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文档简介

一 直线的方向向量 对于空间任意一条直线 我们把与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量 一条直线有无穷多个方向向量 这些方向向量是相互平行的 直线的方向向量也是所有与平行的直线的方向向量 如何刻画空间直线的方向 例1 已知长方体ABCD A B C D 的棱长AB 2 AD 4 AA 3 建系如图 求下列直线的一个方向向量 1 AA 2 B C 3 A C 4 DB A B C D A B C D 解 A 4 0 3 B 4 2 3 C 0 2 3 x y z 2 4 3 D 0 0 3 A 4 0 0 B 4 2 0 C 0 2 0 D 0 0 0 例2 已知所有棱长为的正三棱锥A BCD 试建立空间直角坐标系 确定各棱所在直线的方向向量 A B C D E F x y z O 解 建系如图 则B 0 0 0 B E F x y z O 如何刻画平面的方向 二 平面的法向量 例3 长方体中 求下列平面的一个法向量 1 平面ABCD 2 平面ACC A 3 平面ACD x y z A B C D A B C D 2 3 4 x y z A B C D A B C D 2 3 4 x y z A B C D A B C D 2 3 4 基本命题1 两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行 基本命题2 一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量 基本命题3 两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行 例4 在正方体中 E F分别为BC和BB 的中点 求证 A D FE x y z A B 证 设正方体的边长为1 建系如图 则A 1 0 0 D 0 0 1 A B C D C D E F 例5 在长方体ABCD A B C D 中 x y z A B A B C D C D E F 例6 已知长方体的棱AD 4 AB 2 AA 3 求证平面A BD 平面CD B x y z A B C D A B C D 证 建系如图 B 4 2 3 C 0 2 3
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