消元一元二次方程的解法教学设计

消元 二元一次方程组的解法 教学设计 一 内容和内容解析一 内容和内容解析 本节主要内容为二元一次方程组的解法 消元 是解二元一次方程组的基本思路 代入消元和加减消元是 消元 的最基本的方法 探究解二元一次方程组的通解通法 即 把解法程序化也是本节应渗透的内容 1 初中代数研究的中心问题是各类方程 初中代数中的函数是初步的 它只起到一 个启蒙的作用 对函数较全面 深入的研究还有待于在高中进行 可以说 中学代数中 初中以方程为主 高中以函数为主 但初中的教学必须为高中进一步研究函数打好基 础 而二元一次方程组恰恰是联系方程和函数的一个很好的纽带 二元方程就刻画了两个 变量之间的函数关系 而待定系数法求函数解析式 函数的交点问题等 又需要利用解方 程组来进行计算 在近代数学数值计算和工程应用中 求解线性方程组是重要的课题 以 Gauss 消元法为首的各种消元法的程序化仍然是大家不断研究的重点内容 因此 学好二元一次方程组的解法 体会消元 转化思想 是学生完善认知的必要支 柱 也是本节课的教学重点 2 解方程组过程中蕴含的化归思想 不仅在解方程组过程中具有指导作用 更贯穿 了数学学习 研究的始终 不仅应用于数学解题 而且是一种最基本的思维策略 在研究 和解决有关问题时 如何将复杂问题转化为简单问题 将难解的问题转化为容易求解的问 题 将未解决的问题转化为已解决的问题 正是数学课所要教给学生的基本思考方法 在 本章的教学和学习中 不能仅着眼于具体题目的具体解题过程 而应不断加深对以上思想 方法的领会 从整体上认识问题的本质 数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的 对于它们的认识需要一个较长的过程 既需要教材的渗透 也需要教师的点拨 还需要学 生自身的感受和理解 如果认识了消元思想 那么学生对于代入法 加减法的具体步骤就 不会仅是死记硬背 而能够顺势自然地理解 并能够灵活运用 从而确立方程 不等式 函数这一结构体系中重要的一环 这种思想的逐步形成也恰恰体现了 学习数学使人聪明 因此 化归思想是本节课教学中所要重点突出的数学思想 3 算法是一个全新的课题 已经成为计算机科学的核心 它在科学技术和社会发展 中起着越来越重要的作用 学习算法的基本思想和初步知识 也成为高中必修课程中的内 容 算法一方面具有具体化 程序化 机械化的特点 同时又具有高度的抽象性 概括性 和精确性 算法学习使我们更加全面地理解运算能力 还能够发展逻辑思维能力 本节课在对二元一次方程组解法的探究过程中 可以很好地体现上述内容 一方面引 导学生探究解二元一次方程的步骤 进而体会解二元一次方程组的通解通法 并通过框图 初步感受程序化的思想 同时又在各个具体步骤中 关注某些细节 如 变形后的方程应 代入哪一个方程才能继续求解 对比先消哪一个未知数使运算更加简洁 等培养学生 的思维能力 学生的认知水平有限 还不能完全理解程序化的思想 对二元一次方程组解法的探究 也还只能停留在解给定具体系数的方程组 还不能探究公式化的解法 对同解方程的理解 也只能停留在满足等式性质 不能全面地思考方程组有唯一确定解所满足的条件 因此只 能定位在渗透程序化思想上 而不应把算法的学习作为本节课的重点 二 目标和目标解析二 目标和目标解析 教学目标 1 理解解二元一次方程组的基本思路 消元 经历从未知向已知转化的过程 培 养观察分析能力 体会化归思想 初步体会解方程组过程中体现的程序化思想 2 能用代入消元法 加减消元法解简单的二元一次方程组 会根据方程组特征选择 适当的方法 体会简化思想 培养运算能力 3 在探究过程中 培养合作交流意识与探究精神 增强学习兴趣 感受数学美 教学重点 理解解二元一次方程组的基本思路 消元 会用代入 加减消元法解简单的二元一 次方程组 教学难点 学生探究并理解为什么能通过代入 加减消元把二元一次方程组转化为一元一次方 程 首先 这是二元一次方程组解法的第一节课 学生初次接触方程组的解法 同时思维 的重点也集中在如何把未知问题转化为已知问题 把二元问题转化为一元问题 因此 教 学的重点是对转化思想 消元方法的理解 而不是对解法的熟练运用 故在目标中设定为 能用代入 加减消元法解简单的二元一次方程组 其次 程序化思想虽然重要 但学生在本节课接触的例题还比较少 缺少大量积累后 的感悟 同时又没有探讨二元一次方程组的标准方程的解法 即二元一次方程组的求解公 式 所以只能在几个主要步骤环节让学生 初步体会解方程组过程中体现的程序化思想 最后 化归思想是化难为易 化繁为简 化未知为已知 代入 加减是方法 消元是 目的 转化是本质 所以本节课探究利用代入 加减消元法解二元一次方程组的基本步骤 立足于化归思想的逐步形成 三 教学问题诊断分析三 教学问题诊断分析 1 学生对代数思想的认识不够 缺乏用字母表示数的意识 发现式的变形和依据的 能力不强 如用代入法解二元一次方程组时 需要先把其中一个方程变形成用含一个未知 数的代数式表示另一个未知数的形式 再利用整体代换的方式替换出一元 这其中所蕴含 的式的变形及整体代入思想 都是需要学生理解的 2 学生对解法的关注点往往集中在不同的方法上 而忽视相同的思想 集中在不同 的变形技巧上 而忽视相同的程序化过程 集中在答案的对与错 而忽视解题过程的简与 繁 因此 在本节课的教学过程设计中 时刻注意引导学生思维聚焦的方向 通过合理设 置有梯度的承接性问题 激发学生的思维 深化学生的思考 并且及时进行阶段性小结 不断完善学生的认知结构 力争做到使学生的思维 发而不散 四 教学过程设计四 教学过程设计 先行组织者 在上一节课 我们通过对一道与篮球比赛得分有关的实际问题的研究 学习了二元一次方程组 以及二元一次方程组的解 当我们列出二元一次方程组后 所关 心的就是如何求出这个方程组的解 在此之前 我们学习了如何解一元一次方程 解一元一 次方程的主要依据是等式性质 今天我们就来共同探究 能否利用等式性质和一元一次方 程的相关知识 解二元一次方程组 一 探究新知 例题 在上一节课 通过对实际问题的分析 我们列出了二元一次方程组 你会解这个方程组吗 教师不加任何解释和引导 让学生自主探究方程组的解法 预案 1 解 由 得 把 代入 得 解这个方程 得 这时教师可以提出问题 为什么可以代入 代入 可不可以 得到的方程是什么方程 把代入 得 这时教师可以提出问题 代入 或 行不行 好不好 所以原方程组的解为 1 提出问题 在这种解法中 哪一步是最关键的 为什么 设计意图 引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用 体会解二元 一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程 在 为什么可以代入 这一问题的解决过程中 引导学生回顾二元一次方程组的定义 和二元一次方程组的解的定义 再一次理解定义中的 相同未知数 公共解 2 引申问题 有没有办法得到关于的一元一次方程 解 由 得 把 代入 得 解这个方程 得 这时教师可以提出问题 代入 可不可以 把代入 得 这时教师可以提出问题 代入 或 可不可以 所以原方程组的解是 3 小结 这种解二元一次方程组的方法 我们称之为代入消元法 问题 1 你认为哪一步是最重要的 为什么 代入 把二元一次方程组转化为一元一次方程 问题 2 应用代入消元法前 需要先做的准备工作是什么 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 问题 3 除了代入法 还有没有其他方法来实现消元这一目的呢 引入预案 2 预案 2 解 由 得 这时教师可以提出问题 这一步的依据是什么 把代入 得 这时教师可以提出问题 代入 可以吗 所以原方程组的解是 1 提出问题 在这种解法中 哪一步是最关键的 为什么 设计意图 引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用 体会解二元 一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程 2 引申问题 能不能先消 解 2 得 得 这时教师可以提出问题 可以吗 好吗 把代入 得 所以原方程组的解是 3 小结 这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法 问题 1 你认为哪一步是最重要的 为什么 加减 把二元一次方程组转化为一元一次方程 问题 2 应用加减消元法前 方程组中的两个方程要先具备什么特征 两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数 问题 3 除了加减法 还有没有其他方法来实现消元这一目的呢 引入预案 1 对比预案 1 预案 2 进行总结 问题 1 两种方法的共同点 共同目的 是什么 通过消元 使二元问题先转化为一元问题 求出一个未知数后再求另一个 问题 2 两种方法的不同点是什么 消元的方法不同 一个是 代入 一个是 加减 问题 3 哪一种方法更简单 根据方程组特征 具体问题具体分析 预案 3 解 把方程 变形成 把 代入 得 后续步骤略 说明 整体代入也实现了 消元 这一目的 二 运用新知 练习 答案 学生分组解答 然后汇报 交流不同的解法 注意纠正学生解题步骤中的细节问题 三 归纳总结 思考 这节课我们学习了什么 问题 1 这节课我们研究的主要内容是什么 代入 加减消元法解二元一次方程组 问题 2 解法的主要步骤是什么 变形 代入 加减 求解 回代 结论 我们以练习 练习 为例 通过框图 如图 1 图 2 再次回顾解二元一次方程组 的基本步骤 代入消元法解方程组的基本步骤 图 1 代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么 变形 将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示 代入 将变形后的方程代入另一个方程中 消去一个未知数 化二元一次方程组为 一元一次方程 求解 求出一元一次方程的解 回代 将其代入到变形后的方程中 求出另一个未知数的解 结论 写出方程组的解 加减消元法解方程组的基本步骤 图 2 加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么 变形 使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数 加减 将两个方程相加减 消去一个未知数 化二元一次方程组为一元一次方程 求解 求出一元一次方程的解 回代 将其代入到变形后的方程中 求出另一个未知数的解 结论 写出方程组的解 问题 3 你觉得其中最关键的一步是什么 为什么 体现了什么思想 代入消元 把二元一次方程组转化为一元一次方程 转化思想 问题 4 在解题过程中我们还应注意哪些问题 分析如何消元能简化运算等 四 布置作业 教材 P107 页练习 2 3 2 用代入法解下列方程组 1 2 3 张翔从学校出发骑自行车去县城 中途因道路施工步行一段路 1 5 小时后到达县 城 他骑车的平均速度是 15 千米 时 步行的平均速度是 5 千米 时 路程全长 20 千米 他骑 车与步行各用多少时间 教材 P11