量子力学考博中用到的物理公式(复习时总结的)

初等量子力学的四块内容初等量子力学的四块内容 一 薛氏方程一 薛氏方程 C1 波函数与薛氏方程 1 付氏变换 动量坐标为正 3 3 2 1 2 i p r rp ed p 2 函数的两个重要极限及一个积分公式 相当于物理中的波粒转换 1 2 i x xed 其推导过程 两式比较得出 0 00 0 1 2 ix x f xf xxx dx f xdxdf x e 试题 1 5 用到 2 4 lim ii x xee 好像与某个积分是一样的 只是有些变换 2 4ii ede 3 3 证明技巧 证明技巧 等式一边含有 而一边没有 肯定是作为一个整体消去的 V 2 2 2 V m 4 波函数平方可积的要求 2 3 3 2 s d rArrr 全 0s 可以在证明某些概率守恒的式子时 体积分面积分 可以可以 VS AdVA ds 得到一些式子的积分为得到一些式子的积分为 0 0 5 0 xx t 先将展为能量本征态的线性组合 自由粒子时即可以通过付氏化为 再 0 x p iEt En x tCx e C2 一维势场中的粒子 1 各种势类型 方势 势 谐振子 半壁无限谐振子 谐振子奇数解 半壁无限方势 不对称方势阱 2 注 nnnn n xCxCxx nn Cxx dx 意积分范围 22 1122 22 222 1122 HCECE HCECE 3 无限深势阱的解 能量可通过求 2 sin 0 n n x x aa 222 2 2 n n E ma 222 22 P E mm 得 4 谐振子的解 其中 2 2 1 2 2 nx nn xneHx m 5 5 递推关系 递推关系 12 2 2 0 nnn HxxHxnHx 1 2 nn HxnHx 所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足 1 n nn xx C5 中心力场 1 径向波函数 R rrr 2 2 1 0 2 ll l l rEV rr r 时 若有 则 0r 2 0 lim 0 r r V r l l R rr 2 无限深球方势阱 S 态 其与无限深方势阱一样 1 0l 时 令 2 0l kr 则本征方程 2 2 2 1 00 0 lll l l l RrRrkR rra rr R aboundrycondition 转化为球 Bessel 方程 从导出能量本征值 ll R rj kr 0 l j ka 3 三维各向同性谐振子 合流超几何函数 3 2 2 Nr ENNnl 简并度 简并度 若计及电子自旋时 则 若计及电子自旋时 则 1 1 2 2 n fNN 2 F HF H 定理 对定理 对 求导 可得出求导 可得出 对 对求导 可得出求导 可得出 l 2 1 r 2 r 球坐标直角坐标 相当于在三 四象限 011100 01 1010 010001 1220 1220 001 i i 4 氢原子 合流超几何函数 其中 Bohr 半径 2 2 1 1 2 Nr e Ennl a n 2 2 a e 简并度 简并度 若计及电子自旋时 则 若计及电子自旋时 则 2 n fn 2 F HF H 定理 对定理 对 求导 可得出求导 可得出 位力定理可得出类氢原子 位力定理可得出类氢原子 l 2 1 r 1 r 在计算过程要注意电荷量 在计算过程要注意电荷量 2 pZ 基氢波函数 基氢波函数 1 2 100 3 1 r a e a 5 圆轨道 0 1 r nnl 最概然半径 2 0 1 0 n d r dr 0 0 1 Zr nan n rCr e 2 0 n rn aZ 6 二维不对称谐振子 在计算简并度 把 在计算简并度 把 N N 表示成表示成的表的表 2222 11 22 xy V x yxy xy n n 达式 达式 7 二维 Coulomb 势 C9 力学本征值的代数解法 二 算符理论二 算符理论 C3 力学量用算符表示 1 厄米算符 即可以把算符写在任意函数前 AA 22 0AAAA 2 2 不确定公式 不确定公式 不确定度与对易平均值有关 1 2 1 2 ABABA B 3 球谐函数 21 1 cos 4 mmim lml llm YPe lm 4 箱归一化 若要为厄米算符 周期条件 i x 22 LL 5 5 B B K K Baker HausdorffBaker Hausdorff 公式 通过定义函数来证明 公式 通过定义函数来证明 1 21 2 A BABCBAC ee e ee e eA BC 6 6 在计算某个算符的平均值时 可以通过对易关系化为算其它算符 在计算某个算符的平均值时 可以通过对易关系化为算其它算符 的平均值 的平均值 2 2 ppim r Hripr H mm zxy lil l C4 力学量随时间变化与对称性 1 1 三个定理 三个定理 位力定理 定态时成立 即能量本征态 由导出 1 0 d ir pr p H dt 2 1 2prVTrV m Ehrenfest 定理 newton law 2 由下面两个式子导出 2 2 d mrF r dt 1 1 dp rr H dtim d pp HV rF r dti F H Feynman Hellmann 定理 3 证明题中右矢与左矢的对应运用 证明题中右矢与左矢的对应运用 n nn EH 2 守恒量 1 d A tA HA dtit 3 Heisenberg 图像 给算符加一个时间算符时间算符 0 0 0 0 iH tiH t A tU tAU teAe 导出 Heisenberg 方程 可以解算符随时间的变化情况 1 d A tA t H dti 4 4 全同粒子 交换算符 全同粒子 交换算符 FermiFermi 子不能有两个粒子处于同一个态 把粒子能待的态选好后 子不能有两个粒子处于同一个态 把粒子能待的态选好后 由于对称性要求由于对称性要求 BoseBose 子和子和 FermiFermi 子都只有一种波函数 关键在于选子都只有一种波函数 关键在于选 好粒子处于哪些态 好粒子处于哪些态 三 矩阵力学三 矩阵力学 C7 量子力学的矩阵形式与表象变换 四 相互作用四 相互作用 C6 电磁场中粒子的运动 电子与磁场作用 1 H 量 2 1 2 qA HPq C 1 BA EA Ct 本征方程 比无作用时多 2 22 2 1 22 qq ipA PAq tCC 出二项 其中利用了 0A 2 正常 Zeeman 效应 氢原子 作用项 z l 恒恒磁场沿 Z 方向 取相应的矢势 1 2 ABr 11 0 22 xyz ABy ABx A 22 2 22 2 1 24 z eBe B HplxyV r CC 比氢原子多出两项 作用项 反磁项 在原子中反磁项太小可忽略 在原子中反磁项太小可忽略 z l 能量本征态 与氢原子一样 取的本征态 2 z H ll 能级 能级 rr n lmn lL EEm 定义电子轨道磁矩 Larmor 频率 2 zz e l C 2 L eB C 3 Laudau 能级 两维对称谐振子 作用项 一维自由粒子 z l 两维对称谐振子 22 2222 0 2 1 24 xy e B Hppxy C 作用项 z l 1 1 2 z eB Hl C 一维自由粒子 2 2 1 2 z Hp 4 电场与磁场垂直 0 0 0 0 BB 则可取 0 0 x ABx C8 自旋 四维空间四维空间 1 1 PauliPauli 算符三性算符三性 对易关系 归一性 厄米性对易关系 归一性 厄米性 双双 PauliPauli 算符的关系 诸如 算符的关系 诸如 所以任意级数都可以表示成线性形式 如可令 所以任意级数都可以表示成线性形式 如可令 xyz i 单独线性算符的迹为 单独线性算符的迹为 0 0 0123 zz ii xxyz eeC ICCC 2 总角动量的本征态 22 z H ljj 自旋轨道作用项 22 11 2 dV r s ls l C r dr 先假定 先假定 1 lm z lm aY s bY 推导过程为 推导过程为 相同 相同 相差为 相差为 1 1 是因为自 是因为自 2 ll 1 z jm m 旋的原因 旋的原因 推导出两者系数之间的关系 推导出两者系数之间的关系 2 ja b 利用关系式利用关系式 计算在能量本征态下 计算在能量本征态下的平均值 的平均值 222 3 2 4 jls l s l 综上 1 1 2jl 1 1 1 21 lm ljm lm lmY l lmY 2 1 2 0 jll 1 1 21 1 lm ljm lm lmY l lmY 无轨道角动量 3 0l 00 111 1 00 00 222 2 0 0 Y Y 3 光普双线结构 径向方程不同 导致能级分裂径向方程不同 导致能级分裂 1 1 2jl 2 2 l Ar R rER r 2 1 2 0 jll 2 1 2 l Ar R rER r 4 反常 Zeeman 反常反常 Zeeman Zeeman 自旋轨道作用自旋轨道作用 正常正常 ZeemanZeeman 即 即 eg peg p 态 态 1 2 21 1 2 j l ljmj l 选择定则 选择定则 1 0 1 0 1 j ljm 5 单态 波函数对称为 Fermi 子 与三态 波函数对称为 Bose 子 就是讨论双电子轨道杂化的转换 2 12 z s sSS 6 6 一些总结 一些总结 在某态下求算符的可能测值 必须先给出算符的所有本征态 再波在某态下求算符的可能测值 必须先给出算符的所有本征态 再波 函数按本征态展开 函数按本征态展开 在求某态随时间变化时 必须给出在求某态随时间变化时 必须给出 H H 量的本征态与能级 量的本征态与能级 在找角动量的守恒集时 在找角动量的守恒集时 H H 量含角动量的交叉项 量含角动量的交叉项 首选 首选 12 ss 的共同本征函数 的共同本征函数 2 z SS C10 微扰论 1 束缚态 1 0 0 2 1 0 3 2 0 EH EH EH 3 1 1 1 EHE 非简并 1 一级近似 1 1 0 nn n a 1 kkk E H 1 0 0 0 nk n n kn H EE 二级近拟 2 2 0 0 nk k n kn H E EE 简并 确定零级波函数的分量系数运用简并 确定零级波函数的分量系数运用久期方程久期方程得出分裂能级 得出分裂能级 2 2 从而破缺 从而破缺 0 0 1 n f kk a 久期方程 1 det0HE 近简并 按简并处理按简并处理 3 3 2 散射态 入射波 平面波 ikz i e 出射波 ikr ikz e ef r Lippman SchwingerLippman Schwinger 方程 方程 GreenGreen 函数函数 积分表示解 积分表示解 0 3 2 2 rrd r G r r V rr Born 近似 势函数为球对称的情形有下列公式 2 0 2 sin frV rqr dr q 2 sin 2 qk 微分散射截面为上式的平方 总截面 势函数不同可势函数不同可 2 0 2 sinfd 以算出许多微分截面 以算出许多微分截面 3 重要积分公式 若 则是一个很熟知的积分公式 22 2 2 4 0 cos 2 ba x e ebxdx a 0b 22 0 sin x b