高二数学《不等式》讲义

高二数学高二数学 不等式不等式 讲义讲义 学习目标学习目标 1 了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系 2 会用差值法比较两实数的大小 3 掌握不等式的基本性质 并能运用这些性质解决有关问题 要点梳理要点梳理 要点一 符号法则与比较大小要点一 符号法则与比较大小 实数的符号 实数的符号 任意 则 为正数 或 为负数 三种情况有且只有一种成立 xR 0 x x0 x 0 x x 两实数的加 乘运算结果的符号具有以下符号性质 两实数的加 乘运算结果的符号具有以下符号性质 两个同号实数相加 和的符号不变 符号语言 0 00abab 0 00abab 两个同号实数相乘 积是正数 符号语言 0 00abab 0 00abab 两个异号实数相乘 积是负数 符号语言 0 00abab 任何实数的平方为非负数 0 的平方为 0 符号语言 2 0 xRx 2 00 xx 比较两个实数大小的法则 比较两个实数大小的法则 对任意两个实数 ab 0baba 0baba 0baba 对于任意实数 三种关系有且只有一种成立 abab ab ab 要点诠释 要点诠释 这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系 它是本章的基础 也是证 明不等式与解不等式的主要依据 要点二 不等式的性质要点二 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有 基本性质有 1 对称性 a b bb b c a c 3 可加性 c R abacbc 4 可乘性 a b bcacc bcacc bcacc 0 0 0 运算性质有 运算性质有 1 可加法则 ab cdacbd 2 可乘法则 ab 0 cd 0a cb d 0 3 可乘方性 0 0 nn abnNab 4 可开方性 nn ab0 nN n1ab 要点诠释 要点诠释 不等式的性质是不等式同解变形的依据 要点三 比较两代数式大小的方法要点三 比较两代数式大小的方法 作差法 作差法 任意两个代数式 可以作差后比较与 0 的关系 进一步比较与的大小 abab ab ab 0baba 0baba 0baba 作商法 作商法 任意两个值为正的代数式 可以作商后比较与 1 的关系 进一步比较与的大小 abab a b ab 1b a a b 1b a a b 1b a a b 中间量法 中间量法 若且 则 实质是不等式的传递性 一般选择 0 或 1 为中间量 a bb ca c 利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构 可以利用相应的基本函数的单调性比较大小 作差比较法的步骤 第一步 作差 第二步 变形 常采用配方 因式分解等恒等变形手段 将 差 化为 积 第三步 定号 就是确定差是大于 等于还是小于 0 最后下结论 要点诠释 要点诠释 三步一结论 这里 定号 是目的 变形 是关键过程 典型例题典型例题 类型一 用不等式表示不等关系类型一 用不等式表示不等关系 例例 1 某人有楼房一幢 室内面积共 拟分割成大 小两类房间作为旅游客房 大房间面积为 2 180m 2 18m 可住游客 5 人 每名游客每天住宿费 40 元 小房间每间面积为 可住游客 3 人 每名游客每 2 15m 天住宿费 50 元 装修大房间每间需要 1000 元 装修小房间每间需要 600 元 如果他只能筹款 8000 元用 于装修 试写出满足上述所有不等关系的不等式 思路点拨 把已知条件用等式或不等式列出来 代数化 把目标用代数式表示 再研究条件和目标的 关系 解析 假设装修大 小客房分别为间 间 根据题意 应由下列不等关系 xy 1 总费用不超过 8000 元 2 总面积不超过 2 180m 3 大 小客房的房间数都为非负数且为正整数 即有 即 180 0 0 10006008000 1815 xxN yyN xy xy 60 0 0 5340 65 xxN yyN xy xy 此即为所求满足题意的不等式组 总结升华 求解数学应用题的关键是建立数学模型 只要把模型中的量具体化 就可以得到相应 的数学问题 然后运用数学知识 方法 技巧等解决数学问题 在解决实际问题时 要注意变量的取值 范围 举一反三 举一反三 变式 某种杂志原以每本 2 5 元的价格销售 可以售出 8 万本 据市场调查 若单价每提高 0 1 元 销售量就可能相应减少 2000 本 若把提价后杂志的定价设为 x 元 怎样用不等式表示销售的总收入仍不 低于 20 万元呢 答案 设杂志社的定价为 x 元 则销售的总收入为 2 5 80 2 0 1 x x 万元 那么不等关系 销售 的总收入仍不低于 20 万元 可以表示为不等式 2 5 80 2 20 0 1 x x 类型二 不等式类型二 不等式性质的应用性质的应用 例例 2 对于实数 a b c 判断以下命题的真假 若 a b 则 acbc2 则 a b 若 a bab b2 若 a b b 若 a b 则 a 0 bbc2 所以 c 0 从而 c2 0 故原命题为真命题 因为 所以 a2 ab 0a ba 又 所以 ab b2 0b ba 综合 得 a2 ab b2 故原命题为真命题 两个负实数 绝对值大的反而小 故原命题为真命题 因为 所以 ba ba 11 0 11 0 ab ab 所以 从而 abb 所以 a 0 b 0 故原命题为真命题 总结升华 不等式的性质应用要注意使用的条件 正确变形 举一反三 举一反三 变式 1 若 a 0 b a c d 0 则下列命题 1 ad bc 2 3 a c b d 4 a d c b d c 中能成立0 ab dc 的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 变式 2 若 a bv 0 则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间 22 2SSuS t uvuvuv 平均速度 22 2Suv u tu 222 0 uvv uuu uu uu 因此 船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等 平均速度小于船在静 水中的速度 总结升华 本例利用了做差比较大小的方法 注意符号的判断方法 举一反三 举一反三 变式 甲乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地 甲车一半时间的速度为 a 另一半时间的速度为 b 乙 车用速度为 a 行走一半路程 用速度 b 行走另一半路程 若 试判断哪辆车先到达 B 地 ab 答案 甲车先到达 B 地 解析 设从 A 到 B 的路程为 S 甲车用的时间为 乙车用的时间为 1 t 2 t 则 11 12 211 22222 ttSSSS abStt ababab 22 2SS 112S S4S S S 0 222 2 abababab ababababab abab ab 所以 甲车先到达 B 地 类型三 作差类型三 作差比较大小比较大小 例例 4 4 已知 a b c 是实数 试比较 a2 b2 c2与 ab bc ca 的大小 思路点拨 此题属于两代数式比较大小 实际上是比较它们的值的大小 可以作差 然后展开 合 并同类项之后 判断差值正负 注意是指差的符号 至于差的值究竟是多少 在这里无关紧要 根据实 数运算的符号法则来得出两个代数式的大小 比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题 解析 222 abcabbcca 222 1 0 2 abbcca 当且仅当 a b c 时取等号 a2 b2 c2 ab bc ca 总结升华 用作差法比较两个实数 代数式 的大小 其具体解题步骤可归纳为 第一步 作差并化简 其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式 n 第二步 判断差值与零的大小关系 必要时需进行讨论 第三步 得出结论 举一反三 举一反三 变式 1 在以下各题的横线处适当的不等号 1 2 32 62 6 2 2 32 2 61 3 25 1 56 1 4 当时 0ab 1 2 log a 1 2 log b 答案 1 2 3 4 变式 2 比较下列两代数式的大小 1 与 2 与 5 9 xx 2 7 x 22 222abab 223ab 答案 1 2 5 9 7 xxx 2 22 222 223 ababab 2222 21 21 2 1aabbaabb 222 1 1 1 10abab 22 222223ababab 例例 5 已知 试比较和的大小 ab 0ab 1 a 1 b 解析 11ba abab 即 ab 0ba 当时 0ab 0 ba ab 11 ab 当时 0ab 0 ba ab 11 ab 总结升华 变形一步最为关键 直至变形到能判断符号为止 另需注意字母的符号 必要时需要 分类讨论 举一反三 举一反三 变式 已知 比较的大小a0 b 0ab 且 22 ab ab ba 与 答案 22 ab ab ba 33 22 2 2 0 ab ab ab aabb ab ab ab ab ab 22 ab ab ba 类型四 作商比较类型四 作商比较大小大小 例例 6 已知 且 比较的大小 abR ab abba a ba b与 思路点拨 本题是两指数式比较大小 如果设想作差法 很明显很难判断符号 由指数式是正项可 以联想到作商法 解析 abR 0 ab a b 0 ba a b 作商 ab ababa b ba a babaaa a bbabbb 1 若 a b 0 则 a b 0 此时成立 1 b a 1 ba b a abba a ba b 2 若 b a 0 则 a b 0 此时成立 10 b a 1 ba b a abba a ba b 综上 总成立 abba a ba b 总结升华 1 作商比较法的基本步骤是 判定式子的符号并作商变形 判定商式大于 1 或等于 1 或小于 1 结论 2 正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法 举一反三 举一反三 变式 已知为互不相等的正数 求证 abc 2a2b2cb cc aa b a b cabc 答案 为不等正数 不失一般性 设abc abc0 这时 则有 2a2b2