系统的稳定性及其判定(罗斯阵列)

6 66 6 系统的稳定性及其判定系统的稳定性及其判定 所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性 所以对系统稳定性的研究十分重要 本 节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法 一 系统稳定性的意义一 系统稳定性的意义 若系统对有界激励 f t 产生的零状态响应也是有界的 即当时 若 有 式中和均为有界的正实常数 则称系统为稳定系统或系统具有 稳定性研究不同问题时 稳定 的定义不尽相同 这里的定义是 有界输入 有界输出 意义下的稳定 否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性 可以证明 系统具有稳定性的必要与充分条件 在时域中是系统的单位冲激响应 h t 绝对可积 即 6 36 证明 设激励 f t 为有界 即 式中 为有界的正实常数 又因有 故有 6 37 由此式看出 若满足 则一定有 证毕 即也一定有界 式中为有界的正实常数 由式 6 36 还可看出 系统具有稳定性的必要条件是 6 38 式 6 36 和式 6 38 都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性 它只取决于系统的 结构与参数 与系统的激励和初始状态均无关 若系统为因果系统 则式 6 36 和式 6 38 可写为 6 39 6 40 二 系统稳定性的判定二 系统稳定性的判定 判断系统是否稳定 可以在时域中进行 也可以在 s 域中进行 在时域中就是按式 6 36 和式 6 38 判断 已如上所述 下面研究如何从 s 域中判断 1 从 H s 的极点 即 D s 0 的根 分布来判定 若系统函数 H s 的所有极点均位于 s 平面的左半开平面 则系统是稳定的 若 H s 在 j 轴上有单阶极点分布 而其余的极点都位于 s 平面的左半开平面 则系 统是临界稳定的 若 H s 的极点中至少有一个极点位于 s 平面的右半开平面 则系统就是不稳定的 若 在 j 轴上有重阶极点分布 则系统也是不稳定的 2 用罗斯准则判定 用上述方法判定系统的稳定与否 必须先要求出 H s 的极点值 但当 H s 分母多项 式 D s 的幂次较高时 此时要具体求得 H s 的极点就困难了 所以必须寻求另外的方法 其实 在判定系统的稳定性时 并不要求知道 H s 极点的具体数值 而是只需要知道 H s 极点的分布区域就可以了 利用罗斯准则即可解决此问题 罗斯判定准则的内容如下 多项式 D s 的各项系数均为大于零的实常数 多项式中无缺项 即 s 的幂从 n 到 0 一项也不缺 这是系统为稳定的必要条件 若多项式 D s 各项的系数均为正实常数 则对于二阶系统肯定是稳定的 但若系统的 阶数 n 2 时 系统是否稳定 还须排出如下的罗斯阵列 设 则罗斯阵列的排列规则如下 共有 n 1 行 阵列中第 1 第 2 行各元素的意义不言而喻 第 3 行及以后各行的元素按以下各式计算 如法炮制地依次排列下去 共有 n 1 行 最后一行中将只留有一个不等于零的数字 若所排出的数字阵列中第一列的 n 1 个数字全部是正号 则 H s 的极点即全部位于 s 平面的左半开平面 系统就是稳定的 若第一列 n 1 个数字的符号不完全相同 则符号 改变的次数即等于在 s 平面右半开平面上出现的 H s 极点的个数 因而系统就是不稳定的 在排列罗斯阵列时 有时会出现如下的两种特殊情况 1 阵列的第一列中出现数字为零的元素 此时可用一个无穷小量 认为 是正或 负均可 来代替该零元素 这不影响所得结论的正确性 2 阵列的某一行元素全部为零 当 D s 0 的根中出现有共轭虚根时 就会 出现此种情况 此时可利用前一行的数字构成一个辅助的 s 多项式 P s 然后将 P s 对 s 求导一次 再用该导数的系数组成新的一行 来代替全为零元素的行即可 而辅助多项式 P s 0 的根就是 H s 极点的一部分 例例 6 226 22 已知 H s 的分母 D s s4 2s3 3s2 2s 1 试判断系统的稳定性 解 解 因 D s 中无缺项且各项系数均为大于零的实常数 满足系统为稳定的必要条件 故进一步排出罗斯阵列如下 可见阵列中的第一列数字符号无变化 故该 H s 所描述的系统是稳定的 即 H s 的 极点全部位于 s 平面的左半开平面上 例例 6 236 23 已知 试判断系统的稳定性 解 解 因中无缺项且各项系数均为大于零的实常数 满足系统为稳定的必要条件 故进一步排出罗斯阵列如下 可见阵列中的第一列数字符号有两次变化 即从 2 变为 2 又从 2 变为 21 故 H s 的极点中有两个极点位于 s 平面的右半开平面上 故该系统是不稳定的 例例 6 246 24 已知 试判断系统是否稳定 解 解 因 D s s5 2s4 2s3 4s2 11s 10 中的系数均为大于零的实常数且无缺项 满 足系统为稳定的必要条件 故进一步排出罗斯阵列如下 由于第 3 行的第一个元素为 0 从而使第 4 行的第一个元素成为 使阵列 无法继续排列下去 对于此种情况 可用一个任意小的正数来代替第 3 行的第一个元素 0 然后照上述方法继续排列下去 在计算过程中可忽略含有 的项 最后将 发现 阵列第一列数字符号改变的次数将与 无关 按此种处理方法 继续完成上面的阵 列 可见阵列中第一列数字的符号有两次变化 即从变为 又从变为 6 故 H s 的极点中有两个极点位于 s 平面的右半开平面上 故系统是不稳定的 例例 6 256 25 已知 试判断系统的稳定性 解 解 因中无缺项且各项系数均为大于零的实常数 满足系 统为稳定的必要条件 故进一步排出罗斯阵列如下 可见第 4 行全为零元素 处理此种情况的方法之一是 以前一行的元素值构建一个 s 的多 项式 P s 即 将式 6 41 对 s 求一阶导数 即 现以此一阶导数的系数组成原阵列中全零行 行 的元素 然后再按原方法继续排列下去 即 可见阵列中的第一列数字符号没有变化 故 H s 在 s 平面的右半开平面上无极点 因而系 统肯定不是不稳定的 但到底是稳定的还是临界稳定的 则还须进行下面的分析工作 令 解之得两个纯虚数的极点 这说明系统是临界稳定的 实际上 若将 D s 分解因式 即为 可见 H s 共有 4 个极点 位于轴上 位于 s 平面的左半开平面 故该系统是临界稳定的 例例 6 266 26 图 6 38 所示系统 试分析反馈系数 K 对系统稳定性的影响 图 6 38 解 解 解之得 欲使此系统稳定的必要条件是中的各项系数均为大