一题多解、一题多变、多题归一（二）

数学最重要的学习方法在这里 需要的家长 孩子看过 来 一题多解 一题多变 多题归一 二 数数学学最最重重要要的的学学习习方方法法在在这这里里 需需要要的的家家长长 孩孩子子看看过过来来 一一题题多多解解 一一题题多多变变 多多题题归归一一 二二 01 一一题题多多解解 培培养养思思维维的的发发散散性性 一题多解实际上是解题或证明定理 公式的变式 因为它的实质 是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系 运用 这种变式教学 可以引导学生对同一材料 从不同角度 从不同方位 用各种途径 多种方法思考问题 探求不同的解答方案 这样 既可 暴露学生解题的思维过程 增加教学透明度 又能够拓广学生思路 使学生熟练掌握知识的内在联系 使思维向多方向发展 培养思维的 发散性 这方面的例子很多 尤其是几何证明题 已知 点 O 是等边 ABC 内一点 OA 4 OB 5 OC 3 求 AOC 的度数 练习 把此题适当变式 变变式式 在 ABC 中 AB AC BAC 90 OA 4 OB 6 OC 2 求 AOC 的度数 变变式式 2 如图 点 O 是等边 ABC 内一点 AOB 110 BOC 135 试问 1 以 OA OB OC 为边能否构成一个三角形 若能 请求出三角 形各内角的度数 若不能 请说明理由 2 如果 AOB 的大小保持不变 那么当 BOC 等于多少度时 以 OA OB OC 为边的三角形是一个直角三角形 02 一一题题多多变变 培培养养思思维维的的灵灵活活性性 一题多变是题目结构的变式 是指变换题目的条件或结论 或者 变换题目的形式 而题目的实质不变 以便从不同角度 不同方面揭 示题目的本质 用这种方式进行教学 能使学生随时根据变化了的情 况积极思索 设法想出解决的办法 从而防止和消除呆板和僵化 培 养思维的灵活性 一题多变可以改变条件 保留结论 也可以保留条 件 改变结论 或者同时改变条件和结论 也可以将某项条件与结论 对换等等 例如 已知 C 为 AB 上一点 ACM 和 CBN 为等边三角形 如 图所示 求证 AN BM 分析 如对此题多做一些引申 既可以培养学生的探索能力 又可培 养学生的创新素质 探索一 设 CM CN 分别交 AN BM 于 P Q AN BM 交于点 R 问此题中还有其他的边相等以及特殊角 特殊图形吗 给予证明 探索二 ACM 和 BCN 如在 AB 两旁 其它条件不变 AN BM 成立吗 探索三 ACM 和 BCN 分别为以 AC BC 为底且顶角相等的等腰 三角形 其它条件不变 AN BM 成立吗 探索四 A B C 三点不在一条直线上时 其它条件不变 AN BM 成立吗 探索五 A B C 三点不在一条直线上时 ACM 和 BCN 分别变 为正方形 ACME 和正方形 BCNF 其它条件不变 AN BM 成立吗 这样教学 不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力 而且 培养了学生的创新能力 发展了学生的求异思维 练习 1 如图 在 ABC 中 AB AC 点 P 是 BC 边上任意一点 PE AB 于 E PF AC 于 F BD AC 于 D 求证 BD PE PF 变式变式 1 ABC 变为等边三角形变为等边三角形 变式变式 2 P 在在 ABC 内内 变变式式 3 P 在在 ABC 外外 2 轴对称 已知直线 l 及同侧两点 A B 试在直线 l 上选一点 C 使点 C 到点 A B 的距离和最小 将军饮马模型 变式变式 1 如图 请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线 画图并 说明理由 方案 1 小华由家先去河边 再去姥姥家 方案 2 小华由家先去姥姥家 再去河边 变式变式 2 已知 AB AC 表示两条交叉的小河 P 点是河水化验室 现想从 P 点出发 先到 AB 河取点水样 然后再到 AC 河取点水样 最后回到 P 处化验河水 怎么走路程最短呢 实验员小王说 我从 P 点笔直向 A 走 同时取好两河水样再原路返回 这样走 路最近 化验员小吴否定了小王 的路线 提出了自己的想法 请同学们想一想 小吴走怎样的路线 变变式式 3 变式变式 4 如图 在定直线 XY 外有一点 P 试于 XY 上求两点 A B 使 PA PB 为最短 而 AB 等于定长 a 变式变式 5 如图 在河的两侧有 A B 两个村庄 现要在河上修一座桥 规 定桥必须与河岸垂直 要使 A 村到 B 村的路程最短 问桥应修在何处 河宽为定长为 m 造桥选址模型 解 1 过 B 作 BC a 且使 BC m 2 连接 AC 交 b 于 P 3 过点 P 作 PQ a 垂足为点 Q 那么 PQ 就是桥的位置 3 如图 公路 MN 和 PQ 在 P 点处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一 所中学 AP 160 米 假设拖拉机行驶时 周围 100 米内会受到噪音的 影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪音 的影响 请说明理由 若影响 求出影响时间 拖拉机的速度是 12 米 秒 变式变式 1 如图 A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方 300 千米处 以 10 千米 时的速度向北偏东 60 的 BF 方向移动 距台风中心 200 千米的 范围内是受台风影响的区域 1 问 A 城是否受到台风影响 为什么 2 若 A 城受到台风影响 那么 A 城受到台风影响的时间多长 变式变式 2 据气象观测 距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台 风中心 其中心最大风力为 12 级 每远离台风中心 20 千米 风力就会 减弱一级 该台风中心现在以 15 千米 时的速度沿北偏东 30 方向往 C 移 动 且台风中心风力不变 若城市所受风力达到或超过四级 则称为受 台风影响 1 该城市是否会受到这次台风影响 请说明理由 2 若受到台风影响 那么台风影响该城市的持续时间有多长 3 该城市 受到台风影响的最大风力有几级 03 一题多思 培养思维的独创性一题多思 培养思维的独创性 牛顿说过 没有大胆的猜想就做不出伟大的发现 中学生的想 象力丰富 因此 可以通过例题所提供的结构特点 鼓励 引导学生 大胆地猜想 以培养学生的创造性思维和发散思维 例如 如图 过线段 AB 的两个端点作射线 AM BN 使 AM BN 请照图思考下列问题 并证明你的猜想 1 MAB ABC 的平分线 AE BE 交于点 E 则 AEB 是什么角 并证之 2 过 E 点任作一条直线交 AM 于 D 交 BN 于 C 请问线段 DE CE 什么关系 并证明 3 请证明 无论 DC 的两个端点在 AM BN 上如何移动 只要 DC 过 点 E AD BC 是个定值 1 题题型型有有何何特特征征 解解法法有有何何规规律律 2 题题目目有有哪哪些些证证法法 其其中中哪哪些些方方法法最最简简便便 3 题题目目的的几几种种证证法法中中 辅辅助助线线添添置置有有何何规规律律 4 在在题题目目的的解解决决过过程程中中 解解题题的的关关键键何何在在 涉涉及及哪哪些些基基础础知知识识 5 在在题题目目的的解解决决过过程程中中 有有哪哪些些地地方方容容易易发发生生错错误误 应应注注意意什什么么问问 题题 通过一题多思 不但能开阔学生的解题思路 而且启发学生建立 了课本例题 习题之间的联系 使学生在做题时做到 遇新题 忆旧 题 多思考 善联想 多变换 找规律 从而培养了学生的应变能力 和创造性思维能力 04 多多题题一一法法 培培养养思思维维的的深深刻刻性性 初中数学有很多问题 表面上看相互各异 但实质上结构却是相 同的 因而它们可用同一种方法去解答 让学生演作这样的题组并作 比较 可使学生透表求里 自觉地从本质上看问题 从而培养思维的 深刻性 例如 1 一个多边形除一个内角外 其余所有内角和等于2200 则这个多边形的边数为 2 一个多边形所有内角与一个外角的和是2380 则这个多边形 的边数为 以上两题表面上看不同 实际是同一道题 应注意引导学生进行对 比 消化 促使学生对相通的知识归纳成体系 避免 只见树木不见 森林 的现象 练习 1 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是1 任意连 接这些小正方形的顶点 可得到一些线段 2 勾股定理 1 如图 一架梯子长 2 5 米 顶端 A 靠在墙 AC 上 梯子下端 B 与 墙角 C 相距 1 5 米 1 这架梯子的顶端距地面多高 2 如果这架梯子滑动后停留在 DE 位置 如图 所示 测得 BD 长为 0 5 米 这时梯子顶端下落多少米 变式变式 梯子靠在墙上 梯子的底端 A 到墙根 O 的距离 2 米 梯子的顶端 B 到地面的距离为 7 米 现将梯子的底端向外移动到 C 使梯子底端 C 到墙根 O 的距离等于 3 米 同时梯子的顶端 B 下降至 D 那么 BD A 等于 1 米 B 大于 1 米 C 小于 1 米 D 以上结果都不对 注 把问句略做一下变化 就综合了二次根式的比较大小的知识点 2 小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长 宽 高分别为 30cm 40cm 50cm 的木箱中 他能放进去吗 答 填 能 或 不 能 3 有一个长 宽各 2 米 高 3 米且封闭的长方形纸盒 一只昆虫从 顶点 A 要爬到与 A 点相对的顶点 B 那么这只昆虫爬行的最短路程为 米 A 3 B 4 C 5 D 6 变变式式 1 一个圆柱的高为 36 底面圆的半径为 5 一只蚂蚁从上底面 的点 A 处爬到与点 A 相对应的下底面点 B 处的最端路程是多少 值取 3 变变式式 2 如图是一个三级台阶 它的每一级的长宽和高分别为 20dm 3dm 2dm A 和 B 是这个台阶两个相对的端点 A 点有一 只蚂蚁 想到 B 点去吃可口的食物 则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最 短路程是 变式变式 3 如图 沿 OA 将圆锥侧面剪开 展开成平面图形是扇形 OAB 1 扇形的弧 AB 的长与圆锥底面圆周的长是怎样的关系 点A 和点 B 在圆锥的侧面上是怎样的位置关系 2 若角 AOB 90 则圆锥底面圆半径 r 与扇形 OAB 的半径 R 之间 有怎样的关系 3 若点 A 在圆锥侧面上运动一圈后又回到原位 则点A 运动的最短 路程应该怎样设计 若 且 AOB 90 求点 A 运动的最短路程 05 设计猜想 培养思维的创造性设计猜想 培养思维的创造性 衡量学生思维水平的最终要素是思维的创造性 即善于探索 突 破 创新 能够发现和解决自己或别人所未发现或未解决的问题 要 培养这种可贵的品质 学生必须占有可供发现的有价值的材料 但教 材在这方面往往存在着缺欠 因为在阐述数学原理和规律时 一般都 把数学家们当初的真实发现过程给抽掉了 这就需要教师弥补这个不 足 为此 我们可以利用研究对象的变式 设计出现隐藏着规律的材 料 去引导学生发现 例如 昨天在 10 中听张老师教学矩形的判定定理 1 和判定定理 2 一 节 深有感触 现时很 流行 的做法是把性质定理和判定定理的互逆 关系作为重点和切入点 往往都是先复习性质定理 然后考虑其逆定 理