专题十一 因式分解的常用方法

1 22 因式分解的常用方法 第一部分 方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一 它被广泛地应用于 初等数学之中 是我们解决许多数学问题的有力工具 因式分解方法灵活 技巧 性强 学习这些方法与技巧 不仅是掌握因式分解内容所必需的 而且对于培养 学生的解题技能 发展学生的思维能力 都有着十分独特的作用 初中数学教材 中主要介绍了提取公因式法 运用公式法 分组分解法和十字相乘法 本讲及下 一讲在中学数学教材基础上 对因式分解的方法 技巧和应用作进一步的介绍 一 提公因式法 ma mb mc m a b c 二 运用公式法 在整式的乘 除中 我们学过若干个乘法公式 现将其反向使用 即为因式分解 中常用的公式 例如 1 a b a b a2 b2 a2 b2 a b a b 2 a b 2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 a b 2 3 a b a2 ab b2 a3 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 4 a b a2 ab b2 a3 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 下面再补充两个常用的公式 5 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a b c 2 6 a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca 例 已知是的三边 且 abc ABC 222 abcabbcca 则的形状是 ABC A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解 222222 222222abcabbccaabcabbcca 222 0abbccaabc 三 分组分解法 一 分组后能直接提公因式 例 1 分解因式 bnbmanam 分析 从 整体 看 这个多项式的各项既没有公因式可提 也不能运用公式分 解 但从 局部 看 这个多项式前两项都含有 a 后两项都含有 b 因此可以 考虑将前两项分为一组 后两项分为一组先分解 然后再考虑两组之间的联系 解 原式 bnbmanam 每组之间还有公因式 nmbnma banm 2 22 例 2 分解因式 bxbyayax 5102 解法一 第一 二项为一组 解法二 第一 四项为一组 第三 四项为一组 第二 三项为一组 解 原式 原式 5 102 bxbyayax 510 2 byaybxax 5 5 2yxbyxa 2 5 2 baybax 2 5 bayx 5 2 yxba 练习 分解因式 1 2 bcacaba 2 1 yxxy 二 分组后能直接运用公式 例 3 分解因式 ayaxyx 22 分析 若将第一 三项分为一组 第二 四项分为一组 虽然可以提公因式 但 提完后就能继续分解 所以只能另外分组 解 原式 22 ayaxyx yxayxyx ayxyx 例 4 分解因式 222 2cbaba 解 原式 222 2 cbaba 22 cba cbacba 练习 分解因式 3 4 yyxx39 22 yzzyx2 222 综合练习 1 2 3223 yxyyxx baaxbxbxax 22 3 4 181696 222 aayxyxabbaba49126 22 5 6 92 234 aaaybxbyaxa 2222 44 7 8 22 2yyzxzxyx 1222 22 abbbaa 9 10 1 1 2 mmyy 2 abbcaca 11 12 abcbaccabcba2 222 abccba3 333 四 十字相乘法 一 二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式 进行分解 2 qxpxpqxqpx 特点 1 二次项系数是 1 2 常数项是两个数的乘积 3 一次项系数是常数项的两因数的和 3 22 思考 十字相乘有什么基本规律 例 已知 0 5 且为整数 若能用十字相乘法分解因式 求aa 2 23xxa 符合条件的 a 解析 凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2 bx c 都要求 0 2 4bac 而且是一个完全平方数 于是为完全平方数 9 8a 1a 例 5 分解因式 65 2 xx 分析 将 6 分成两个数相乘 且这两个数的和要等于 5 由于 6 2 3 2 3 1 6 1 6 从中可以发现只有 2 3 的分解 适合 即 2 3 5 1 2 解 1 3 65 2 xx32 32 2 xx 1 2 1 3 5 3 2 xx 用此方法进行分解的关键 将常数项分解成两个因数的积 且这两个因数的代数 和要等于一次项的系数 例 6 分解因式 67 2 xx 解 原式 1 1 6 1 6 1 2 xx 1 6 6 1 xx 1 6 7 练习 5 分解因式 1 2 3 2414 2 xx3615 2 aa54 2 xx 练习 6 分解因式 1 2 3 2 2 xx152 2 yy2410 2 xx 二 二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxax 2 条件 1 21a aa 1 a 1 c 2 21c cc 2 a 2 c 3 1221 cacab 1221 cacab 分解结果 cbxax 2 2211 cxacxa 例 7 分解因式 10113 2 xx 分析 1 2 4 22 3 5 6 5 11 解 10113 2 xx 53 2 xx 练习 7 分解因式 1 2 675 2 xx273 2 xx 3 4 31710 2 xx10116 2 yy 三 二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8 分解因式 22 1288baba 分析 将看成常数 把原多项式看成关于的二次三项式 利用十字相乘法进ba 行分解 1 8b 1 16b 8b 16b 8b 解 22 1288baba 16 8 16 8 2 bbabba 16 8 baba 练习 8 分解因式 1 2 3 22 23yxyx 22 86nmnm 22 6baba 四 二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9 例 10 22 672yxyx 23 22 xyyx 1 2y 把看作一个整体 1 1 xy 2 3y 1 2 3y 4y 7y 1 2 3 解 原式 解 原式 32 2 yxyx 2 1 xyxy 练习 9 分解因式 1 2 22 4715yxyx 86 22 axxa 综合练习 10 1 2 178 36 xx 22 151112yxyx 3 4 10 3 2 yxyx344 2 baba 5 6 2222 65xyxyx 26344 22 nmnmnm 7 8 34244 22 yxyxyx 2222 10 23 5bababa 9 10 103644 22 yyxxyx 2222 2 11 12yxyxyx 思考 分解因式 abcxcbaabcx 2222 五 换元法 例 13 分解因式 1 2005 12005 2005 22 xx 5 22 2 2 6 3 2 1 xxxxx 解 1 设 2005 则原式 aaxaax 1 22 1 axax 2005 12005 xx 2 型如的多项式 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘 eabcd 原式 222 65 67 xxxxx 设 则Axx 65 2 xAxx267 2 原式 2 2 xAxA 22 2xAxA 2 xA 22 66 xx 练习 13 分解因式 1 4 22222 yxxyyxyx 2 90 384 23 22 xxxx 3 222222 3 4 5 1 aaa 例 14 分解因式 1 262 234 xxxx 观察 此多项式的特点 是关于的降幂排列 每一项的次数依次少 1 并且x 系数成 轴对称 这种多项式属于 等距离多项式 方法 提中间项的字母和它的次数 保留系数 然后再用换元法 解 原式 11 62 2 22 xx xxx 6 1 1 2 2 22 x x x xx 设 则t x x 1 2 1 2 2 2 t x x 原式 6 22 22 ttx 102 22 ttx 252 2 ttx 2 1 5 2 2 2 x x x xx 2 1 5 2 2 x xx x xx 12252 22 xxxx 2 12 1 2 xxx 2 144 234 xxxx 解 原式 22 2 41 41 xxx xx 1 1 4 1 2 22 x x x xx 设 则y x x 1 2 1 2 2 2 y x x 原式 22 43 xyy 2 1 3 xyy 3 1 1 1 2 x x x xx 131 22 xxxx 练习 14 1 673676 234 xxxx 6 22 2 212 2234 xxxxx 六 添项 拆项 配方法 例 15 分解因式 1 43 23 xx 解法 1 拆项 解法 2 添项 原式 原式 331 23 xx4443 23 xxxx 1 1 3 1 1 2 xxxxx 44 43 2 xxxx 331 1 2 xxxx 1 4 4 1 xxxx 44 1 2 xxx 44 1 2 xxx 2 2 1 xx 2 2 1 xx 2 3 369 xxx 解 原式 1 1 1 369 xxx 1 1 1 1 1 333363 xxxxxx 111 1 3363 xxxx 32 1 1 362 xxxxx 练习 15 分解因式 1 2 89 3 xx 4224 1 1 1 xxx 3 4 17 24 xx 224 12aaxxx 5 6 444 yxyx 444222222 222cbacbcaba 七 待定系数法 例 16 分解因式6136 22 yxyxyx 分析 原式的前 3 项可以分为 则原多项式必定 22 6yxyx 2 3 yxyx 可分为 2 3 nyxmyx 解 设 6136 22 yxyxyx 2 3 nyxmyx 2 3 nyxmyx mnymnxnmyxyx 23 6 22 6136 22 yxyxyxmnymnxnmyxyx 23 6 22 对比左右两边相同项的系数可得 解得 6 1323 1 mn mn nm 3 2 n m 原式 32 23 yxyx 例 17 1 当为何值时 多项式能分解因式 并分解此多m65 22 ymxyx 项式 7 22 2 如果有两个因式为和 求的值 8 23 bxaxx1 x2 xba 1 分析 前两项可以分解为 故此多项式分解的形式必为 yxyx byxayx 解 设 65 22 ymxyx byxayx 则 65 22 ymxyxabyabxbayx 22 比较对应的系数可得 解得 或 6 5 ab ab mba 1 3 2 m b a 1 3 2 m b a 当时 原多项式可以分解 1 m 当时 原式 1 m 3 2 yxyx 当时 原式 1 m 3 2 yxyx 2 分析 是一个三次式 所以它应该分成三个一次式相乘 因8 23 bxaxx 此第三个因式必为形如的一次二项式 cx 解 设 8 23 bxaxx 2 1 cxxx 则 8 23 bxaxxcxcxcx2 32 3 23 解得 82 32 3 c cb ca 4 14 7 c b a 21ba 练习 17 1 分解因式29103 22 yxyxyx 2 分解因式67523 22 yxyxyx 3 已知 能分解成两个一次因式之积 pyxyxyx 14632 22 求常数并且分解因式 p 4 为何值时 能分解成两个一次因式k2532 22 yxkyxyx 的乘积 并分解此多项式 第二部分 习题大全 经典一 一 填空题 1 把一个多项式化成几个整式的 的形式 叫做把这个多项式分解因式 2 分解因式 m3 4m 3 分解因式 x2 4y2 4 分解因式 2 44xx 8 22 5 将 xn yn分解因式的结果为 x2 y2 x y x y 则 n 的值为 6 若 5 6xyxy 则 22 x yxy 22 22xy 二 选择题 7 多项式 32223 15520m nm nm n 的公因式是 A 5mn B 22 5m n C 2 5m n D 2 5mn 8 下列各式从左到右的变形中 是因式分解的是 A 2 339aaa B 22 ababab C 2 4545aaa a D 2 3 232mmm m m 10 下列多项式能分解因式的是 A x2 y B x2 1 C x2 y y2 D x2 4x 4 11 把 x y 2 y x 分解因式为 A x y x y 1 B y x x y 1 C y x y x 1 D y x y x 1 12 下列各个分解因式中正确的是 A 10ab2c 6ac2 2ac 2ac 5b2 3c B a b 2 b a 2 a b 2 a b 1 C x b c a y a b c a b c b c a x y 1 D a 2b 3a b 5 2b a 2 a 2b 11b 2a 13 若 k 12xy 9x2是一个完全平方式 那么 k 应为 A 2 B 4 C 2y2 D 4y2 三 把下列各式分解因式 14 nx ny 15 22 94nm 9 22 16 m mnn nm 17 322 2aa bab 18 2 22 416xx 19 22 16 9nmnm 五 解答题 20 如图 在一块边长a 6 67cm 的正方形纸片中 挖去一个边长b 3 33cm 的 正方形 求纸片剩余部分的面积 21 如图 某环保工程需要一种空心混凝土管道 它的规格是内径 45dcm 外径 75Dcm 长 3lm 利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立 方米的混凝土 取 3 14 结果保留 2 位有效数字 22 观察下列等式的规律 并根据这种规律写出第 5 个等式 l d D 10 22 2 42 842 16842 1 111 2 1111 3 11111 4 111111 5 xxx xxxx xxxxx xxxxxx 经典二 因式分解小结 知识总结归纳 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 它和整式乘法互为逆 运算 在初中代数中占有重要的地位和作用 在其它学科中也有广泛应用 学习 本章知识时 应注意以下几点 1 因式分解的对象是多项式 2 因式分解的结果一定是整式乘积的形式 3 分解因式 必须进行到每一个因式都不能再分解为止 4 公式中的字母可以表示单项式 也可以表示多项式 5 结果如有相同因式 应写成幂的形式 6 题目中没有指定数的范围 一般指在有理数范围内分解 7 因式分解的一般步骤是 1 通常采用一 提 二 公 三 分 四 变 的步骤 即首先看有 无公因式可提 其次看能否直接利用乘法公式 如前两个步骤都不能实施 可用 分组分解法 分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解 2 若上述方法都行不通 可以尝试用配方法 换元法 待定系数法 试 除法 拆项 添项 等方法 下面我们一起来回顾本章所学的内容 11 22 1 通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1 分解因式xxxxx 5432 1 分析 这是一个六项式 很显然要先进行分组 此题可把 分别看成一组 此时六项式变成二项式 提取公因式xxxxx 5432 1 和 后 再进一步分解 也可把 分别看成一组 此时的六项xx 54 xx 32 x 1 式变成三项式 提取公因式后再进行分解 解一 原式 xxxxx 5432 1 xxxxx xxx xxxxx 322 32 22 11 11 111 解二 原式 xxxxx 5432 1 xxxxx xxx xxxx xxxxx 42 4 422 22 111 11 121 111 2 通过变形达到分解的目的 例 1 分解因式xx 32 34 解一 将拆成 则有3 2 x2 22 xx 原式 xxx xxxx xxx xx 322 2 2 2 24 222 22 12 解二 将常数拆成 则有 4 13 原式 xx xxxxx xxx xx 32 2 2 2 133 111 33 144 12 3 在证明题中的应用 12 22 例 求证 多项式的值一定是非负数 xxx 22 41021100 分析 现阶段我们学习了两个非负数 它们是完全平方数 绝对值 本题要 证明这个多项式是非负数 需要变形成完全平方数 证明 xxx 22 41021100 xxxx xxxx xxxx 2237100 2723100 51456100 22 设 则yxx 2 5 原式 无论 取何值都有 的值一定是非负数 yyyyy yy xxx 1461008164 40 41021100 22 2 22 4 因式分解中的转化思想 例 分解因式 abcabbc 2 333 分析 本题若直接用公式法分解 过程很复杂 观察 a b b c 与 a 2b c 的 关系 努力寻找一种代换的方法 解 设 a b A b c B a 2b c A B 原式 ABAB AA BABBAB A BAB AB AB ab bc abc 333 322333 22 33 33 3 32 说明 在分解因式时 灵活运用公式 对原式进行 代换 是很重要的 中考点拨 例 1 在中 三边 a b c 满足 ABCabcabbc 222 166100 13 22 求证 acb 2 证明 abcabbc 222 166100 aabbcbcb abcb abc abc abc abcabc abc acb 2222 22 6910250 350 820 880 20 2 即 即 于是有 即 说明 此题是代数 几何的综合题 难度不大 学生应掌握这类题不能丢分 例 2 已知 x x x x 1 2 1 3 3 则 解 x x x x x x 3 3 2 11 1 1 x x x x 11 21 21 2 2 说明 利用等式化繁为易 x x x x 2 2 2 11 2 题型展示 1 若 x 为任意整数 求证 的值不大于 100 734 2 xxx 解 100 4 3 7 2 xxx xxxx xxxx xxxx xx xxx 7232100 51456100 58516 540 734100 22 22 22 2 14 22 说明 代数证明问题在初二是较为困难的问题 一个多项式的值不大于 100 即要求它们的差小于零 把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平 方是一种常用的方法 2 将aaaa 2222222 16742 分解因式 并用分解结果计算 解 aaaa 2222 1 aaaaa aaaa aa 2222 222 22 21 21 1 67423661431849 22222 说明 利用因式分解简化有理数的计算 实战模拟 1 分解因式 131083108 233315 5432 22 xxxxx aaaa 323352 476 22 3 xxyyxy xx 2 已知 的值 xyxyxy 61 33 求 3 矩形的周长是 28cm 两边 x y 使 求矩形的面积 xx yxyy 3223 0 15 22 4 求证 是 6 的倍数 其中 n 为整数 nn 3 5 5 已知 a b c 是非零实数 且 求 a b c 的值 abca bc b ca c ab 222 1 111111 3 6 已知 a b c 为三角形的三边 比较的大小 abca b 22222 4 和 经典三 因式分解练习题精选 一 填空 30 分 1 若是完全平方式 则的值等于 16 3 2 2 xmxm 2 则 22 nxmxx mn 3 与的公因式是 23 2yxyx612 4 若 则 m n nm yx 4222 yxyxyx 5 在多项式中 可以用平方差公式分解因式的 235 3515yyy 16 22 有 其结果是 6 若是完全平方式 则 m 16 3 2 2 xmx 7 2 2 2 xxxx 8 已知则 01 200520042 xxxx 2006 x 9 若是完全平方式 M 25 16 2 Mba 10 22 3 6 xxx 22 3 9 xx 11 若是完全平方式 则 k 22 9ykx 12 若的值为 0 则的值是 44 2 xx5123 2 xx 13 若则 15 1 15 2 xxaxxa 14 若则 6 4 22 yxyx xy 15 方程 的解是 04 2 xx 二 选择题 10 分 1 多项式的公因式是 xbxaabbxxaa A a B C D bxxaa xaa axa 2 若 则 m k 的值分别是 22 32 9 xkxmx A m 2 k 6 B m 2 k 12 C m 4 k 12 D m 4 k 12 3 下列名式 中能用平方 4422222222 yxyxyxyxyx 差公 17 22 式分解因式的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 计算的值是 10 1 1 9 1 1 3 1 1 2 1 1 2232 A B 2 1 20 11 10 1 20 1 DC 三 分解因式 30 分 1 234 352xxx 2 26 33xx 3 22 2 4 2 25xyyx 4 22 414yxyx 5 xx 5 6 1 3 x 7 2 axabaxbxbx 2 8 8118 24 xx 9 24 369yx 10 24 4 3 2 1 xxxx 四 代数式求值 15 分 1 已知 求 的值 3 1 2 yx2 xy 4334 2yxyx 18 22 2 若 x y 互为相反数 且 求 x y 的值4 1 2 22 yx 3 已知 求的值2 ba 8 22222 baba 五 计算 15 1 0 75 66 2 4 3 66 3 2 20002001 2 1 2 1 3 22 44222568562 六 试说明 8 分 1 对于任意自然数 n 都能被动 24 整除 22 5 7 nn 2 两个连续奇数的积加上其中较大的数 所得的数就是夹在这两个连续奇数之 间的偶数与较大奇数的积 七 利用分解因式计算 8 分 1 一种光盘的外 D 11 9 厘米 内径的 d 3 7 厘米 求光盘的面积 结果保留 两位有效数字 2 正方形 1 的周长比正方形 2 的周长长 96 厘米 其面积相差 960 平方厘米求这 两个正方形的边长 八 老师给了一个多项式 甲 乙 丙 丁四个同学分别对这个多项式进行了描 述 19 22 甲 这是一个三次四项式 乙 三次项系数为 1 常数项为 1 丙 这个多项式前三项有公因式 丁 这个多项式分解因式时要用到公式法 若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式 并将它分解 因式 4 分 经典四 因式分解 一 选择题 1 代数式 a3b2 a2b3 a3b4 a4b3 a4b2 a2b4的公因式是 2 1 2 1 A a3b2 B a2b2 C a2b3 D a3b3 2 用提提公因式法分解因式 5a x y 10b x y 提出的公因式 应当为 A 5a 10b B 5a 10b C 5 x y D y x 3 把 8m3 12m2 4m 分解因式 结果是 A 4m 2m2 3m B 4m 2m2 3m 1 C 4m 2m2 3m 1 D 2m 4m2 6m 2 4 把多项式 2x4 4x2分解因式 其结果是 A 2 x4 2x2 B 2 x4 2x2 C