第3章《导数及其应用-3.2.1 常见函数的导数》导学案

第第3章章 导数及其应用导数及其应用 3 2 1 导学案导学案 教学过程教学过程 一 问题情境 前面我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念 那么 如何求函数的导数呢 二 数学建构 问题1 回顾前面所学内容 能否归纳出求导数的一般步骤 解 给定函数y f x 计算 当 x 0时 A x 则f x A x 问题2 根据求导数的一般步骤 求下列函数的导数 f x kx b k b为常数 解 因为 k 当 x 0时 k 所以f x k 特别地 当k 0时 有f x 0 当k 1 b 0时 有f x 1 f x x2 解 因为 2x x 当 x 0时 2x 所以f x 2x f x x3 解 因为 3x2 3x x x 2 当 x 0时 3x2 所以f x 3x2 f x 解 因为 当 x 0时 所以f x f x 解 因为 当 x 0时 所以f x 问题3 你能根据问题2中的 发现什么结论 几个常用函数的导数 kx b k k b为常数 C 0 C为常数 x 1 x2 2x x3 3x2 对于基本初等函数 有下面的求导公式 教师直接给出 x x 1 为常数 ax axlna a 0 且a 1 lox logae a 0 且a 1 ex ex ln x sinx cosx cosx sinx 1 三 数学运用 例1 求曲线y cosx在点处切线的方程 见学生用书P52 处理建议 利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率 再利用点斜式 求出切线方程 规范板书 解 y sinx 所以在点处切线的斜率k sin 即切线方程为x 2y 1 0 题后反思 求一些常见函数的导数可直接利用公式 变式 求曲线y 在点处的切线的方程 规范板书 y 故点处的切线斜率为 则切线方程为y x 2 即x 4y 4 0 例2 若直线y 4x b是函数y x2图象上的一条切线 求b及切点坐标 见学生用书P52 处理建议 设出切点坐标 利用导数的几何意义解题 规范板书 解 设切点坐标为 x0 由f x0 2x0 4 得x0 2 所以切点坐标为 2 4 故b 4 题后反思 本题应抓住切点的双重性 点既在曲线上也在切线上 变式 若直线y 3x 1是曲线y ax3的切线 求a的值 规范板书 解 设切点坐标为 x0 a 由f x0 3a 3 得a 1 又因为点 x0 a 满足切线方程 所以a 3x0 1 将a 1代入 解得x0 则a 4 例3 在函数y 2x的图象上求一点 使过此点的切线平行于直线xln4 y 3 0 见学 生用书P52 处理建议 利用常见函数的求导公式及导数的几何意义求出切线的斜率 再利用两 平行直线之间斜率相等建构等式 规范板书 解 设切点坐标为 x0 由f x0 ln2 ln4 得x0 1 即该点坐标为 1 2 题后反思 过一点有切线 但该点不一定是切点 但本题有其特殊性 切线只可能 与曲线有一个交点 所以对于本题 这个点即为切点 变式 在抛物线y x2上求一点P 使点P到直线x y 1 0的距离最短 并求出这个最短距 离 规范板书 解 设切点P的坐标为 x0 由f x0 2x0 1 得x0 则曲线在点P处切 线方程为4x 4y 1 0 所以它与已知直线的距离d 所以点P的坐标为 d 四 课堂练习 1 已知四个命题 曲线y x3在原点处没有切线 若函数f x 则f x 0 速度 是动点位移函数S t 对时间t的导数 函数y x5的导数值恒非负 其中正确的命题是 填序号 提示 根据导数的概念及常见函数的导数公式解答 2 设f x sinx 则f x cosx f 提示 利用常见函数的导数公式求解 3 若质点的运动方程是S S的单位为m t的单位为s 则质点在t 3时的速度为 m s 提示 速度是动