中考数学二轮复习 专题练习（下）因动点产生的将军饮马问题 新人教版

4 4 因动点产生的将军饮马问题因动点产生的将军饮马问题 1 如图 一次函数 1 1 2 yxb 的图象l与二次函数 2 2 yxmxb 的图象 c 都 经过点01b 和点c 且图象 c 过点25 0a 1 求二次函数的最大值 2 设使 21 yy 成立的x取值 的所有整数和为s 若s是关于x的方程 13 1 0 13 x ax 的根 求a的值 3 若点fg 在图象 c 上 长度为5的线段de在线段bc上移动 ef与 dg都始终平行于y轴 当四边形defg的面积最大时 在x轴上求一点p 使 pdpe 最 小 求出点p的坐标 解析 1 把2500 1ab 代入 2 2 yxmxb 解得41mb 二次函数的解析式为 2 2 41yxx 22 2 41 25 yxxx 二次函数的最大值为5 2 1 1 11 2 byx 由 1 2 1 1 yx 与 2 2 41yxx 联立 求得 711 24 c 使 21 yy 成立的x取值范围是 7 0 2 x 所有整数和1 2 3 6s 代入方程 13 1 0 13 x ax 得 13 1 60 163a 解得 1 7 a 3 作ehdg 于h 设 1 1 1 2 1 2 d xxe tt 其中 7 0 2 xt 则1 111 222 1dhtxtx ehtx 在rt deha中 222 dhehde 即 222 1 5 4 txtx 22txtx 2 1 412 21 2 g xxxe xx 2 2221 4 f xxx 由题意 四边形defg为梯形 要使面积最大 则dgef 最大 而 22 11 41124212 1 22 dgefxxxxxx 22 33 2332 3 8 4 xxx 当 3 4 x 时 四边形defg的面积最大 3111119 4848 de 作点d关于x轴的对称点 d 连接d e 交x轴于点p 则点p为所求 311 48 d 易求直线d e 的解析式为 1589 832 yx 令0y 解得 89 60 x 89 0 60 p 2 已知 直线2ly 抛物线 2 yaxbxc 的对称轴是y轴 且经过点 012 0 1 求抛物线的解析式 2 如图 点p是抛物线上任意一点 过点p作直线l的垂线 垂足为q 求证 popq 3 请你参考 2 中结论解决下列问题 如图 过原点作任意直线ab 交抛物线于点ab 分别过ab 两点作直线l的 垂线 垂足分别为mn 连接omon 求证 omon 如图 点11d 试探究在抛物线上是否存在点f 使得fdfo 取得最小 值 若存在 求出点f的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 抛物线 2 yaxbxc 的对称轴是y轴 2 yaxc 把012 0 代入 得 1 40 c ac 解得 1 4 1 a c 抛物线的解析式为 2 1 1 4 yx 2 设 2 1 1 4 p mm 则 2 1 4 1oempem 22 1 21 11 44 pqmm 222 1 1 4 pooepem popq 3 amlbnlambnoc aa amomocbnonoc 由 2 知 amaobnbo aomamobonbno aommocbonnoc 180aommocbonnoc 90mocnoc omon 作fhlh 于 则fdfofdfh 当dfh 三点在同一条直线上时 fdfo 取得最小值 把1x 代入 2 1 1 4 yx 得 3 4 y 满足条件的点f的坐标为 3 1 4 3 已知平面直角坐标系中两定点104 0ab 抛物线 2 20yaxbxa 过点ab 顶点为c 点0p mnn 为抛物线 上一点 1 求抛物线的解析式和顶点c的坐标 2 当apb 为钝角时 求m的取值范围 3 若 3 2 m 当apb 为直角时 将该抛物线向左或向右平移 5 0 2 tt 个单位 点cp 平移后对应的点分别记为cp 是否存在t 使得首尾依次连接 abpc 所构成的多边形的周长最短 若存在 求t的值并说明抛物线平移的方 向 若不存在 请说明理由 解析 1 抛物线 2 2yaxbx 过点104 0ab 20 16420 ab ab 解得 1 2 3 2 k b 抛物线的解析式为 2 2 13 22 yxx 22 13 22 1325 2 228 yxxx 顶点c的坐标为 325 28 2 若p点在x轴上方 显然pab 或pba 为钝角 则apb 必为锐角 不合题 意 若p点在x轴下方 当p点与抛物线和y轴交点02d 时 222 5adoaod 2222 2025bdobodab 222 90adbdabadb 由抛物线的对称性可知 点d关于抛物线对称轴的对称点32e 也满足 90aeb 以ab为直径作圆 则de 均在圆上 抛物线上点a到d及e到b之间的部分在圆内 当p点在这两个 范围内运动时 满足apb 为钝角 10m 或34m 3 3 2 m apb 为直角 由 2 知p点坐标为32 由平移的性质知p cpc ab 与pc均为定值 要使 abpc 所构成的 多边形的周长最短 只 acbp 最短 过点a作 afp c 且afp c 连接fp 则四边形 afp c 为平行四边形 连接dp 作点f关于直线 dp 的对称点f 连接p f 则 acp fp facbpbpp fbf 当 p 落在线段 bf 上时 acbp 最短 抛物线应该向左平移 325 28 c 3210pa 19 28 f 141 28 f 设直线 bf 的解析式为ykxn 40 141 28 kn kn 解得 41 28 41 7 k n 4141 287 yx 把2y 代入 解得 108 41 x 10815 3 4141 t 抛物线应该向左平移 15 41 个单位 4 如图 在平面直角坐标系中 ma过原点o 与x轴交于4 0a 与y轴交于 0 3b 点c为劣弧ao的中点 连接ac并延长到d 使4dcca 连 接bd 1 求ma的半径 2 证明 bd为ma的切线 3 在直线mc上找一点p 使 dpap 最大 求出这个最大值及此时p点坐标 解析 1 90aobab 为ma的直径 4 00 343aboaob 2222 435aboaob m a的半径为 5 2 2 过d作dfy 轴于f 交直线mc于g 点c为劣弧ao的中点 mc 垂直平分oa 1 2 2onanoa 13 22 mnob 53 2 1 2 ncmcmn 由dcgacnaa 得4 cgdgdc ncanac 4448cgncdgan 82 61 4 5dfdgfgngnccg 3 5 8bfboof 4 3 bfao dfbo 又90bfdaobbdfabo aa dbfbao 9090obabaoobadbf 90abdbd 为ma的切线 3 点p在直线mc上 oa 两点关于直线mc对称 opap dpapdpopod 当pod 三点在同一直线上时 dpap 最大 即等于线段od的长 由 2 知 65dfof 65d 2222 6561oddfof 即 dpap 的最大值为61 设直线od的解析式为ykx 把d点坐标代入 得 56k 5 6 k 5 6 yx 当2x 时 5 3 y 此时p点坐标为 5 2 3 5 如图 在直角坐标系中 抛物线 2 20yaxxc a 经过 300 3ac 两点 1 填空 a c 抛物线的对称轴是直线x 2 若点b的坐标是01 点p是抛物线对称轴上的一个动点 请探究解决以下问题 当点p运动到何处时 bpca的周长最小 求此最小值和点p的坐标 当bpca的周长最小时 抛物线上是否存在点m 使得由点pbcm 围成 的四边形是平行四边形 若存在 直接写出点m的坐标 若不存在 请说明理由 若点q是x轴上的一个动点 是否存在点pq 使得由点bcpq 围成的四 边形的周长最小 若存 在 求此最小值和点pq 的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 1 3 1 2 过c作cdx 轴交抛物线于d 连接bd交抛物线的 对称轴于p 连接pc 则bpca的周长最小 0 3c 抛物线的对称轴是直线1x 2 3 d 2cd 012bbc 2 2bd bpc a的周 长bcpbpc 22 2bcpbpdbcbd p是bd中点 12p 存在 14m 作点b关于x轴的对称点b 连接b d 交抛物线的对称轴于p 交x轴于q 连接 pcbq 则四边形bcpq的周长最小 21 b d yx 1 0 2 q 1 1 p 14obobb coboc 2222 422 5b db ccd 四边形bcpq的周长bccppqqb bcpdpqqbbcb d 22 5 6 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 2 3 2 yxbxc 的图象与x轴交于 1030ab 两点 顶点为c 1 求这个二次函数的解析式 2 点d为点c关于x轴的对称点 过点a作直线 33 33 l yx 交bd于点e 过点b作直线bkad 交直线l于点k 问 在四边形abkd的内部是否存在点p 使得它到四边形abkd四边的距离都相等 若存在 请求出点p的坐标 若不存在 请 说明理由 3 在 2 的条件下 若mn 分别为直线ad和直线l上的两个动点 连结 dnnmmk 求dnnmmk 和的最小值 解析 1 把1030ab 代入 2 3 2 yxbxc 得 3 0 2 9 3 30 2 bc bc 解得 3 3 3 2 b c 二次函数的解析式为 2 33 3 3 22 yxx 2 存在 22 33 33 3 1 2 3 222 yxxx 顶点c的坐标为 12 3 点d为点c关于x轴的对称点 点d的坐标为 12 3 设直线ad的解析式为ymxn 得 0 2 3 mn mn 解得 3 3 m n 直线ad的解析式为33yx bkad 设直线bk的解析式为3yxt 则3 30t 3 3t 直线bk的解析式为33 3yx 由 33 3 33 33 yx yx 解得 5 2 3 x y 点k的坐标为 52 3 dkab 又bkad 四边形abkd是平行四边形 过k作kfx 轴于f 则2 3kf 5 3 2bfofob 22 4bkbfkf 又1 3 4aboaobbkab 四边形abkd是菱形 菱形的中心到四边的距离相等 当点p与菱形的中心重合时 即是满足题意的点 105 2 323akp 3 四边形abkd是菱形 点db 关于直线ak对称 dnnm 的最小值是bm 过k作直线ad的对称点g 连接gk交直线ad于点h 则gkadghkh ak 是dab 的角平分线 khkf 2 3ghkhkf bmmk 的最小值是bg 即bg的长是dnnmmk 的最小值 bkadbkgk 在rt bkga中 424 3bkgkgh 22 8bgbkgk dnnmmk 的最小值为8 7 如图 抛物线 2 yaxbxc 关于y轴对称 它的顶点在坐标原点o 点 4 2 3 b 和点33c 两点均在抛物线上 点 3 0 4 f 在y轴上 过点 3 0 4 作直线l与x轴平行 1 求 抛物线的解析式和直线bc的解析式 2 设点d xy 是线段bc上 的一个动点 点d不与bc 重合 过点d作 x轴的垂线 与抛物线交于点g 设线段gd的长度为h 求h与x之间的函数关系式 并求出当x为何值时 h的值最大 最大值是多少 3 若点p mn 是抛物线上位于第三象限的一个动点 连接pf并延长 交抛物线 于另一点q 过点q作qsl 垂足为点s 过点p作pnl 垂足为点n 试判 断fnsa的形状 并说明理由 4 若点2at 在线段bc上 点m为抛物线上的一个动点 连接 am fm 当点m在何位置时 mfma 的值最小 请直接写出此时点m的坐标与 mfma 的最小值 解析 1 2 yaxbxc 关于y轴对称 它的顶点在坐标原点o 抛物线的解析式为 2 yax 点33c 在抛物线上3 9a 1 3 a 抛物线的解析式为 2 1 3 yx 设直线bc的解析式为ykxm 把 4 2 3 b 33c 代入 得 4 2 3 33 km km 解得 1 3 2 k m 直线bc的解析式为 3 2 1 yx 2 点d xy 是线段bc上的一个动点 2 11 2 33 d xxg xx 22 11 2 11 2 3333 hxxxx 即 2 11 33 232hxxx 22 1125 2 3 11 32123 hxxx 当 1 2 x 时 h的值最大 最大值是 25 12 3 fnsa是直角三角形 理由如下 点p mn 是抛物线 2 1 3 yx 上位于第三象限的一个动点 2 1 3 nm 2 1 0 0 3 p mmmn 2 13 34 pnm 3 0 4 f 2 222 1313 3434 pfmmm pnpfpfnpnf pnloflpnof pnfofnpfnofn 同理 qfsofs 180pfnofnofsqfs 90ofnofs 即90nfs nfs a是直角三角形 4 4 2 3 m mfma 的最小值为 41 12 提示 过点m作mhl 于h 由 3 知 mfmhmfmamhma 当amh 三点共线 即aml 时 mhma 即mfma 最小 等于线段ah的长 当2x 时 18 2 33 yx mfma 的最小值 3841 4312 8 在平面直角坐标系xoy中 o为坐标原点 抛物线 2 yxbxc 过点 4 013ab 1 求bc 的值 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐 标 2 设该抛物线的对称轴为直线l 点p mn 是抛物线上在第一象限的点 点e与点 p关于直线l对称 点e与点f关于y轴对称 若四边形oapf的面积为48 求点 p的坐标 3 在 2 的条件下 设m是直线l上任意一点 试判断mpma 是否存在最小 值 若存在 求出这个最小值及相应的点m的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 抛物线 2 yxbxc 过点4 013ab 1640 13 bc bc 解得 4 0 b c 22 4 42yxxx 抛物线的对称轴为2x 顶点为24 2 点e与点p mn 关于直线2lx 对称 点e的坐标为4mn 点e与点f关于y轴对称 点f的坐标为4mn 4 4pfmm 4pfoa pfoa 四边形oapf是平行四边形 44812 oapf soannn a 由 2 412mm 解得 12 62mm 点p是抛物线上在第一象限的点 6m 点p的坐标为612 3 mpma 存在最小值 点o与 点a关于直线l对称 连接op交直线l于点m 则点m为所求 mpma 的最小值即等于线段op的长 612p 22 6126 5op 即mpma 的最小值为6 5 易得直线op的解析式为2yx 当2x 时 4y 点m的坐标为2 4 9 如图 1 抛物线 2 2 3 yxbxc 与x轴相交于点ac 与y轴相交于点b 连接abbc 点a的坐标为2 0tan2bao 以线段bc为直径作ma交 ab于点d 过点b作直线lac 与抛物线和ma的另一个交点分别是ef 1 求该抛物线的函数表 达式 2 求点c的坐标和线段ef的长 3 如图 2 连接cd并延长 交直线l于点n 点pq 为射线nb上的两个动点 点p在点q的右侧 且不与n重合 线段pq与ef的长度相等 连接dpcq 四边形cdpq的周长是否有最小值 若有 请求出此时点p的坐标并直接写出四边形 cdpq周长的最小值 若没有 请说明理由 解析 1 点a的坐标为2 0tan2bao 24oabo 点b的坐标为0 4 抛物线 2 2 3 yxbxc 过点ab 8 20 3 4 bc c 解得 2 3 4 b c 该抛物线的解析式为 2 2 3 2 3 yxx 4 2 令 2 2 3 2 3 xx 4 0 解得 12 32xx 点c坐标为303co 令 2 2 3 2 3 xx 4 4 解得 12 01xx 点e的坐标为141be 连接cf bc 为ma直径 90bfc boac 直线lac bol 90fboboc 四边形bfco为矩形 3bfco 3 1 2efbfbe 3 四边形cdpq的周长有最小值 22 345bc 3 2 5ac acbc bc 是ma的直径 90bdc d 为ab中点 点12d cdpq 的长为定值 要使四边形cdpq的周长最小 只需dpqc 的值最小 作点d关于直线l的对称点d 作d gl 直线且d gpq 连接gqqc 则四边形pd gq 是平行四边形 gqd pdp dpqcgqqc qgqcgc 当gqc 三点共线时qgqc 的值最小 即为线段 gc的长 易得1616dg 设直线gc的函