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第四章积分变换法 1 4 1傅立叶变换的概念和性质4 2傅立叶变换的应用4 3拉普拉斯变换的概念和性质4 4拉普拉斯变换的应用 2 定义 假设I是数集 实数或者复数 K s x 为上的函数 这里 a b 为任意区间 如果f x 在区间 a b 有定义 且K s x f x 为 a b 上可积函数 则含参变量积分 定义了一个从f x 到F s 的变换 称为积分变换 K s x 为变换的核 常见的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换 4 1傅立叶变换的概念和性质 3 傅立叶变换 记作 假设f x 在上有定义 在上绝对可积 在任一有限区间上有有限个极大值 极小值 且至多有有限个第一类不连续点 则函数 称为f t 的傅立叶变换 4 1傅立叶变换的概念和性质 4 傅立叶逆变换定义为 记作 当f x 满足上述条件时 有 傅立叶积分定理 t是连续点t是第一类间断点 特别的 当f x 连续时 4 1傅立叶变换的概念和性质 5 傅立叶变换具有如下性质 1 线性性质 设f g是绝对可积的函数 为数 2 微分运算性质 4 1傅立叶变换的概念和性质 6 3 对傅立叶变换后的函数求导数 4 卷积性质 设f x g x 在上绝对可积 定义卷积 4 1傅立叶变换的概念和性质 7 5 乘积运算 傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系 6 平移性质 4 1傅立叶变换的概念和性质 8 思考 对于u x y 若以y为参数 对x作傅立叶变换 由傅立叶变换的线性性质 同理 4 1傅立叶变换的概念和性质 9 4 2傅立叶变换的应用 10 例用积分变换法解方程 解 由自变量的取值范围 对x进行傅立叶变换 设 那么方程转变为 4 2傅立叶变换的应用 11 解得 为了求出原方程的解 下面对关于进行傅立叶逆变换 t是参数 4 2傅立叶变换的应用 12 例用积分变换法解方程 解 作关于的傅立叶变换 设 方程变为 4 2傅立叶变换的应用 13 可解得 而 则 上式两边关于x作逆傅立叶变换 得 4 2傅立叶变换的应用 14 4 2傅立叶变换的应用 15 例用积分变换法求解初值问题 解 作关于x的傅立叶变换 设 t是参数 4 2傅立叶变换的应用 16 于是原方程变为 满足初始条件 4 2傅立叶变换的应用 17 的通解为 由初始条件 是参数 解常微分方程 4 2傅立叶变换的应用 18 取傅立叶逆变换 得 其中 注意到 而 4 2傅立叶变换的应用 19 所以取傅立叶逆变换 得 t是参数 4 2傅立叶变换的应用 20 所以取傅立叶逆变换 得 t是参数 4 2傅立叶变换的应用 21 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 22 拉普拉斯变换 傅立叶变换要求函数f在有定义并且绝对可积 很多常见函数 如常函数 多项式 三角函数等都不满足条件 以时间t为自变量的函数在区间也无意义 这些都限制了傅立叶变换的应用 为此引入拉普拉斯 Laplace 变换 拉普拉斯变换的积分核为 单边 拉普拉斯变换 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 23 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 24 基本性质 1 基本变换 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 25 2 线性性质 3 微分性质 若则 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 26 4 积分性质 6 位移性质 7 延迟性质 5 对拉普拉斯变换求导 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 27 8 卷积性质 应用 拉普拉斯变换既适用于常微分方程 如P38 也适用于偏微分方程 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 28 例解常微分方程的初值问题 解 对t进行拉普拉斯变换 设 则原方程变为 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 29 对p进行拉普拉斯逆变换 考虑到 有 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 30 例设 求解常微分方程的初值问题 解对进行拉普拉斯变换 设 则 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 31 于是原方程变为 由上式得 对进行拉普拉斯逆变换 得 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 32 拉普拉斯变换的反演公式 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 33 利用留数基本定理 可得 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 34 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 35 4 3拉普拉斯变换的概念和性质 36 4 4拉普拉斯变换的应用 37 例 设x 0 y 0 求解定解问题 解 对y进行拉普拉斯变换 设 则方程变为 4 4拉普拉斯变换的应用 38 而变为 解ODE 对p取拉普拉斯逆变换 得 4 4拉普拉斯变换的应用 39 解问题归结为求解下列定解问题 例一条半无限长的杆 端点温度变化已知 杆的初始温度为0 求杆上温度分布规律 对t进行拉普拉斯变换 怎么变换 为什么 知道的值了 4 4拉普拉斯变换的应用 40 分析由于 故不能用傅立叶变换 而要用拉普拉斯变换 如果对进行拉普拉斯变换 由于方程中出现了 在变换中需要知道以及的值 如果对进行拉普拉普拉斯变换 由于方程中出现了 在变换中需要知道 因此 我们对进行拉普拉斯变换 4 4拉普拉斯变换的应用 41 对t进行拉普拉斯变换 设 于是方程变为 这是二阶常微分方程的边值问题 它的通解为 二阶方程 但是仅有一个边界条件 需要引入自然边界条件 4 1傅立叶变换的概念和性质 4 4拉普拉斯变换的应用 42 考虑到具体问题的物理意义 u x t 表示温度 从而D 0 再由边值条件可知 C F p 为求出u x t 在上式中对p进行拉普拉斯逆变换 4 4拉普拉斯变换的应用 43 由拉普拉斯变换表知 4 4拉普拉斯变换的应用 44 4 4拉普拉斯变换的应用 45 积分变换法求解定解问题的原则和步骤 1 选取恰当的积分变换 主要考虑自变量取值范围 傅立叶变换要求取值范围是 拉普拉斯变换要求取值范围是 3 注意定解条件的形式 假如对x进行拉普拉斯变换 而原方程是关于为x的k阶方程 则定解条件中必须出现 2 傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积 许多函数不能作傅立叶变换 46 数学物理方程 定解条件 解 常微分方程 定解条件 解