不确定度测定汇总

测量不确定度评定与表示测量不确定度评定与表示 测量的目的是确定被测量值或获取测量结果 有测量必然存在测量误差 在经典的误 差理论中 由于被测量自身定义和测量手段的不完善 使得真值不可知 造成严格意义上 的测量误差不可求 而测量不确定度的大小反映着测量水平的高低 评定测量不确定度就 是评价测量结果的质量 U x 5 4 3 2 1 下限值 上限值 图 1 1 识别测量不确定度的来源识别测量不确定度的来源 测量不确定度来源的识别应从分析测量过程入手 即对测量方法 测量系统和测量程 序作详细研究 为此必要时应尽可能画出测量系统原理或测量方法的方框图和测量流程图 检测和校准结果不确定度可能来自 1 对被测量的定义不完善 2 实现被测量的定义的方法不理想 3 取样的代表性不够 即被测量的样本不能代表所定义的被测量 4 对测量过程受环境影响的认识不全 或对环境条件的测量与控制不完善 5 对模拟仪器的读数存在人为偏移 6 测量仪器的计量性能 如最大允许误差 灵敏度 鉴别力 分辨力 死区及稳定性等 的 局限性 即导致仪器的不确定度 7 赋予计量标准的值或标准物质的值不准确 8 引用于数据计算的常量和其它参量不准确 9 测量方法和测量程序的近似性和假定性 10 在表面上看来完全相同的条件下 被测量重复观测值的变化 分析时 除了定义的不确定度外 可从测量仪器测量仪器 测量环境测量环境 测量人员测量人员 测量方法测量方法等方面 全面考虑 特别要注意对测量结果影响较大的不确定度来源 应尽量做到不遗漏 不重复 2 定义定义 2 1 测量误差测量误差简称误差 是指 测得的量值减去参考量值 2 2 系统测量误差系统测量误差简称系统误差 是指 在重复测量中保持恒定不变或按可预见的方式变 化的测量误差的分量 系统测量误差的参考量值是真值 或是测量不确定度可忽略不计的测量标准的测量值 或是约定量值 系统测量误差及其来源可以是已知的或未知的 对于已知的系统测量误差 可 以采用修正来补偿 系统测量误差等于测量误差减随机测量误差 2 3 随机测量误差随机测量误差简称随机误差 是指 在重复测量中按不可预见的方式变化的测量误差 的分量 随机测量误差的参考量值是对同一个被测量由无穷多次重复测量得到的平均值 随机 测量误差等于测量误差减系统测量误差 k k 系统误差 随机误差 残差 误差 测得值概率 分布曲线 测得值 总体均值 参考量值样本均值 图 2 测量误差示意图 2 4 测量不确定度测量不确定度简称不确定度 是指 根据用到的信息 表征赋予被测量值分散性的非负 参数 测量不确定度一般由若干分量组成 其中一些分量可根据一系列测量值的统计分布 按测量不确定度的A类评定类评定 随机效应引起的 进行评定 并用标准偏差表征 而另一些 分量则可根据基于经验或其它信息所获得的概率密度函数 按测量不确定度的B类评定类评定 系统效应引起的 进行评定 也用标准偏差表征 2 5 标准不确定度标准不确定度是 以标准偏差表示的测量不确定度 标准不确定度 全称为标准测量不确定度 可采用A类标准不确定度 B类标准不确定 度及合成标准不确定度 相对合成标准不确定度等表示 测量不确定度的测量不确定度的A类评定类评定 简称A类评定 是指 对在规定测量条件下测得的量值用统 计分析的方法进行的测量不确定度分量的评定 测量不确定度的测量不确定度的B类评定类评定 简称B类评定 是指 用不同于测量不确定度A类评定的方 法进行的测量不确定度分量的评定 2 6 合成标准不确定度合成标准不确定度全称合成标准测量不确定度 是指 由在一个测量模型中各输入量 的标准测量不确定度获得的输出量的标准测量不确定度 2 7 相对标准不确定度相对标准不确定度全称相对标准测量不确定度 是指 标准不确定度除以测得值的绝 对值 2 8 自由度自由度是指 在方差的计算中 和的项数减去对和的限制数 2 9 扩展不确定度扩展不确定度全称扩展测量不确定度 是指 合成标准不确定度与一个大于1的数字因 子的乘积 2 10 包含区间包含区间是指 基于可获信息确定的包含被测量一组值的区间 被测量值以一定概率 落在该区间内 包含概率包含概率是指 在规定的包含区间内包含被测量的一组值的概率 包含因子包含因子是指 为获得扩展不确定度 对合成标准不确定度所乘的大于1的数 包含因子 有时也称扩展因子 用符号k表示 表1 表示测量不确定度常用的名称及符号 名 称符 号说 明 标准不确定度u 或 u xi 相对标准不确定度urelrel 表示 相对 的英文字母的缩写 测量不确定度的A类评定 uA 或 uA xi 测量不确定度的B类评定 uB 或 uB xi 合成标准不确定度uc或uc y 相对合成标准不确定度ucrel或ucrel y 扩展不确定度U或UpUp 包含概率为p的扩展不确定度 相对扩展不确定度Urel或Uprel 包含因子k或kpkp 包含概率为p的包含因子 包含概率p如 p 95 p 99 有效自由度veffeff 表示 有效 的英文字母的缩写 注 表中A B c rel eff为正体 x y k i p n u U为斜体 表中大写U表示扩展不确定度 小写u表示标准不确定度 如 标准不确定度A类评定 uA 标准不确定度B类评定 uB 合成标准不确定度 uc或uc y 扩展或相对扩展不确定度 U或Up Urel或Uprel 2 11 测量模型测量模型是指测量中涉及的所有已知量间的数学关系 测量模型简称模型 测量模型的通用形式是方程 f Y X1 Xn 0 其中测量模型中的输出量输出量 Y 是被测量 其量值由测量模型中输入量输入量 X1 Xn 的有关信息推导得到 在测量模型中 输入量与输出量间的函数关系又称测量函数 建立测量模型 即被测量与各输入量之间的函数关系 若 Y 的测量结果为 y 输入量 Xi 的估计值为 xi 则 y f x1 x2 xn 在建立模型时要注意有一些潜在的不确定度来源不能明显地呈现在上述函数关系中 它们对测量结果本身有影响 但由于缺乏必要的信息无法写出它们与被测量的函数关系 因此在具体测量时无法定量地计算出它们对测量结果影响的大小 在计算公式中只能将其 忽略而作为不确定度处理 图3 测量不确定度评定内容 3 标准不确定度的标准不确定度的A类评定 分量 类评定 分量 3 1 贝塞尔公式法贝塞尔公式法 在重复性条件下或复现性条件下对同一被测量 一个被测件 独立重复观测n次 得到 n个观测值xi i 1 2 n 被测量X的最佳估计值是n个独立测得值的算术平均值 按公x 式 1 1 计算 1 1 1 1 n i i xx n 单个测得值xk的实验方差s2 xk 按公式 1 2 计算 1 2 22 1 1 1 n ki i sxxx n 单个测得值xk的实验标准偏差s xk 按公式 1 3 计算 1 3 2 1 1 1 n ki i s xxx n 公式 1 3 是贝塞尔公式 自由度v为n 1 实验标准偏差s xk 表征了测得值x的分散性 测得重复性用s xk 表征 被测量估计值的A类标准不确定度为 x 1 4 k uxs xs xn A A类标准不确定度的自由度为实验标准偏差s xk 的自由度 即v n 1 实验标准 ux A 偏差表征了被测量估计值的分散性 s xx 3 2 在规范化的常规检定 校准或检测中评定合并样本标准偏差在规范化的常规检定 校准或检测中评定合并样本标准偏差 若对每个被测件的被测量Xi在相同条件下进行n次独立测量 测得值为xi1 xi2 xin 其平 均值为 若有m个被测件 则有m组这样的测得值 可按公式 1 5 计算单个测得值的 i x 合成样本标准偏差sp xk 1 5 2 11 1 1 mn kiji ij sxxx m n 式中 i 组数 i 1 2 m j 每组测量的次数 j 1 2 n 公式 1 5 给出的sp xk 其自由度为m n 1 若对每个被测件已分别按 n 次重复测量算出了其实验标准偏差 si 则 m 组测得值的合 并样本标准偏差 sp xk 可按公式 1 6 计算 1 6 2 1 1 m ki i sxs m 当实验标准偏差 si的自由度均为 v0时 公式 1 6 给出的 sp xk 的自由度为 mv0 若对 m 个被测量 Xi分别重复测量的次数不完全相同 设各为 ni 而 Xi的实验标准偏 差 s xi 的自由度为 vi 通过 m 个 si与 vi可得 sp xk 按公式 1 7 计算 1 7 2 1 1 1 m ki im i i i sxv s v 公式 1 7 给出 sp xk 的自由度为 1 m i i vv 由上述方法对某个被测件进行 n 次测量时 所得测量结果最佳估计值的 A 类标准不确 定度为 1 8 k uxs xsxn A 用这种方法可以增大评定的标准不确定度的自由度 也就提高了可信程度 3 3 预评估重复性预评估重复性 在日常开展同一类被测件的常规检定 校准或检测工作中 如果测量系统稳定 测得 重复性无明显变化 则可用该测量系统以与测量被测件相同的测量程序 操作者 操作条 件和地点 预先对典型的被测件的典型被测量值进行n次测量 一般n不小于10 由贝塞 尔公式计算出单个测得值的实际标准偏差s xk 即测量重复性测量重复性 在对某个被测件实际测量 时可以只测量n 次 1 n n 并以n 次独立测量的算术平均值作为被测量的估计值 则 该被测量估计值由于重复性导致的A类标准不确定度按公式 1 9 计算 1 9 i u xs xs x n 用这种方法评定的标准不确定度的自由度仍为v n 1 注意 当怀疑被测量重复性有变 化时 应及时重新测量和计算实验标准偏差s xk 3 4 A 类评定流程类评定流程 4 标准不确定度的标准不确定度的B类评定 分量 类评定 分量 4 1 B 类评定的一般表示类评定的一般表示 B 类评定的方法是根据有关的信息或经验 判断被测量的可能值区间 a a 假xx 设被测量值的概率分布 根据概率分布和要求的包含概率 p 估计因子 k 则 B 类标准不确 定度 uB可由 2 1 式得到 2 1 k a u 式中 a 为被测量可能值区间的半宽度 当 k 为扩展不确定度的倍乘因子时称包含因 子 其他情况下根据概率论获得的 k 称置信因子 4 2 B类评定 来源 通常基于诸如以下信息 1 权威机构发布的量值 2 有证标准物质的量值 3 校准证书 4 仪器的漂移 5 经检定的测量仪器的准确度等级 6 根据人员经验推断的极限值等 4 3 确定确定 B 类评定的区间半宽度类评定的区间半宽度 a 1 生产厂提供的测量仪器的最大允许误差为 或由手册查出所用的参考数据误差限 为 或当测量仪器或实物量具给出准确度等级等 并经计量部门检定合格 则评定仪器 的不确定度时 可能值区间的半宽度为 a 2 校准证书提供的校准值 给出了其扩展不确定度为 U 则区间的半宽度为 a U 3 由有关资料查得某参数的最小可能值为 a 和最大值为 a 最佳估计值为该区间的中 点 则区间半宽度可以用下式估计 a a a 2 4 必要时 可根据经验推断某量值不会超出的范围 或用实验方法来估计可能的区间 4 4 k 的确定方法的确定方法 1 已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时 该倍数就是包含因子 k 值 2 假设被测量值服从正态分布时 根据要求的概率查表 2 得到 k 值 表 2 正态分布情况下概率 p 与 k 值间的关系 p0 500 680 900 950 95450 990 9973 k0 67511 6451 96022 5763 3 假设为非正态分布时 根据要求的概率查表 3 得到 k 值 表 3 常用非正态分布时的 k 值及 B 类标准不确定度 uB x 分布类别p kuB x 三角三角1006 a 6 梯形 0 71 1002a 2 矩形 均匀 矩形 均匀 1003 a 3 反正弦100 2a 2 两点1001a 注 表 3 中 为梯形的上底与下底之比 对于梯形分布来说 特 1 6 2 k 别当 等于 1 时 梯形分布变为矩形分布 当 等于 0 时 变为三角分布 4 5 B 类评定概率分布的假设类评定概率分布的假设 1 被测量受许多随机影响量的影响 当它们各自的影响都很小时 不论各影响量的概率 分布是什么形式 被测量的随机变化服从正态分布 如证书或报告给出的不确定度是具有 包含概率为 0 90 0 95 0 99 的扩展不确定度 即给出 U90 U95 U99 此时 除非另有 说明 可按正态分布来评定 B 类标准不确定度 2 当利用有关信息或经验 估计出被测量可能值区间的上限和下限 其值在区间外的可 能几乎为零时 若被测量值落在该区间内的任意值处的可能性相同 则可假设为均匀分布 或称矩形分布 等概率分布 如数据修约 测量仪器最大允许误差或分辨力 参考数据 的误差限 度盘或齿轮的回差 平衡指示器调零不准 测量仪器的滞后或摩擦效应导致的 不确定度及对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解等 一般假设为均匀分布 3 当利用有关信息或经验 若被测量值落在该区间中心的可能性最大 则假设为三角分 布 如两相同均匀分布的合成 两个独立量之和值或差值服从三角分布 4 当利用有关信息或经验 若落在该区间中心的可能性最小 而落在该区间上限和下限 的可能性最大 则可假设为反正弦分布 即 U 形分布 如度盘偏心引起的测角不确定度 正弦振动引起的位移不确定度 无线电测量中失配引起的不确定度 随时间正弦或余弦变 化的温度不确定度等 5 按级使用量块时 中心长度偏差的概率分布可假设为两点分布 6 安装或调整测量仪器的水平或垂直状态导致的不确定度常假设为投影分布 7 实际工作中 可依据同行共识确定概率分布 4 6 分辨力导致的分辨力导致的 B 类不确定度分量类不确定度分量 若数字显示器的分辨力为 x 由分辨力导致的标准不确定度分量 u x 采用 B 类评定 则区间半宽度为 a x 2 假设可能值在区间内为均匀分布 查表 3 得 k 因此由分3 辨力导致的标准不确定度分量 u x 为 2 2 x x k a xu 29 0 32 4 7 B 类标准不确定度分量的自由度类标准不确定度分量的自由度 2 3 2 2 2 2 1 2 1 i i i i i xu xu xu xu v 根据经验 按所依据的信息来源的可信程度来判断 u xi 的相对标准不确定度 u xi u xi 按上式计算出的自由度列于表 4 表 4 u xi u xi 与 vi的关系 u xi u xi vi u xi u xi vi 0 0 306 0 10500 403 0 20120 502 0 258 4 8 B 类评定流程类评定流程 5 合成标准不确定度评定合成标准不确定度评定 5 1 合成标准不确定度表示合成标准不确定度表示 被测量 Y 的估计值 y f x1 x2 xN 的标准不确定度是由相应输入量 x1 x2 xN的标准不 确定度合理合成求得的 其表示式的符号为 uc y 合成标准不确定度 uc y 表征合理赋予 被测量之值 Y 的分散性 是一个估计标准偏差 求各个输入分量标准不确定度对输出量求各个输入分量标准不确定度对输出量 y 的标准不确定度的贡献的标准不确定度的贡献 在求出各个输入量的不确定度分量 ui x 之后 还需要计算传播系数 灵敏系数 ci 最后计算由此引起的被测输出量被测输出量 y 的标准不确定度分量的标准不确定度分量 3 1 i i iii xu x f xucyu 式中传播系数或灵敏系数的含义是 输入量的估计值 xi的单位变化引起的输 i i x f c 出量的估计值 y 的变化量 即起到了不确定度的传播作用 合成标准不确定度的合成标准不确定度的 uc y 的计算公式的计算公式 3 2 N i N i N ij jiji ji i i xuxuxxr x f x f xu x f yu 1 1 11 22 c 2 在实际工作中 若各输入量之间均不相关不相关 或有部分输入量相关 但其相关系数较小 弱相关 而近似为 r xi xj 0 于是便可以化简为 3 3 N i i i xu x f yu 1 22 c 当 则可进一步化简为 1 i x f 3 4 N i i xuyu 1 2 c 此即计算合成不确定度一般采用的方和根法 即将各个标准不确定分量平方后求其和 再开跟 5 2 常用的表达形式常用的表达形式 5 2 1 当简单直接测量 测量模型为 y x 时 应该分析和评定测量时导致测量不确定度的各 分量 ui 若相互间不相关不相关 则合成标准不确定度按公式 3 5 计算 3 5 N i i uyu 1 2 c 5 2 2 当测量模型为 Y A1X1 A2X2 ANXN且各输入量间互不相关互不相关时 合成标准不确定度 可以用公式 3 6 计算 3 6 N i ii xuAyu 1 2 2 c 5 2 3 当测量模型为且各输入量间互不相关互不相关时 合成标准不确定度可 N P N PP XXAXY 21 21 使用公式 3 7 计算 3 7 N i ii N i iii xuPxxuPyyu 1 2 crel 1 2 c 当测量模型为且各输入量间互不相关互不相关时 公式 3 7 变换为公式 N XXAXY 21 3 8 3 8 N i i N i ii xuxxuyyu 1 2 crel 1 2 c 注注 只有在测量函数是各输入量的乘积时 可由输入量的相对合成标准不确定度 计算输出量的相对标准不确定度 iii xxuxu crel 5 2 4 各输入量间正强相关正强相关 相关系数为 1 时 合成标准不确定度应按公式 3 9 计算 3 9 N i ii N i i i xucxu x f yu 11 c 若灵敏系数为 1 则公式 3 9 变换为 3 10 3 10 N i i xuyu 1 c 5 3 关于相关性的说明关于相关性的说明 5 3 1 对大部分检测工作 除涉及航天 航空 兴奋剂检测等特殊领域中要求较高的场合外 只要无明显证据证明某个分量有强相关时 均可按不相关处理 如发现分量存在强相关 如采用相同仪器测量的量之间 则尽可能改用不同仪器分量测量这些量使其不相关 5 3 2 如证实某些分量之间存在强相关 则首先判断相关性是正相关还是负相关 并分别取 相关系数为 1 或 1 然后将这些相关分量算术相加后得到一个 净 分量 再将它与其他 独立无关分量用方和根求得 uc y 5 3 3 如发现各分量中有一个占支配地位时 该分量大于其次那个分量三倍以上 合成不 确定度就决定于该分量 5 4 有效自由度有效自由度 有效自由度是指合成标准不确定度 uc y 的自由度 用符号 veff 表示 veff反映了 uc y 的可靠程度 veff越大 uc y 越可靠 以下情况需要计算有效自由度 veff 1 当评定某包含概率下的扩展不确定度 UP时 为求得包含因子 kp需要计算 uc y 的有效 自由度 veff 2 当客户需要了解不确定度的可靠程度而提出要求时 当各分量间相互独立且输出量接近正态分布或 t 分布 测量模型为线性函数 时 合 成标准不确定度的有效自由度通常可按公式 3 11 计算 3 11 且 N i i i v yu yu v 1 4 4 c eff N i i vv 1 eff 当测量模型为时 有效自由度可用相对标准不确定度的形式计 N P N PP XXAXY 21 21 算 见公式 3 12 3 12 N i i iiii v xxuP yyu v 1 4 4 c eff 实际计算中 得到的有效自由度 veff不一定是一个整数 可采用将 veff数字舍位到最接 近的一个较低的整数 如计算得到 veff 12 65 则取 veff 12 5 5 合成标准不确定度计算流程合成标准不确定度计算流程 6 扩展不确定度评定扩展不确定度评定 6 1 扩展不确定度扩展不确定度 是被测量可能值包含区间的半宽度 扩展不确定度分为 U 和 UP两种 一般情况下 在给出测量结果时报告扩展不确定度 U 1 扩展不确定度 U 由合成标准不确定度 uc乘包含因子 k 得到 U kuc 4 1 当 y 和 uc y 所表征的概率分布近似为正态分布 不确定度分量较多且其大小也比较接 近 可估计为正态分布 时 且 uc y 的有效自由度较大情况下 若 k 2 则由 U 2uc所确 定的区间具有的包含概率约为 95 若 k 3 则由 U 3uc所确定的区间具有的包含概率约 为 99 在通常的测量中 一般取 k 2 当取其他值时 应说明其来源 当给出扩展不确定度 U 时 一般应注明所取的 k 值 若未注明 k 值 k 2 2 当要求扩展不确定度所确定的区间具有接近于规定的包含概率 p 时 扩展不确定度用 符号 UP表示 当 p 为 0 95 0 99 时 分别表示为 U95和 U99 UP kpuc 4 2 kp是包含概率为 p 时的包含因子 kp tp veff 4 3 根据合成标准不确定度 uc y 的有效自由度 veff和需要的包含概率 查 t 分布在不同概 率 p 与自由度 v 时的 tp v 值 t 值 表 得到 tp veff 值 该值即包含概率为 p 时的包含因子 kp值 如果合成不确定度中 A 类分量占比重较大 如而且作 A 类评估时重复测量3 c A u yu 次数 n 较少 则包含因子 k 必须查 t 分布表获得 扩展不确定度 UP kpuc y 提供了一个具有包含概率为 p 的区间 y UP 在给出 UP时 应同时给出有效自由度 veff 3 如果可以确定 Y 可能值的分布不是正态分布 而是接近于其他某种分布 则不应按 kp tp veff 计算 UP 例如 Y 可能近似为矩形分布 取 p 0 95 时 kp 1 65 取 p 0 99 时 kp 1 71 95 0 3 取 p 1 时 kp 1 73 99 0 3 3 概率p 68 27 概率p 95 45 概率p 99 73 图 4 正态分布概率分布图 6 2 扩展不确定度的有效位数扩展不确定度的有效位数 估计值 y 的数值和它的合成标准不确定度 uc y 或扩展不确定度 U 的数值均不应给出过 多的有效位数 通常最终报告的 u