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集合学案 1 1集合 1 一 知识归纳 1 集合 某些 的对象集在一起就形成一个集合 简称集 元素 集合中的每个 叫做这个集合的元素 2 集合的表示方法 3 集合的分类 二 例题选讲 例1 观察下列实例 小于11的全体非负偶数 整数12的正因数 抛物线图象上所有的点 所有的直角三角形 高一 1 班的全体同学 班上的高个子同学 回答下列问题 哪些对象能组成一个集合 用适当的方法表示它 指出以上集合哪些集合是有限集 例2 用适当的方法表示以下集合 平方后与原数相等的数的集合 设为非零实数 可能表示的数的取值集合 不等式的解集 坐标轴上的点组成的集合 第二象限内的点组成的集合 方程组的解集 三 针对训练 1 课本P5第1题 2 课本P6第1 2题 3 已知集合 若中只有一个元素 求及 若求的取值范围 1 1集合 2 一 知识归纳 4 集合的符号表示 集合用 表示 元素用 表示 如果是集合的元素 就说属于集合 记作 如果不是集合的元素 就说不属于集合 记作 常用数集符号 非负整数集 或自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 5 元素的性质 1 2 3 二 例题选讲 例3 用符号填空 0 0 例4 1 已知 判断是否属于 2 已知求 三 针对训练 1 课本P5第2题 2 习题1 1 3 已知 用符号填空 0 10 1 2 0 0 1 1 2 1 1集合练习题 A组 1 用列举法表示下列集合 1 大于10而小于20的合数 2 方程组的解集 2 用描述法表示下列集合 1 直角坐标平面内X轴上的点的集合 2 抛物线的点组成的集合 3 使有意义的实数x的集合 3 含两个元素的数集中 实数满足的条件是 4 若 则3 若 则1 5 5 下列关系中表述正确的是 A B C D 6 对于关系 3 Q 0 N 0 其中正确的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 7 下列表示同一集合的是 A B C D 8 已知集合中的三个元素是的三边长 那么一定不是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 9 设a b c为非0实数 则的所有值组成的集合为 A 4 B 4 C 0 D 0 4 4 10 已知 求 的值 11 已知集合A 试用列举法表示集合A 12 已知集合 1 若中有两个元素 求实数的取值范围 2 若中至多只有一个元素 求实数的取值范围 B组 1 含有三个实数的集合可表示为 也可表示为 求的值 2 已知集合 其中 若中元素都是中元素 求实数的取值范围 3 已知数集A满足条件 1 若 则 1 已知 求证 在中必定还有两个元素 2 请你自己设计一个数属于 再求出中其他的所有元素 3 从上面两小题的解答过程中 你能否悟出什么 规律 并证明你发现的这个 规律 参考答案 A组 1 1 2 2 1 2 3 3 4 5 9 DCBDD 10 11 12 1 且 2 或 B组 1 2 3 1 2 略 3 A的元素一定有个 1 2子集 全集 补集 1 一 知识归纳 1 子集 对于两个集合与 如果集合的 元素都是集合的元素 我们就说集合 集合 或集合 集合 也说集合是集合的子集 即 若 则 子集性质 1 任何一个集合是 的子集 2 空集是 集合的子集 3 若 则 2 集合相等 对于两个集合与 如果集合的 元素都是集合的元素 同时集合的 元素都是集合的元素 我们就说 即 若 同时 那么 3 真子集 对于两个集合与 如果 并且 我们就说集合是集合的真子集 性质 1 空集是 集合的真子集 2 若 4 易混符号 与 元素与集合之间是属于关系 集合与集合之间是包含关系 0 与 0 是含有一个元素0的集合 是不含任何元素的集合 5 子集的个数 1 空集的所有子集的个数是 个 2 集合 a 的所有子集的个数是 个 3 集合 a b 的所有子集的个数是 个 4 集合 a b c 的所有子集的个数是 个 猜想 1 a b c d 的所有子集的个数是多少 2 的所有子集的个数是多少 结论 含n个元素的集合的所有子集的个数是 所有真子集的个数是 非空子集数为 非空真子集数为 二 例题选讲 例1 1 写出N Z Q R的包含关系 并用文氏图表示 2 判断下列写法是否正确 A A AA 例2 填空 0 0 0 0 1 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 例3 已知 则的子集数为 的真子集数为 的非空子集数为 所有子集中的元素和是 三 针对训练 1 课本9页练习 2 已知 则有 个 则有 个 则有 个 3 已知 求的值 1 2子集 全集 补集 2 一 知识归纳 1 全集 如果集合含有我们所要研究的各个集合的 这个集合就可以看作一个全集 全集通常用表示 2 补集 设是一个集合 是的子集 由中所有 元素组成的集合 叫做中子集的补集 即 性质 二 例题选讲 例1 若S 1 2 3 4 5 6 A 1 3 5 求CSA 例2 已知全集U R 集合 求CA 例3 已知 讨论A与CB的关系 三 针对训练 1 课本P10练习 1 2题 2 已知全集U A是U的子集 是空集 B CUA 则CUB CU CUU 3 设全集 已知集合满足M CUN N CUP 则与的关系是 A M CUP B M P C MP D MP 4 已知全集 若 则的取值范围是 5 已知 如果CUA 1 那么的值为 6 集合 x y x 1 2 y 1 2 x y x N y N x y 3 求CUA 1 2子集 全集 补集练习题 A组 1 已知集合P 1 2 那么满足QP的集合Q的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 2 满足 1 2 条件的集合A的个数为 A 4 B C D 3 集合的所有子集的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 4 在下列各式中错误的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 下列六个关系式中正确的有 A 个 B 个 C 个 D 个及 个以下 6 全集 A B C D 7 知全集和集合 则 A B C D 8 已知全集的值为 A 2或12 B 2或12 C 12 D 2 9 已知U是全集 集合M N满足关系 则 A B C D 10 若 则 11 设全集 则 12 设数集 13 集合 14 求满足的个数 15 已知集合 求实数的取值集合 16 若集合A x 2 x 5 B x m 1 x 2m 1 且BA 求由m的可取值组成的集合 17 设全集 求实数a的值 18 已知全集 是否存在实数a b 使得 19 设求 20 设全集若 求 B组 1 知 A 1组 B 2组 C 3组 D 4组 2 设 为非空集合 且 求满足条件 若 则 的集合 3 集合 是的一个子集 当时 若 且 则称为的一个 孤立元素 那么中无 孤立元素 的4元子集的个数是 A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 参考答案 1 9 ACAA BCBA A 10 11 12 13 14 3 15 16 17 18 19 20 B组 1 D 2 3 C 1 3 交集 并集 1 一 知识归纳 1 交集定义 由所有属于集合 属于集合的元素所组成的集合 叫做与的交集 即 2 并集定义 由所有属于集合 属于集合的元素所组成的集合 叫做与的并集 即 性质 二 例题选讲 例1 设 求AB 例2 设 x x是等腰三角形 x x是直角三角形 求AB 例3 设 求AB AB 例4 设 x x是锐角三角形 x x是钝角三角形 求AB 三 针对训练 1 课本P12练习 1 5题 2 设 求A B AB 3 设 求AB 4 已知是奇数集 是偶数集 为整数集 则AB AZ BZ AB AZ BZ 5 设集合 又AB 9 求实数的值 四 本课小结 1 A B 2 A B 1 3 交集 交集 2 一 知识归纳 1 交集性质 2 并集性质 3 德摩根律 课本P13练习4题 二 例题选讲 例1 设 则CuA CuB CuA CuB CuA CuB Cu AB Cu AB 例2 已知集合 求A B A B 例3已知 1 当时 求实数的取值范围 2 当时 求实数的取值范围 三 针对训练 1 课本P13练习 1 3题 2 已知 若 求 3 若集合M N P是全集S的子集 则图中阴影部分表示的集合是 A B C D 4 设是两个非空集合 规定 则等于 5 已知全集 是的两个子集 且满足 则 四 本课小结 1 交集的性质 2 并集的性质 3 德摩根律 1 3 交集 并集练习题 1 A组 1 设全集 集合 集合 则等于 A B C D 2 设A B I均为非空集合 且满足则下列各式中错误的是 A B C D 3 已知 则M N的关系是 A D 不确定 4 已知集合 则集合中元素的个数是 A 0 B 1 C 2 D 多个 5 已知集合 则集合中元素的个数是 A 0 B 1 C 2 D 多个 6 P Q为两个非空实数集合 定义 则P Q中元素的个数是 A 9 B 8 C 7 D 6 7 全集U 1 2 3 4 5 集合A BU 若 则集合B等于 8 满足的集合A B的组数为 A 5 B C 9 D 9 已知则 10 已知全集 若 0 1或 3 则 11 设集合 若求 12 设集合 若求实数a的集合 13 集合且 求实数a的取值范围 14 某班50个同学中有32人报名参加数学竞赛 有25人报名参加化学竞赛 有3人两样竞赛都不参加 求 1 数学竞赛和化学竞赛都参加的有多少人 2 只参加一种竞赛的共有多少人 B组 1 设集合 则 2 若集合满足 则称为集合A的一种分拆 并规定 当且仅当时 与为集合A的同一种分拆 则集合的不同分拆种数是 A 8 B 9 C 26 D 27 3 已知全集集合 求 参考答案 A组 1 8 ABCA CBAC 9 10 11 12 13 14 1 10人 2 37人 B组 1 2 BD 3 1 3 交集 并集练习题 2 A组 1 已知 那么 A B C D 2 已知集合M 1 1 2 N y y x xM 则 MN是 A 1 B 1 4 C 1 2 4 D 3 全集 则 A B C D 4 集合 若 则实数应该满足的条件是 A B C D 5 已知A x y x y 3 B x y x y 1 则A B A 2 1 B x 2 y 1 C 2 1 D 2 1 6 设I为全集 S1 S2 S3是I的三个非空子集且S1 S2 S3 I 则下面论断正确的 A C ISI S2 S3 B S1 C I S2 C IS3 C C ISI C IS2 C IS3 D S1 C I S2 C IS3 7 已知集合 则中的元素个数为 A 0 B 0 1 2其中之一 C 无穷 D 无法确定 8 全集 则 9 某班参加数学课外活动小组有22人 参加物理课外活动小组有18人 参加化学课外活动小组有16人 至少参加一科的课外活动小组的有36人 则三科课外活动小组都参加的同学至多有 人 10 设 若 求 11 集合P 1 3 m 且 求实数m的值 12 已知 求 13 若 且 求由实数a组成的集合 B组 1 设全集 则方程的解集为 A B C D 2 设是两个集合 定义集合 若 则集合中元素个数为 A B C 20 D 9 参考答案 A 组 1 7 CADC CCA 8 9 10 10 11 或 12 13 B组 CC 函数的概念学案 学习目标 1 通过丰富实例 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数 体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2 了解构成函数的要素 进一步巩固初中常见函数 一次函数 二次函数 反比例函数 的图像 定义域 值域 3 理解区间的概念 能准确地利用区间表示数集 4 通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动 培养抽象概括能力 教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 正确理解函数的概念 教学难点 函数的概念 符号y f x 的理解 教学流程 一 问题1 在初中 甚至在小学我们就接触过函数 在实际生产生活中 函数也发挥着重要的作用 那么 请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题2 请大家用自己的语言来描述一下函数 二 结合刚才的问题 阅读课本实例 1 2 3 进一步体会函数的概念 问题3 在实例 1 2 中是怎样描述变量之间的关系的 你能仿照描述一下实例 3 中恩格尔系数和时间 年 之间的关系吗 问题4 分析 归纳上述三个实例 对变量之间的关系的描述有什么共同点呢 函数的概念 一般地 设 是 如果按照某种确定的对应关系 使对于集合中的一个数 在集合中都有和它对应 那么就称为从集合到集合的一个函数 记作 其中叫做自变量 的取值范围叫做函数的 与的值相对应的值叫做函数值 函数值的集合叫做函数的 问题5 在实例 2 中 按照图中的曲线 从集合B到集合A能不能构成一个函数呢 请说明理由 练习1 1 在下列从集合到集合的对应关系中 不可以确定是的函数的是 1 对应关系 2 对应关系 3 对应关系 4 对应关系 2 下图中 可表示函数的图像只能是 O y x O y x O y x O y x D C B A 三 区间的概念 阅读课本 明确区间的概念 练习2 把下列数集转化为区间 1 2 3 4 5 6 四 填写下表 映射学案 本课重点 映射概念的理解 映射与函数的区别 联系 映射中两集合元素之间的对应关系 预习导引 1 关于映射 下列说法错误的是 A A集合中的每个元素在B集合中都存在元素与之对应 B 在B集合中存在唯一元素和A集合中元素对应 即A中的元素不 能对应B集合中一个以上的元素 C A集合中可以有两个或两个以上的元素对应B集合中的一个元素 D B集合中不可以有元素不被A集合中的元素所对应 2 判断下列对应是否为A集合到B集合的映射和一一映射 1 2 3 4 教学过程 引入 初中所学的对应 1 对于任何一个实数a 数轴上都有唯一的一点P和它对应 2 对于坐标平面内的任何一个点A 都有唯一的一个有序实数对 x y 和它对应 这节课就是在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应 映射 新课 1 观察讨论中接近概念 1 引例 观察以下几个集合间的对应 讨论特征 A B 1 2 3 4 1 A B A B 取倒数 9 4 1 3 3 2 2 1 1 开平方 一对一 一对多 B B A A 取绝对值 乘以2 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 1 2 2 0 1 2 0 多对一 一对一 A B A B 3 3 2 2 1 1 9 4 1 每人领自己 高 一 9 班 同 学 高 一 9 班 学生证 的学生证 平方 多对一 一对一 讲解 以上对应的特征 对于集合A中的任何一个元素 按照某种对应法则f 在集合B中都有确定的一个或几个元素和它对应 具体为 一对多 一对一 多对一 在这些对应中有那些是让 中元素就对应 中唯一的一个元素 让学生仔细观察 回答 的共性 中的每个元素在 中都有唯一的元素与之对应 直观语言表述 A中的每个元素在B中的结果均唯一 由学生总结 教师补充整理引出映射定义 定义1 一般地 设 是两个集合 若按照某种对应法则f 对于集合 中的任何一个元素 在集合 中都有唯一的元素和它对应 则这样的对应叫做集合 到集合 的映射 记作f A B 这种具有对应关系的元素也有自己的名称 引出象与原象的概念 定义2 给定一个映射f A B 且aA bB 若元素a与元素b对应 则b叫做a的象 而a叫做b的原象 以 具体说明谁是谁的象 谁是谁的原象 2 映射定义剖析 1 映射是由三部分构成的一个整体 集合A 集合B 对应法则f 这一点从映射的符号表示f A B可看出 其中集合A B可以是数集 点集或其他集合 可以是有限集也可以是无限集 但不能是空集 用引例说明 2 映射f A B是一种特殊的对应 它要求A中的任何一个元素在B中都有象 并且象唯一 即元素与元素之间的对应必须是 任一对唯一 不能是 一对多 如 引例中 不是映射 又如 设A 0 1 2 B 0 1 对应法则f 取倒数 可记为f x 因A中0无象 所以不是映射 3 映射f A B中 A中不同的元素允许有相同的象 即可以 多对一 如 4 映射f A B中 不要求B中每一个元素都有原象 如 即若映射f A B的象集为C 则CB 5 映射是有顺序的 即映射f A B与f B A的含义不同 3 概念的初步应用 1 例1 设集合A a b c B x y z 从集合A到集合B的对应方式如下图所示 其中 哪几个对应关系是从集合A到集合B的映射 A B A B A B a b c x y z a b c x y z a b c x y z A B A B a b c x y z a b c x y z 分析 判断两个集合之间的对应关系是否为映射的方法 根据映射的定义 对于集合A中的任意一个元素a 在对应法则f的作用下 在集合B中有且只有一个元素b与之对应 符合这个条件的就是从集合A到集合B的映射 否则就不是 解 所示的对应关系中 对于集合A中的任意一个元素 在对应法则f的作用下 在集合B中都有唯一确定的元素与之对应 因此 它们都是从集合A到集合B的映射 在 所示的对应关系中 对于集合A中的元素b 没有指定集合B中的对应元素 因此 它不是映射 在 所示的对应关系中 对于集合A中的元素a 在集合B中有两个元素x y与之对应 因此 它也不是因映射 注 判断两个集合的对应关系是否为映射 关键在于抓住 任意 唯一 这两个关键词 一般性结论是 一对一 多对一是映射 例2 判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射 A R B x x 0 且x R f x y x 解 0 A 在法则f下0 0 0B 不是从集合A到集合B的映射 A N B N f x y x 1 解 1 A 在法则f下 1 1 1 0B 不是从集合A到集合B的映射 A x x 0 且x R B R f x y x2 解 对于任意x A 依法则f x x2 R 该对应是从集合A到集合B的映射 注 映射是两个集合之间的一种特殊的对应关系 它要求集合A中任意一个元素x 都可以运用对应法则f实施运算 运算产生的结果y一定在集合B中 且唯一确定 2 由学生自己举几个映射的例子 学生先评判 教师再点评 备用例子 A 1 2 B 3 2 1 0 f x y 1 x A y B A R B R f x y 2x 1 x A y B A N B 0 1 f 除以2的余数 A 某商场的所有商品 B 商品的价格 f 每种商品对自己的价格 1 小结 映射是特殊的对应 是 一对一 或 多对一 的对应 对 应 映 射 映射与对应的关系如图所示 5 作业 习题2 1 1 2 7 8 研究课题 1 对应与映射的区别是什么 2 设映射f A B中象集为C 若集合A中有m个元素 象集C中有n个元素 则m与n的关系是什么 3 设A a b B c d 用图示法表示集合A到集合B的所有不同映射 若B c d e 则A到B可建立多少个不同映射 随堂反馈 1 下列从集合A到集合B的对应中为映射的是 A B C D 2 已知集合不表示P到Q的映射 的是 A B C D 课后检测 1 在给定的映射的条件下 点 的原象是 A B 或 C D 2 映射定义域A到值域B上的函数 下列结论正确的是 A A中每个元素必有象 但B中元素不一定由原象 B B中元素必有原象 C B中元素只有一个原象 D A或B可以空集或不是数集 3 给定映射 4 已知从A到B的映射是从到的映射 选做 已知到自身的映射 则这样的映射有多少个 若是一一映射 即这样的一一映射有多少个 函数的表示法学案 预习 学习目标 1 掌握函数的表示方法 2 通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理解 同时为今后学习数形结合打好基础 自主学习 1 列表法 通过列出 与对应 的表来表示 的方法叫做列表法 跟踪练1 某种笔记本的单价是5元 个 买x x 1 2 3 4 个笔记本需要y元 试表示函数y f x 2 图像法 以 为横坐标 对应的 为纵坐标的点 的集合 叫做函数y f x 的图像 这种用 图形 表示函数的方法叫做图像法 跟踪练2 用图像法做跟踪练1 跟踪练3 作出函数 1 y 2 y 2x 1 x Z且的图象 3 解析法 公式法 用 来表达函数y f x xA 中的f x 这种表达函数的方法叫解析法 也称公式法 跟踪练4 用解析法做跟踪练1 4 分段函数 在函数的定义域内 对于自变量x的不同取值区间 有着 这样的函数通常叫做 跟踪练5 课本例4 跟踪练6 国内投寄信函 外埠 邮资按下列规则计算 1 信函质量不超过100g时 每20g付邮资80分 即信函质量不超过20g付邮资80分 信函质量超过20g 但不超过40g付邮资160分 依此类推 2 信函质量大于100g且不超过200g时 每100g付邮资200分 即信函质量超过100g 但不超过200g付邮资 A 200 分 A为质量等于100g的信函的邮资 信函质量超过200g 但不超过300g付邮资 A 400 分 依此类推 设一封x g 0 x 200 的信函应付的邮资为y 单位 分 试写出以x为自变量的函数y的解析式 并画出这个函数的图象 新课 函数的三种表示方法 1 解析法 把两个变量的函数关系 用一个等式来表示 这个等式叫做函数的解析表达式 简称解析式 例如 说明 解析式法的优点是 函数关系清楚 容易从自变量的值求出其对应的函数值 便于用解析式来研究函数的性质 中学里研究的主要是用解析式表示的函数 2 列表法 列出表格来表示两个变量的函数关系式 例如 数学用表中的平方表 平方根表 三角函数表 以及银行里常用的 利息表 见课本P53页表1 国民生产总值表 说明 列表法的优点是 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值 3 图象法 用函数图象表示两个变量之间的关系 例如 气象台应用自动记录器 描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的 见课本P53页图2 2 我国人口出生变化曲线 说明 图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况 例题讲解 例1 某种笔记本每个5元 买 x 1 2 3 4 个笔记本的钱数记为y 元 试写出以x为自变量的函数y的解析式 并画出这个函数的图像 解 这个函数的定义域集合是 1 2 3 4 函数的解析式为 y 5x x 1 2 3 4 它的图象由4个孤立点A 1 5 B 2 10 C 3 15 D 4 20 组成 如图所示 例2 国内投寄信函 外埠 邮资按下列规则计算 1 信函质量不超过100g时 每20g付邮资80分 即信函质量不超过20g付邮资80分 信函质量超过20g 但不超过40g付邮资160分 依次类推 2 信函质量大于100g且不超过200g时 付邮资 A 200 分 A为质量等于100g的信函的邮资 信函质量超过200g 但不超过300g付邮资 A 400 分 依此类推 设一封x g 0 x200 的信函应付邮资为y 单位 分 试写出以x为自变量的函数y的解析式 并画出这个函数的图像 解 这个函数的定义域集合是 函数的解析式为 它的图象是6条线段 不包括左端点 都平行于x轴 如图所示 x y o 在上例中 函数对于自变量x的不同取值范围 对应法则也不同 这样的函数通常称为分段函数 注意 分段函数是一个函数 而不是几个函数 例3 作出分段函数的图像 解 根据 零点分段法 去掉绝对值符号 即 作出图像如右图 例4 作函数的图象 解 这个函数的图象是抛物线 介于之间的一段弧 如图 四 课堂练习 课本第56页练习1 2 3 补充练习 x y 1 画出函数y x 的图象 解 这个函数的图象是两条射线 分别是第一象限和 第二象限的角平分线 如图所示 五 小结 函数的三种表示方法及图像的作法 六 作业 作出函数的函数图像 解 步骤 1 作出函数y 2x 3的图象 2 将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折 上方部分不变 即得y 2x 3 的图象 函数的单调性学案 一 学习目标 自学引导 这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究 然后会运用函数单调性解决题目 这节课的特点是符号较多 希望同学们课下做好预习 1 理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义 2 掌握判断函数单调性的判断方法 定义法和图象法 3 熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤 课前引导 函数图象上任意点P x y 的坐标有什么意义 二 自学内容和要求及自学过程 观察教材第27页图1 3 2 阅读教材第27 28页 思考 上面的文字 回答下列问题 自学引导 理解 上升 下降 的本质内涵 归纳出增函数的定义 你能描述上面函数的图像特征吗 该怎样理解 上升 下降 的含义 对于二次函数y x2 列出表 1 完成表 1 并体会图象在y轴右侧上升 x 3 2 1 0 1 2 3 4 f x x2 结论 函数y x的图象 从左向右看是 上升 下降 的 函数y x2的图象在y轴左侧是 的 在y轴右侧是 的 函数y x2的图象在y轴左侧是 的 在y轴右侧是 的 按从左向右的方向看函数的图象 意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大 图象是上升的意味着图象上点的 横 纵 坐标逐渐变大 也就是对应的函数值随着逐渐增大 也就是说从左向右看图象上升 反映了函数值随着自变量的增大而 下降 亦然 在区间 0 上 任取x1 x2 且x1 x2 那么就有y1 y2 也就是有f x1 f x2 这样可以体会用数学符号刻画图象上升 阅读教材第28页 思考 下面的内容 然后回答下列问题 自学引导 同学们要理解增函数的定义 符号比较多 要一一的理解 数学上规定 函数y x2在区间 0 上是增函数 请给出增函数定义 增函数的定义中 把 当x1 x2时 都有f x1 x2时 都有f x1 f x2 这样行吗 增函数的定义中 当x1 x2时 都有f x1 f x2 反映了函数值有什么变化趋势 函数图象有何特点 增函数的几何意义是什么 结论 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当 时 都有 那么就说函数f x 在区间D上是增函数 增函数的定义 由于当x1 x2时 都有f x1 f x2 即都是相同的不等号 也就是说前面是 后面也是 x2时 都有f x1 f x2 都是相同的不等号 即前面是 后面也是 步调一致 因此我们可以简称为 步调一致增函数 增函数反映了函数值随自变量的增大而增大 从左向右看 图象是上升的 增函数几何意义是从左向右看 图象是 上升 下降 的 自学引导 类比增函数的定义 切实理解减函数的含义 思考 类比增函数的定义 请你给出减函数的定义 函数y f x 在区间D上具有单调性 说明了函数 y f x 在区间D上的图象有什么变化趋势 结论 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当 时 都有 那么就说函数f x 在区间D上是减函数 简称为 步调不一致减函数 减函数的几何意义 从左向右看 图象是 的 函数值变化趋势 函数值随着自变量的增大而减小 函数y f x 在区间D上 函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大 减小 几何意义 从左向右看 图象是 上升 下降 的 阅读教材第29页第一段 然后回答下列问题 你能理解 严格的单调性 所包含的含义吗 试述之 三 讲授新课 1 引例 观察y x2的图象 回答下列问题 投影1 问题1 函数y x2的图象在y轴右侧的部分是上升的 说明什么 随着x的增加 y值在增加 问题2 怎样用数学语言表示呢 设x1 x2 0 得y1 f x1 y2 f x2 当x1 x2时 f x1 f x2 学生不一定一下子答得比较完整 教师应抓住时机予以启发 结论 这时 说y1 x2在 0 上是增函数 同理分析y轴左侧部分 由此可有 2 定义 投影2 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1x2时都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 increasing function 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就是f x 在这个区间上是减函数 decreasing function 如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么就说函说y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 注意 1 函数的单调性也叫函数的增减性 2 注意区间上所取两点x1 x2的任意性 3 函数的单调性是对某个区间而言的 它是一个局部概念 1 说明 1 单调区间是定义域的子集 2 若函数f x 在区间D上是增函数 则图象在D上的部分从左到右呈 趋势 若函数f x 在区间D上是减函数 则图象在D上的部分从左到右呈 趋势 3 单调区间一般不能并 2 判断单调性的方法 定义 导数 复合函数单调性 同增则增 异增则减 图象 3 常用结论 两个增 减 函数的和为 一个增 减 函数与一个减 增 函数的差是 奇函数在对称的两个区间上有 的单调性 偶函数在对称的两个区间上有 的单调性 互为反函数的两个函数在各自定义域上有 的单调性 III 例题分析 例1 下图是定义在闭区间上的函数y f x 的图象 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一个区间上的单调性 课本P34例1 问题3 y f x 在区间 上是减函数 在区间 上是增函数 那么在两个区间的公共端点处 如 x 2 x 1 x 3处是增函数还是减函数 分析 函数的单调性是对某个区间而言的 对于单独的一点 由于它的函数值是唯一确定的常数 因此没有增减变化 所以不存在单调性问题 另一方面 中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数 对于闭区间的连续函数而言 只要在开区间单调 则它在闭区间也单调 因此在考虑它的单调区间时 包括不包括端点都可以 要注意端点是否在定义域范围内 说明 要了解函数在某一区间上是否具有单调性 从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法 严格地说 它需要根据单调函数的定义进行证明 例2 证明函数f x 3x 2在R上是增函数 证明 设任意x1 x2 R 且x1 x2 则f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 由x1 x2得x1 x2 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 3x 2 在R上是增函数 分析 判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤 a 设x1 x2 给定区间 且x1 x2 b 计算f x1 f x2 至最简 c 判断上述差的符号 函数的奇偶性学案 知识梳理 1 奇函数 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 或f x f x 0 则称f x 为奇函数 2 偶函数 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 或f x f x 0 则称f x 为偶函数 3 奇 偶函数的性质 1 具有奇偶性的函数 其定义域关于原点对称 也就是说 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称 2 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 3 若奇函数的定义域包含数0 则f 0 0 4 奇函数的反函数也为奇函数 5 定义在 上的任意函数f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 点击双基 1 下面四个结论中 正确命题的个数是 偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数 又是偶函数的函数一定是f x 0 x R A 1 B 2 C 3 D 4 解析 不对 不对 因为奇函数的定义域可能不包含原点 正确 不对 既是奇函数又是偶函数的函数可以为f x 0 x a a 答案 A 2 已知函数f x ax2 bx c a 0 是偶函数 那么g x ax3 bx2 cx是 A 奇函数 B 偶函数 C 既奇且偶函数 D 非奇非偶函数 解析 由f x 为偶函数 知b 0 有g x ax3 cx a 0 为奇函数 答案 A 3 若偶函数f x 在区间 1 0 上是减函数 是锐角三角形的两个内角 且 则下列不等式中正确的是 A f cos f cos B f sin f cos C f sin f sin D f cos f sin 解析 偶函数f x 在区间 1 0 上是减函数 f x 在区间 0 1 上为增函数 由 是锐角三角形的两个内角 90 90 1 sin cos 0 f sin f cos 答案 B 4 已知f x ax2 bx 3a b是偶函数 且其定义域为 a 1 2a 则a b 解析 定义域应关于原点对称 故有a 1 2a 得a 又对于所给解析式 要使f x f x 恒成立 应b 0 答案 0 5 给定函数 y x 0 y x2 1 y 2x y log2x y log2 x 在这五个函数中 奇函数是 偶函数是 非奇非偶函数是 答案 典例剖析 例1 已知函数y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上是单调减函数 则 A f 0 f 1 f 2 B f 1 f 0 f 2 C f 1 f 2 f 0 D f 2 f 1 f 0 剖析 由f x 2 在 0 2 上单调递减 f x 在 2 0 上单调递减 y f x 是偶函数 f x 在 0 2 上单调递增 又f 1 f 1 故应选A 答案 A 例2 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 1 x 1 2 f x x 1 3 f x 4 f x 剖析 根据函数奇偶性的定义进行判断 解 1 函数的定义域x 对称于原点 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 2 先确定函数的定义域 由 0 得 1 x 1 其定义域不对称于原点 所以f x 既不是奇函数也不是偶函数 3 去掉绝对值符号 根据定义判断 由得 故f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有x 2 0 从而有f x 这时有f x f x 故f x 为奇函数 4 函数f x 的定义域是 0 0 并且当x 0时 x 0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x f x x 0 故函数f x 为奇函数 评述 1 分段函数的奇偶性应分段证明 2 判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式 例3 2005年北京东城区模拟题 函数f x 的定义域为D x x 0 且满足对于任意x1 x2 D 有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性并证明 3 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 1 解 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 2 证明 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 令x1 1 x2 x 有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 3 解 f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 f 3x 1 f 2x 6 3即f 3x 1 2x 6 f 64 f x 在 0 上是增函数 等价于不等式组 或 或或 3 x 5或 x 或 x 3 x的取值范围为 x x 或 x 3或3 x 5 评述 解答本题易出现如下思维障碍 1 无从下手 不知如何脱掉 f 解决办法 利用函数的单调性 2 无法得到另一个不等式 解决办法 关于原点对称的两个区间上 奇函数的单调性相同 偶函数的单调性相反 深化拓展 已知f x g x 都是奇函数 f x 0的解集是 a2 b g x 0的解集是 a2 那么f x g x 0的解集是 A B b a2 C a2 a2 D b b2 a2 提示 f x g x 0或 x a2 a2 答案 C 例4 2004年天津模拟题 已知函数f x x m p 0 是奇函数 1 求m的值 2 理 当x 1 2 时 求f x 的最大值和最小值 文 若p 1 当x 1 2 时 求f x 的最大值和最小值 解 1 f x 是奇函数 f x f x x m x m 2m 0 m 0 2 理 当p 0时 据定义可证明f x 在 1 2 上为增函数 f x max f 2 2 f x min f 1 1 p 当p 0时 据定义可证明f x 在 0 上是减函数 在 上是增函数 当 1 即0 p 1时 f x 在 1 2 上为增函数 f x max f 2 2 f x min f 1 1 p 当 1 2 时 f x 在 1 p 上是减函数 在 p 2 上是增函数 f x min f 2 f x max max f 1 f 2 max 1 p 2 当1 p 2时 1 p 2 f x max f 2 当2 p 4时 1 p 2 f x max f 1 当 2 即p 4时 f x 在 1 2 上为减函数 f x max f 1 1 p f x min f 2 2 文 解答略 评述 f x x p 0 的单调性是一重要问题 利用单调性求最值是重要方法 函数的基本性质要点精讲 1 奇偶性 1 定义 如果对于函数f x 定义域内的任意x都有f x f x 则称f x 为奇函数 如果对于函数f x 定义域内的任意x都有f x f x 则称f x 为偶函数 如果函数f x 不具有上述性质 则f x 不具有奇偶性 如果函数同时具有上述两条性质 则f x 既是奇函数 又是偶函数 注意 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任意一个x 则 x也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 2 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 确定f x 与f x 的关系 作出相应结论 若f x f x 或 f x f x 0 则f x 是偶函数 若f x f x 或 f x f x 0 则f x 是奇函数 3 简单性质 图象的对称性质 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称 设 的定义域分别是 那么在它们的公共定义域上 奇 奇 奇 奇奇 偶 偶 偶 偶 偶偶 偶 奇偶 奇 2 单调性 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 减函数 注意 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 总有f x1 f x2 2 如果函数y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做y f x 的单调区间 3 设复合函数y f g x 其中u g x A是y f g x 定义域的某个区间 B是映射g x u g x 的象集 若u g x 在 A上是增 或减 函数 y f u 在B上也是增 或减 函数 则函数y f g x 在A上是增函数 若u g x 在A上是增 或减 函数 而y f u 在B上是减 或增 函数 则函数y f g x 在A上是减函数 4 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f x 在给定的区间D上的单调性的一般步骤 任取x1 x2 D 且x10与a 0时 当a 0时 f x 为奇函数 既不是奇函数 也不是偶函数 点评 判断函数的奇偶性是比较基本的问题 难度不大 解决问题时应先考察函数的定义域 若函数的解析式能化简 一般应考虑先化简 但化简必须是等价变换过程 要保证定义域不变 例2 2002天津文 16 设函数f x 在 内有定义 下列函数 y f x y xf x2 y f x y f x f x 必为奇函数的有 要求填写正确答案的序号 答案 解析 y x f x 2 xf x2 y y f x f x y 点评 该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题 对学生逻辑思维能力有较高的要求 题型二 奇偶性的应用 例3 2002上海春 4 设f x 是定义在R上的奇函数 若当x 0时 f x log3 1 x 则f 2 答案 1 解 因为x 0时 f x log3 1 x 又f x 为奇函数 所以f x f x 设x 0 所以f x f x f 1 x 所以f 2 log33 1 点评 该题考察函数奇偶性的应用 解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值 例4 已知定义在R上的函数y f x 满足f 2 x f 2 x 且f x 是偶函数 当x 0 2 时 f x 2x 1 求x 4 0 时f x 的表达式 解 由条件可以看出 应将区间 4 0 分成两段考虑 若x 2 0 x 0 2 f x 为偶函数 当x 2 0 时 f x f x 2x 1 若x 4 2 4 x 0 2 f 2 x f 2 x f x f 4 x f x f x f 4 x f 4 x 2 x 4 1 2x 7 综上 点评 结合函数的数字特征 借助函数的奇偶性 处理函数的解析式 题型三 判断证明函数的单调性 例5 2001天津 19 设 是上的偶函数 1 求的值 2 证明在上为增函数 解 1 依题意 对一切 有 即 对一切成立 则 2 定义法 设 则 由 得 即 在上为增函数 导数法 在上为增函数 点评 本题用了两种方法 定义法和导数法 相比之下导数法比定义法更为简洁 例6 已知f x 是定义在R上的增函数 对x R有f x 0 且f 5 1 设F x f x 讨论F x 的单调性 并证明你的结论 解 这是抽角函数的单调性问题 应该用单调性定义解决 在R上任取x1 x2 设x1 x2 f x2 f x1 f x 是R上的增函数 且f 10 1 当x 10时0 f x 10时f x 1 若x1 x2 5 则0 f x1 f x2 1 0 f x1 f x2 1 0 F x2 x1 5 则f x2 f x1 1 f x1 f x2 1 0 F x2 F x1 综上 F x 在 5 为减函数 在 5 为增函数 点评 该题属于判断抽象函数的单调性 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题 其基本能力是变量代换 换元等 应熟练掌握它们的这些特点 题型四 函数的单调区间 例7 2001春季北京 安徽 12 设函数f x a b 0 求f x 的单调区间 并证明f x 在其单调区间上的单调性 解 在定义域内任取x1 x2 f x1 f x2 a b 0 b a 0 x1 x2 0 只有当x1 x2 b或 b x1 x2时函数才单调 当x1 x2 b或 b x1 x2时f x1 f x2 0 f x 在 b 上是单调减函数 在 b 上是单调减函数 点评 本小题主要考查了函数单调性的基本知识 对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间 例8 1 求函数的单调区间 2 已知若试确定的单调区间和单调性 解 1 函数的定义域为 分解基本函数为 显然在上是单调递减的 而在上分别是单调递减和单调递增的 根据复合函数的单调性的规则 所以函数在上分别单调递增 单调递减 2 解法一 函数的定义域为R 分