圆心角与圆周角的关系（2）

第三章第三章 圆圆 3 3 圆周角和圆心角的关系 二 圆周角和圆心角的关系 二 广东省江门市新会华侨中学广东省江门市新会华侨中学 李小玲李小玲 一 学生知识状况分析一 学生知识状况分析 学生的知识技能基础学生的知识技能基础 学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆 心角的性质 掌握了在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有 一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 在上一课时中 了解 了同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系 初步了解研究图形的方法 如折叠 轴对称 旋转 证明等 学生的活动经验基础学生的活动经验基础 在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习 的过程 具有了一定的合作学习的经验 具备了一定的合作与交流的能力 二 教学任务分析二 教学任务分析 本节共分 2 个课时 这是第 2 课时 主要研究圆周角定理的几个推论 并 利用这些解决一些简单问题 具体地说 本节课的教学目标为 知识与技能知识与技能 1 掌握圆周角定理几个推论的内容 2 会熟练运用推论解决问题 过程与方法过程与方法 1 培养学生观察 分析及理解问题的能力 2 在学生自主探索推论的过程中 经历猜想 推理 验证等环节 获得正 确的学习方式 情感态度与价值观情感态度与价值观 培养学生的探索精神和解决问题的能力 教学重点 教学重点 圆周角定理的几个推论的应用 教学难点 教学难点 理解几个推论的 题设 和 结论 B B B A A A E E E C C C D D D O O O 三 教学过程分析三 教学过程分析 本节课分为五个教学环节 复习引入新课 新知学习 练习 课时小结 布置作业 第一环节第一环节 复习引入新课复习引入新课 活动内容 活动内容 一 复习 1 如图 BOC 是 角 BAC 是 角 若 BOC 80 BAC 第 1 题图 第 2 题图 A A A B B B C C C O O O A A A B B B C C C O O O 2 如图 点 A B C 都 在 O 上 若 ABO 65 则 BCA A 25 B 32 5 C 30 D 45 二 引入新课 观察图 ABC ADC 和 AEC 各是什么角 它们有什么共同的特 征 它们的大小有什么关系 为什么 解决上一课时中遗留的问题 如图 当他站在 B D E 的位置射球时对球门 AC 的张角的大小是相 等的 为什么呢 因为这三个角都对着 AC 弧 所以它们相等 第二环节第二环节 新知学习新知学习 活动内容活动内容 议一议 1 通过对上面问题的讨论 引导学生总结 在同圆或等圆中 同弧所对的 圆周角相等 提问 如果把上面的同弧改成等弧 结论成立吗 进一步得到 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 问题 若将上面推论中的 同弧或等弧 改为 同弦或等弦 结论成立吗 请 同学们互相议一议 2 观察图 BC 是 O 的直径 它所对和圆周角是锐角 直角 还是钝 角 你是如何判断的 观察图 圆周角 BAC 90 弦 BC 经过圆心吗 为 什么 A A A B B B C C C O O O 图图图 B B B C C C A A A O O O 图图图 由以上我们可得到 直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是 直径 活动目的 活动目的 通过互相交流讨论 总结规律 通过老师把问题进一步深化和变化 引导 学生得到正确的定理 实际教学效果实际教学效果 在教学时注意 1 同弧 指 同一个圆 2 等弧 指 在同圆或等圆中 3 同弧或等弧 不能改为 同弦或等弦 第三环节第三环节 练习练习 活动内容活动内容 一 例题讲解 1 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形 根据下图 你能判断 哪个是半圆形 为什么 2 如图 AB 是 O 的直径 BD 是 O 的弦 延长 BD 到 C 使 AC AB BD 与 CD 的大小有什么关系 为什么 分析 由于 AB 是 O 的直径 故连接 AD 由直径所对的圆周角是直角 可得 AD BC 又因为 ABC 中 AC AB 所以由等腰三角形的三线合一 可证得 BD CD 3 船在航行过程中 船长常常通过测定角度 来确定是否会遇到暗礁 如图 A B 表示灯塔 暗礁分布在经过 A B 两点的一个圆形区域内 C 表示一个危险临界点 ACB 就是 危险角 当船与两个灯塔的夹角大于 危险角 时 就有可 能触礁 1 当船与两个灯塔的夹角 大于 危险角 时 船位于 哪个区域 为什么 2 当船与两个灯塔的夹角 小于 危险角 时 船位于 哪个区域 为什么 活动目的活动目的 这个定理的学习是比较容易理解 这一推论应用非常广泛 一般地 如果 题目的已知条件中有直径时 往往作出直径上的圆周角 直角 如果需要直 角或证明垂直时 往往作出直径即可解决问题 为了进一步熟悉推论 安排三 A A A B B B C C C D D D O O O 个例子 例子 1 只要通过观察图形 学生就可以得到答案 完成这个例子还可以帮 助正确理解这个定理 例子 2 是一题推理论证题 由图形 AB 是 O 的直径可联系到所对的圆周 角是直角 故连接 AD 由等腰三角形的三线合一 可证得 BD CD 例子 3 这是一个有实际背景的问题 解决这一问题不仅要用到圆周角定理 的推论 而且还要应用分类假设的思想 由题意可知 危险角 ACB 实际上 就是圆周角 船 P 与两个灯塔的夹角为 P 有可能在 O 外 P 有可能在 O 内 当 C 时 船位于暗礁区域内 当 C 时 船位于暗礁 区域外 我们可采用反证法进行论证 实际教学效果实际教学效果 注意 用反证法证明命题的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 2 从这个假设出发 经过推理论证得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 二 学生练习 1 为什么有些电影院的坐位排列 横排 呈圆弧形 说一说这种设计的合 理性 2 如图 哪个角与 BAC 相等 第 2 题图 第 3 题图 A A A B B B C C C D D D A A A B B B C C C O O O 3 如图 O 的直径 AB 10 cm C 为 O 上的一点 ABC 30 求 AC 的长 第四环节第四环节 课时小结课时小结 1 要理解好圆周角定理的推论 2 构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法 3 要多观察图形 善于识别圆周角与圆心角 构造同弧所对的圆周角也是 常用方法之一 4 圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系 而同圆或等圆中圆心角 弧 弦之间又存在等量关系 因此 圆中的角 圆周角和圆心角 弦 弧等的相等 关系可以互相转化 但转化过程中要注意以圆心角 弧为桥梁 如由弦相等只 能得弧或圆心角相等 不能直接得圆周角等 第五环节第五环节 布置作业布置作业 课本第 108 页 习题 3 5 1