行测数学运算解题技巧——插板法巧解排列组合题

1 妙用妙用 插板法插板法 突破行测瓶颈 突破行测瓶颈 排列组合数学题排列组合数学题 华图教育集团华图教育集团 唐颖唐颖 在公务员考试的行政职业能力测验中 数学运算一直都是提高分数的重中之重 而数 学运算中许多问题都有一定的难度 使一些考生望而却步 下面讨论的排列组合问题就是 难点之一 当然 万变不离其宗 掌握问题本质 再难的问题都可以迎刃而解 为帮助考 生掌握快速答题技巧 唐颖老师结合多年辅导经验 向考生们介绍一个非常有效的解决排 列组合问题的方法 插板法 插板法用于解决 相同 元素的分组问题 且要求每组至少一个元素 我们先来看下面一道题目 例题 1 将 6 个相同的小球分到 3 个不同的箱子里去 要求每个箱子至少有 1 个小球 有多少种不同分法 解析 首先 我们想象 3 个不同的箱子 这些箱子之间存在 2 个间隔 那么 我们可以反 过来思考 将这 2 个间隔看成 2 个抽象的 隔板 容易想象 插入 2 个 隔板 将隔离 出 3 个区域 相当于箱子 然后 我们将 6 个相同的小球排成一行 如 这 6 个相同的小球之间出现 了 5 个空隙 最后 再将 2 个 隔板 插到 5 个空隙中 就把这 6 个小球隔成了 3 个不同的区域 相当 于分配到 3 个不同的箱子 故总共有种分法 10 2 45 2 5 C 我们从例题 1 的分析过程中可以归纳出如下 插板法 核心要素 核心问题 将 m 个相同的元素 分到不同的 n 组中 要求每组中至少有一个元素 有多 少种不同分法 核心思路 m 个相同的元素有 m 1 个空隙 n 组之间相当于有 n 1 个 隔板 把 n 1 个 隔板 插到 m 1 个空隙中 有多少种分配方法 即为所求的分配方法种数 这种借助抽象的 隔板 来考虑分配元素的方法被称为 插板法 它是解决相同物品分配 问题的重要思路 2 核心公式 共有种分配方法 1 1 n m C 例题 2 将 16 个相同的彩球放到 3 个不同的箱子里去 要求每个箱子至少放 1 个 请问 有多少种不同的方法 解析 3 个不同的箱子之间有 2 个 隔板 16 个相同的彩球之间有 15 个空隙 故分法共 有种 105 2 1415 2 15 C 例题 3 将 12 个奖学金名额分配到 6 个班级中 要求每个班级至少分到 1 个名额 问有 几种分法 解析 奖学金名额是相同的 班级是不同的 6 个不同的班级之间有 5 个 隔板 12 个奖 学金名额之间有 11 个空隙 故分法共有种 462 2345 7891011 5 11 C 插板法 的适用范围 使用插板法来解决相同元素分配到不同组的问题非常简便 但这类问题适用插板法的 前提相当严格 必须同时满足三个条件 缺一不可 一 需要分配的元素完全相同 二 接受元素的组合是不同的 且分配过程中将所有元素都分配完毕 没有剩余 三 每个组合至少分配 1 个 不可以有任何一组分不到元素 由于有了这样的条件限制 对于很多的问题 不能直接套用插板法解决 但是我们可 以通过条件的转化 使其符合上述三个条件 这样就可以直接使用插板法解决 大大加快 了解题速度 核心题型变式一 题型阐释 有 m 个相同的元素 分到 n 个不同的组合 要求各组中分到的元素至少为确定 值 a a 1 且各组 a 值可以不同 问有多少种不同分法 解题思路 这种问题要求组中分到的元素不能少于某个确定值 a 各组分到的并非至少一 个 对于这样的题 我们就首先将各组都先放入 a 1 个 然后再通过插板法 保证每组中至 少分配 1 个 就满足了各组至少 n 个的要求 3 图解如下 要求 至少 a1 至少 a2 至少 a3 先放入 a1 1 a2 1 a3 1 插板法 至少 1 至少 1 至少 1 放完后 a1 a2 a3 例题 4 10 个相同的球放入编号分别为 1 2 3 的盒子中 盒中的球数不小于编号数 有多少种不同分法 解析 先将每个盒子中放入 0 1 2 个球 此时还剩 7 个球待分配 且每个盒子至少放 1 个球 转化为核心模型问题 直接套用核心公式 共有种分法 15 2 56 2 6 C 核心题型变式二 题型阐释 将 m 个相同的元素 分到 n 个不同的组中 有多少种不同的分法 解题思路 这种问题允许一些组中分到的元素为 0 不满足至少分 1 个的要求 对于这样的题 我们借鉴变式一的思路 首先将每组都先放进 1 个 也就相当于不仅没有 放进组中 反而从每组中借出 1 个 n 组中就借出了 n 个 这样需要分配的元素个数就转 化成 m n 个 每组需要至少放进 1 个 可以通过插板法解题 图解如下 要求 至少 0 至少 0 至少 0 先放入 1 1 1 插板法 至少 1 至少 1 至少 1 放完后 0 0 0 例题 5 将 9 个相同的球放到 3 个不同的盒子里 共有多少种不同的方法 A 55 B 28 C 81 D 729 解析 这道题很多同学容易错选 B 错误的原因是直接套用 插板法 核心公式 忽略了 题中并没有关键条件 每个盒子至少放 1 个球 但是 此题只需要稍作转化 即可套用 插板法 核心思路与公式 同前面的分析一样 我们可以先从每个盒子里借出 1 个球 3 个盒子共借出 3 个球 题目 4 转化为 将 9 3 12 个球放到 3 个不同的盒子里 每个盒子至少放 1 个球 此时 这题就属于核心模型问题 m 个相同物品分配到 n 个不同的组合中 每组至少 放 1 个 直接套用核心公式 共有种分法 55 2 1011 2 11 C 练习 2010 年国考真题 某单位订阅了 30 份学习材料发放给 3 个部门 每个部门至少 发放 9 份材料 问一共有多少种不同的发放方法 A 7 B 9 C 10 D 12 解析