求数列通项公式的十种方法

第 1 页 共 9 页 求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十种方法 一 公式法一 公式法 例例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 解 两边除以 得 则 故数列是以 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 2 n n a 为首项 以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 所以数列1 2 2 2 a 1 1 2 33 1 1 22 n n a n 的通项公式为 n a 31 2 22 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 说明数列是等差 1 23 2n nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 2 n n a 数列 再直接利用等差数列的通项公式求出 进而求出数列的通项公式 3 1 1 22 n n a n n a 二 利用二 利用 1 2 1 1 nn SSn S n n a 例例 2 2 若和分别表示数列和的前项和 对任意正整数 求数 n S n T n a n bn2 1 n an 34 nn TSn 列的通项公式 n b 解 2 分 当 2 2 1 423 1 anadSnn nn 2 3435TSnnn nn 当 4 分 1 3 58 11 nTb 时2 6262 1 nbTTnbn nnnn 时 练习练习 1 已知正项数列 an 其前 n 项和 Sn满足 10Sn an2 5an 6 且 a1 a3 a15成等比数列 求数列 an 的 通项 an 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 10Sn an2 5an 6 10a1 a12 5a1 6 解之得a1 2 或a1 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 又 10Sn 1 an 12 5an 1 6 n 2 由 得 10an an2 an 12 6 an an 1 即 an an 1 an an 1 5 0 an an 1 0 an an 1 5 n 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当a1 3 时 a3 13 a15 73 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a1 a3 a15不成等比数列 a1 3 当a1 2 时 a3 12 a15 72 有 a32 a1a15 a1 2 an 5n 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 2006 年全国卷 I 设数列的前项的和 n an 1 412 2 333 n nn Sa 1 2 3 n A A A 求首项与通项 设 证明 1 a n a 2n n n T S 1 2 3 n A A A 1 3 2 n i i T 解 I 2 111 412 2 333 aSa 解得 1 2a 21 111 441 22 333 nn nnnnn aSSaa 1 1 242 nn nn aa 第 2 页 共 9 页 所以数列 2n n a 是公比为 4 的等比数列 所以 11 1 224 nn n aa 得 42 nn n a 其中n为正整数 II 111 4124122 242221 21 3333333 nnnnnn nn Sa 1 1 232311 22212121 21 nn n nn nn n T S 所以 11 1 3113 221212 n i n i T 三 累加法三 累加法 例例 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 解 由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn nnnn 所以数列的通项公式为 n a 2 n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而求出 1 21 nn aan 1 21 nn aan 即得数列的通项公式 11232211 nnnn aaaaaaaaa n a 例例 4 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 解 由得则 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 11232211 1221 1 1221 2 31 2 31 2 31 2 31 3 3 1 3 2 3333 1 32 1 3 1 3 331 331 nnnnn nn n nn nn aaaaaaaaaa nn nn 所以31 n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而求出 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 即得数列的通项公式 11232211 nnnnn aaaaaaaaaa n a 第 3 页 共 9 页 例例 5 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 32 313 n nn aaa n a 解 两边除以 得 则 故 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 1 11 21 3333 nn nnn aa 11223211 22321 11 122122 33333333 2121212132 1 11111 1 333333333333333 nnnnnnn nnnnn nn nnnnnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 则 1 1 1 3 2 1 211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann 211 33 322 nn n an 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而求出 1 32 31 n nn aa 1 11 21 3333 nn nnn aa 即得数列的通项公式 最后再求 11223211 1122321 333333333 nnnnnn nnnnnn aaaaaaaaa 3 n n a 数列的通项公式 n a 四 累乘法四 累乘法 例例 6 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 解 因为 所以 则 故 11 2 1 53 n nn anaa 0 n a 1 2 1 5n n n a n a 1221 132 1 1221 1 1 1 2 2 11 2 2 1 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 1 1 5 3 2 1 3 2 533 25 nn nn n nn n n nnnn aaaa aann aaaa n nn 所以数列的通项公式为 n a 1 1 2 3 25 n n n n an 评注 本题解题的关键是把递推关系转化为 进而求出 1 2 1 5n nn ana 1 2 1 5n n n a n a 即得数列的通项公式 132 1 1221 nn nn aaaa a aaaa n a 例例 7 已知数列满足 求的通项公式 n a 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 解 因为 1231 23 1 2 nn aaaanan 第 4 页 共 9 页 所以 11231 23 1 nnn aaaanana 用 式 式得则故 1 nnn aana 1 1 2 nn ana n 1 1 2 n n a nn a 所以 13 222 122 1 4 3 2 nn n nn aaan aan naa aaa 由 则 又知 则 1231 23 1 2 nn aaaanan 212 22naaa 取得 21 aa 1 1a 代入 得 所以 的通项公式为 2 1a 1 3 4 5 2 n n an n a 2 n n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而求出 1 1 2 nn ana n 1 1 2 n n a nn a 从而可得当的表达式 最后再求出数列的通项公式 13 2 122 nn nn aaa a aaa 2 n na 时 n a 五五 构造等差或等比构造等差或等比或或 1nn apaq 1 nn apaf n 例例 8 8 2006 年福建卷 已知数列满足求数列的通项公式 n a 11 1 21 nn aaanN n a 解 1 21 nn aanN 1 12 1 nn aa 是以为首项 2 为公比的等比数列 1 n a 1 12a 即 12 n n a 2 21 n anN 例例 9 9 已知数列中 求 n a 1 1a 1 1 11 22 n nn aa n a 解 在两边乘以得 1 1 11 22 n nn aa 1 2 n1 1 2 2 1 nn nn aa 令 则 解之得 所以 n n n ab 2 1 1 nn bb 1 11 n bbnn 1 22 n n nn bn a 练习 已知数列满足 且 a n 2n12a2a n 1nn 81a4 1 求 2 求数列的通项公式 321 aaa a n 解 1 33a13a5a 321 2 n 1nn n 1nn 2 1a 21a12a2a 1n 2 1a 1 2 1a 2 1a n n 1n 1n n n 12 1n a n n 第 5 页 共 9 页 六 待定系数法六 待定系数法 例例 10 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 解 设 1 1 52 5 nn nn axax 将代入 式 得 等式两边消去 得 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 2 n a 两边除以 得代入 式得 1 3 5525 nnn xx 5n352 1 xxx 则 1 1 52 5 nn nn aa 由及 式得 则 则数列是以为首 1 1 56510a 50 n n a 1 1 5 2 5 n n n n a a 5 n n a 1 1 51a 项 以 2 为公比的等比数列 则 故 1 52 nn n a 1 25 nn n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 从而可知数列 1 23 5n nn aa 1 1 52 5 nn nn aa 是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列的通项公式 5 n n a 5 n n a n a 例例 11 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 35 241 n nn aaa n a 解 设 将代入 式 得 1 1 23 2 nn nn axyaxy 1 35 24 n nn aa 整理得 1 35 2423 2 nnn nn axyaxy 52 24323 nn xyxy 令 则 代入 式得 523 43 xx yy 5 2 x y 1 1 5 223 5 22 nn nn aa 由及 式 得 则 1 1 5 221 12130a 5 220 n n a 1 1 5 22 3 5 22 n n n n a a 故数列是以为首项 以 3 为公比的等比数列 因此 5 22 n n a 1 1 5 221 1213a 则 1 5 2213 3 nn n a 1 13 35 22 nn n a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 1 35 24 n nn aa 从而可知数列是等比数列 进而求出数列 1 1 5 223 5 22 nn nn aa 5 22 n n a 的通项公式 最后再求数列的通项公式 5 22 n n a n a 第 6 页 共 9 页 例例 12 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 11 23451 nn aanna n a 解 设 22 1 1 1 2 nn ax ny nzaxnynz 将代入 式 得 2 1 2345 nn aann 则 222 2345 1 1 2 nn annx ny nzaxnynz 22 2 3 24 5 2222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去 得 2 n a 22 3 24 5 222x nxynxyzxnynz 解方程组 则 代入 式 得 32 242 52 xx xyy xyzz 3 10 18 x y z 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 由及 式 得 2 1 3 110 1 181 31320a 2 310180 n ann 则 故数列为以 2 1 2 3 1 10 1 18 2 31018 n n ann ann 2 31018 n ann 为首项 以 2 为公比的等比数列 因此 2 1 3 110 1 181 3132a 则 21 3101832 2n n ann 42 231018 n n ann 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 2 1 2345 nn aann 从而可知数列是等比数 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 2 31018 n ann 列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列的通项公式 2 31018 n ann n a 七 对数变换法七 对数变换法 例例 13 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解 因为 所以 在式两边取常用对数得 5 11 2 37 n nn aaa 1 00 nn aa 5 1 2 3n nn aa 设 1 lg5lglg3lg2 nn aan 1 lg 1 5 lg nn ax nyaxny 11 第 7 页 共 9 页 将 式代入式 得 两边消去并整理 得 11 5lglg3lg2 1 5 lg nn anx nyaxny 5lg n a 则 故 lg3 lg255x nxyxny lg35 lg25 xx xyy lg3 4 lg3lg2 164 x y 代入式 得 11 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 12 由及式 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg710 41644164 a 12 得 则 lg3lg3lg2 lg0 4164 n an 1 lg3lg3lg2 lg 1 4164 5 lg3lg3lg2 lg 4164 n n an an 所以数列是以为首项 以 5 为公比的等比数列 则 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg7 4164 因此 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 41644164 n n an 11 1 11111 1 6164444 1111111111 11 1616161644444444 55 51 4 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 4164464 lg7lg3lg3lg2 5lg3lg3lg2 lg 7 332 5lg 332 lg 7 332 5lg 332 lg 733 nn n n n n nn nn n n an 11 15415151 51 161644 2 lg 732 nn nn n 则 1 1 54151 5 164 732 n n nn n a 评注 本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为 5 1 2 3n nn aa 从而可知数列 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg 1 5 lg 41644164 nn anan 是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后再 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg 4164 n an 求出数列的通项公式 n a 八 迭代法八 迭代法 例例 14 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 3 1 2 11 5 n n nn aaa n a 解 因为 所以 3 1 2 1 n n nn aa 121 323 1 232 12 nnn nnn nnn aaa 第 8 页 共 9 页 2 2 1 32 2 1 3 3 2 1 1 11 2 3 2 1 1 2 3 1 23 2 23 1 23 2 1 2 233 32 3 2 1 23 2 11 nnnnnnnn n n nnnnn nnnnnnnn nnn nnnn aaa aa 又 所以数列的通项公式为 1 5a n a 1 1 2 3 2 5 n n n n n a 评注 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式 即先将等式两边取常用 3 1 2 1 n n nn aa 对数得 即 再由累乘法可推知 1 lg3 1 2lg n nn ana 1 lg 3 1 2 lg n n n a n a 从而 1 1 2 3 2 132 1 1221 lglglglg lglglg5 lglglglg n n n n nn n nn aaaa aa aaaa 1 1 3 2 2 5 n n n n n a 九 数学归纳法九 数学归纳法 例例 15 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 解 由及 得 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 1 8 9 a 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 往下用数学归纳法证明这个结论 2 2 21 1 21 n n a n 1 当时 所以等式成立 1n 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a