范围 考查运算求解能力 属于中等题 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 选择题 每题二 选择题 每题 3 3 分 满分分 满分 3636 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 已知基本单位向量 则的值为 1 0i 0 1f 34if a 1b 5c 7d 25 答案 b 解析 分析 计算出向量的坐标 再利用向量的求模公式计算出的值 34if ru r 34if rr 详解 由题意可得 因此 343 1 04 0 13 4if ru r 2 2 34345if rr 故选 b 点睛 本题考查向量模的计算 解题的关键就是求出向量的坐标 并利用坐标求出向量的 模 考查运算求解能力 属于基础题 14 在学习等差数列时 我们由 得到等差 11 0aad 21 aad 31 2aad 数列的通项公式是 象这样由特殊到一般的推理方法叫做 n a 1 1 n aand a 不完全归纳法b 数学归纳法c 综合法d 分析法 答案 a 解析 分析 根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理 但又不是数学归纳法 从而可得出结 果 详解 本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法 但本题并不是数学归纳法 因此 本题中的推理方法是不完全归纳法 故选 a 点睛 本题考查归纳法的特点 判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法 考查对概念的 理解 属于基础题 8 15 设为数列的前项和 则的值为 n s n a n 4 nn asnn 4 s a b c d 不确定 3 7 2 15 4 答案 c 解析 分析 令 由求出 的值 再令 时 由得出 两式相 1n 11 as 1 a 2n 4 nn as 11 4 nn as 减可推出数列是等比数列 求出该数列的公比 再利用等比数列求和公式可求出的 n a 4 s 值 详解 当时 得 1n 111 24asa 1 2a 当时 由得出 两式相减得 可得 2n 4 nn as 11 4 nn as 1 20 nn aa 1 1 2 n n a a 所以 数列是以为首项 以为公比的等比数列 因此 n a 2 1 2 4 4 1 2 1 1152 4 1 44 1 2 s 故选 c 点睛 本题考查利用前项和求数列通项 同时也考查了等比数列求和 在递推公式中涉 n 及与时 可利用公式求解出 也可以转化为来求解 考查 n a n s 1 1 1 2 n nn s n a ssn n a n s 推理能力与计算能力 属于中等题 16 小金同学在学校中贯彻着 边玩边学 的学风 他在 汉诺塔 的游戏中发现了数列递 推的奥妙 有 三个木桩 木桩上套有编号分别为 的 abca1234567 七个圆环 规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩 且任意一个木桩上不能 出现 编号较大的圆环在编号较小的圆环之上 的情况 现要将这七个圆环全部套到木桩 b 9 上 则所需的最少次数为 a b c d 126127128129 答案 b 解析 分析 假设桩上有个圆环 将个圆环从木桩全部套到木桩上 需要最少的次数为 a1n 1n ab 根据题意求出数列的递推公式 利用递推公式求出数列的通项公式 从而得 1n a n a n a 出的值 可得出结果 7 a 详解 假设桩上有个圆环 将个圆环从木桩全部套到木桩上 需要最少 a1n 1n ab 的次数为 可这样操作 先将个圆环从木桩全部套到木桩上 至少需要的次数为 1n a nac 然后将最大的圆环从木桩套在木桩上 需要 次 在将木桩上个圆环从木桩 n a ab1cnc 套到木桩上 至少需要的次数为 所以 易知 b n a 1 21 nn aa 1 1a 设 得 对比得 1 2 nn axax 1 2 nn aax 1 21 nn aa 1x 且 1 121 nn aa 1 1 2 1 n n a a 1 12a 所以 数列是以为首项 以为公比的等比数列 1 n a 22 因此 故选 b 6 7 12 2128a 7 127a 点睛 本题考查数列递推公式的应用 同时也考查了利用待定系数法求数列的通项 解题 的关键就是利用题意得出数列的递推公式 考查推理能力与运算求解能力 属于中等题 10 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知点是重心 gabc 2addc uuu ruuu r 1 用和表示 ab ac ag 2 用和表示 ab ac dg 答案 1 2 1 3 agabac 1 3 dgabac uuu ruu u ruuu r 解析 分析 1 设的中点为 可得出 利用重心性质得出 bcm 1 2 amabac uuuruu u ruuu r 2 3 agam uuu ruuur 由此可得出关于 的表达式 ag ab ac 2 由 得出 再由 可得出关于 2addc uuu ruuu r 2 3 adac dgagad uuu ruuu ruuu r dg ab 的表达式 ac 详解 1 设的中点为 则 bcm2amabac uuuruu u ruuu r 1 2 amabac uuuruu u ruuu r 为的重心 因此 g abc 2211 3323 agamabacabac uuu ruuuruu u ruuu ruu u ruuu r 2 2addc uuu ruuu r q 2 3 adac 因此 121 333 dgagadabacacabac uuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu ruu u ruuu r 点睛 本题考查利基底表示向量 应充分利用平面几何中一些性质 将问题中所涉及的向 量利用基底表示 并结合平面向量的线性运算法则进行计算 考查分析问题和解决问题的能 力 属于中等题 18 已知函数 22 sin2sin coscosf xxxxx x r 1 求函数的最小正周期 f x 11 2 求函数的最小值和取得最小值时的取值 f x x 答案 1 2 当时 4 xkkz min0f x 解析 分析 1 利用二倍角公式将函数的解析式化简得 再利用周期公式 yf x 1 sin2f xx 可得出函数的最小正周期 yf x 2 由可得出函数的最小值和对应的的值 22 2 xkkz yf x x 详解 1 22 sin2sin coscos1 sin2f xxxxxx q 因此 函数的最小正周期为 yf x 2 2 2 由 1 知 当 即当时 2 2 xkkz 4 xkkz 函数取到最小值 yf x min1 10f x 点睛 本题考查利用二倍角公式化简 同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解 考 查学生的化简运算能力 属于基础题 19 我将来要当一名麦田里的守望者 有那么一群孩子在一块麦田里玩 几千万的小孩子 附近没有一个大人 我是说 除了我 麦田里的守望者 中的主人公霍尔顿将自己的精 神生活寄托于那广阔无垠的麦田 假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者 abcd 如图所示 为了分割麦田 他将连接 设中边所对的角为 中边 bdabd bdabcd 所对的角为 经测量已知 bdc2abbccd 2 3ad 12 1 霍尔顿发现无论多长 为一个定值 请你验证霍尔顿的结论 并 bd 3coscosac 求出这个定值 2 霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关 记与的面积分别为 abd bcd 和 为了更好地规划麦田 请你帮助霍尔顿求出的最大值 1 s 2 s 22 12 ss 答案 1 2 3coscos1ac 14 解析 分析 1 在和中分别对使用余弦定理 可推出与的关系 即可得出 abd bcd bdac 是一个定值 3coscosac 2 求出 的表达式 利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围 可得出 22 12 ss 的最大值 22 12 ss 详解 1 在中 由余弦定理得 abd 2 4 128 3cos168 3cosbdaa 在中 由余弦定理得 bcd 2 448cosbdc 168 3cos88cosac 则 83coscos8ac 3coscos1ac 2 1 1 2 2 3sin2 3sin 2 saa q 2 1 2 2sin2sin 2 scc 则 222222 12 12sin4sin1612cos4cosssacac 13 由 1 知 代入上式得 3cos1 cosac 2 2222 12 16 12cos43cos124cos8 3cos12ssaaaa 配方得 2 22 12 3 24 cos14 6 ssa 当时 取到最大值 3 arccos 6 a 22 12 ss 14 点睛 本题考查余弦定理的应用 三角形面积的求法以及二次函数最值的求解 解题的关 键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解 考查运算求解能力 属于中等题 20 已知 1 nn a an nnn 1 求的坐标 122334 a aa aa a 2 设 求数列的通项公式 11nn ba ann uuuuu r n b 3 设 其中为常数 1 11 22 nn aa b b 22 1 11 22 nn aa c cnn a 求的值 1a 11 2 11 1 lim 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 答案 1 2 122334 6 6a aa aa a 22 22 n nn nn b 3 当时 1a 11 2 11 1 lim2 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 当或时 1a 1a 11 2 11 1 lim0 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 解析 分析 1 利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果 2 利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列的通项公式 n b 14 3 先计算出的表达式 然后分 三种情况 11 2 11 1 1 nnnn nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 1a 1a 1a 计算出的值 11 2 11 1 lim 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 详解 1 由题意得 122334 123 1236 6a aa aa a 2 112231 1 23 123 nnnnn ba aa aa aa ann uuuuuruuuu ruuuu ruuuuur lll 22 22 nn nn 3 11 2 22 11 111 11 1 nnnn nnnn n aaa ab ba ann a ac cn uuuuur uuuuur q uuuuur uuuuu u r 当时 1a 11 2 11 12 limlim0 1 1 nnnn nn nnnn a ab ba n a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 当时 1a 11 2 11 1222 limlimlim2 1 11 0 11 nnnn nnn nnnn a ab ban n a ac cn n uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 当时 1a 2 11 2 22 2 11 2 11 111 limlimlim0 11 11 11 nnnn nnn nnnn aa n aaa ab ba nn ann a ac cna nn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 点睛 本题考查平面向量坐标的线性运算 同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算 计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解 综合性较强 属于中等题 21 无穷数列满足 为正整数 且对任意正整数 为前项 n a 1 a n1n a n1 a 2 a 中等于的项的个数 n a n a 1 若 求和的值 1 2019a 2 a 4 a 15 2 已知命题 存在正整数 使得 判断命题的真假并说明理由 pm 1 2 m m a a p 3 若对任意正整数 都有恒成立 求的值 n2nn aa 1039 a 答案 1 2 真命题 证明见解析 3 2 1a 4 2a 1039 520a 解析 分析 1 根据题意直接写出 的值 可得出结果 2 a 3 a 4 a 2 分和两种情况讨论 找出使得等式成立的正整数 可得知命题 1 1a 1 1a 1 2 m m a a m 为真命题 p 3 先证明出 是 存在 当时 恒有成立 的充要条件 1 1a mn nm 2nn aa 由此可得出 然后利用定义得出 由此可得出的值 1 1a 21n an nn 1039 a 详解 1 根据题意知 对任意正整数 为前项 中等于的项 n1n a n1 a 2 a n a n a 的个数 因此 2 1a 3 1a