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立体几何中的翻折问题 灵溪二高 刘勇 图形的翻折问题在历年高考中时常出现 浙江省近几年就出现了四次 因为它是一个由直观到抽象的过程 所以每次的出现的题号都偏后 同学们的答题情况也不太理想 把一个平面图形按某种要求折起 转化为空间图形 进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化 这就是翻折问题 典型例题 如图 边长为2的正方形ABCD中 将 ACD沿对角线AC折起 连接BD 得到一个新的三棱锥D ABC 在翻折的过程中 三棱锥与原来的正方形对比 哪些量没有变化 哪些量发生了变化 长度 角度 图形 尝试作图 例1 如图 边长为2的正方形ABCD中 将 ACD沿对角线AC折起 连接BD 得到一个新的三棱锥D ABC 当三棱锥的体积最大时 1 求AD与BC所成的角 2 求AD与面DBC所成角的正弦值 3 求二面角D AB C的正切值 考向一 通过翻折得到一个确定的几何体 研究其点线面的位置关系 策略 建系 模型 传统方法 变式 如图 边长为2的正方形ABCD中 将 ACD沿对角线AC折起 连接BD 得到一个新的三棱锥D ABC 平面DAC与平面BAC不重叠 1 AD与BC所成的角固定吗 它们会垂直吗 2 AC与BD所成的角固定吗 3 AD与面BDM所成的角固定吗 M为AC中点 4 二面角A DB C固定吗 你能不用求解看出它的范围吗 考向二 通过翻折得到一个不确定的几何体 研究其点线面的位置关系 策略 明确不变量 紧抓关键量 如图 边长为2的正方形ABCD中 1 点E F分别是边BC和CD的中点 将 ABE AFD分别沿AE AF折起 使两点重合于P点 求证 AP EF 2 当CE CF BC时 求三棱锥P AEF的体积 课本中翻折 链接高考 2014温一模 16题 1 根据题中条件画出立体图形 2 比较翻折前后的图形 弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变 哪些已发生变化 3 将不变的条件集中到几何体图形中 将问题归结为一个条件与结论明朗化的立几问题 求解翻折问题的基本方法 链接高考 问题1 求AC与BD所成的角 问题2 AD与BC会垂直吗 问题3 角DAB固定吗 它的范围为 问题4 AD与平面ABC所成的线面角固定吗 它有最大值吗 问题5 AD与面BDM所成的角固定
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