高中数学双曲线经典例题

第 1 页 共 10 页 高中数学双曲线经典例题高中数学双曲线经典例题 一 双曲线定义及标准方程一 双曲线定义及标准方程 1 已知两圆 C1 x 4 2 y2 2 C2 x 4 2 y2 2 动圆 M 与两圆 C1 C2都相切 则动圆圆心 M 的轨迹方程是 A x 0B C D 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 焦点在 x 轴上 虚轴长为 12 离心率为 2 顶点间的距离为 6 渐近线方程为 3 与双曲线有相同的焦点 且过点的双曲线的标 准方程是 4 求焦点在坐标轴上 且经过点 A 2 和 B 2 两 点的双曲线的标准方程 5 已知 P 是双曲线 1 上一点 F1 F2是双曲线的两个焦点 若 PF1 17 则 PF2 的值为 第 2 页 共 10 页 二 离心率二 离心率 1 已知点 F1 F2分别是双曲线的两个焦点 P 为该双曲线上一点 若 PF1F2为等腰直角三角形 则该双曲线的离心率为 2 设 F1 F2是双曲线 C a 0 b 0 的两个焦点 若 在 C 上存在一点 P 使 PF1 PF2 且 PF1F2 30 则 C 的离心率为 3 双曲线的焦距为 2c 直线 l 过点 a 0 和 0 b 且点 1 0 到直线 l 的距离与点 1 0 到直线 l 的 距离之和 则双曲线的离心率 e 的取值范围是 A B C D 3 焦点三角形 焦点三角形 1 设 P 是双曲线 x2 1 的右支上的动点 F 为双曲线的右焦点 已知 A 3 1 则 PA PF 的最小值为 2 已知 F1 F2分别是双曲线 3x2 5y2 75 的左右焦点 P 是双曲线 上的一点 且 F1PF2 120 求 F1PF2的面积 3 已知双曲线焦点在 y 轴上 F1 F2为其焦点 焦距为 10 焦距是 实轴长的 2 倍 求 1 双曲线的渐近线方程 2 若 P 为双曲线上一点 且满足 F1PF2 60 求 PF1F2的面 第 3 页 共 10 页 积 4 4 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 已知过点 P 1 1 的直线 L 与双曲线只有一个公共点 则直线 L 的斜率 k 5 5 综合题型 综合题型 如图 已知椭圆 a b 0 的离心率为 以该椭圆上的点和1 2 2 2 2 b y a x 2 2 椭圆的左 右焦点 F1 F2 为顶点的三角形的周长为 4 1 一 2 等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设 P 为该双曲线上异于顶点的 任一点 直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A B 和 C D 1 求椭圆和双曲线的标准方程 2 设直线 PF1 PF2 的斜率分别为 k1 k2 证明 k1 k2 1 3 是否存在常数 使得 AB CD AB CD 恒成立 若 存在 求 的值 若不存在 请说明理由 第 4 页 共 10 页 高中数学双曲线经典例题高中数学双曲线经典例题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 2 小题 小题 1 2015 秋 洛阳校级期末 已知两圆 C1 x 4 2 y2 2 C2 x 4 2 y2 2 动圆 M 与两圆 C1 C2都相切 则动圆圆心 M 的轨迹方程是 A x 0 B C D 解答 解 由题意 若两定圆与动圆相外切或都内切 即两圆 C1 x 4 2 y2 2 C2 x 4 2 y2 2 动圆 M 与两圆 C1 C2都相切 MC1 MC2 即 M 点在线段 C1 C2的垂直平分线上 又 C1 C2的坐标分别为 4 0 与 4 0 其垂直平分线为 y 轴 动圆圆心 M 的轨迹方程是 x 0 若一内切一外切 不妨令与圆 C1 x 4 2 y2 2 内切 与圆 C2 x 4 2 y2 2 外切 则有 M 到 4 0 的距离减到 4 0 的距离的差是 2 由双 曲线的定义知 点 M 的轨迹是以 4 0 与 4 0 为焦点 以为实半轴 长的双曲线 故可得 b2 c2 a2 14 故此双曲线的方程为 综 知 动圆 M 的轨迹方程为 应选 D 第 5 页 共 10 页 2 2014 齐齐哈尔三模 双曲线的焦距为 2c 直线 l 过点 a 0 和 0 b 且点 1 0 到直线 l 的距离与点 1 0 到直线 l 的距离之和 则双曲线的离心率 e 的取值范围是 A B C D 解答 解 直线 l 的方程为 1 即 bx ay ab 0 由点到直线的距离公式 且 a 1 得到点 1 0 到直线 l 的距离 同理得到点 1 0 到直线 l 的距离 由 得 于是得 5 2e2 即 4e4 25e2 25 0 解不等式 得 e2 5 由于 e 1 0 所以 e 的取值范围是 故选 D 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 3 2013 秋 城区校级期末 已知 P 是双曲线 1 上一点 F1 F2是双 曲线的两个焦点 若 PF1 17 则 PF2 的值为 33 解答 解 由双曲线方程知 a 8 b 6 则 c 10 P 是双曲线上一点 第 6 页 共 10 页 PF1 PF2 2a 16 又 PF1 17 PF2 1 或 PF2 33 又 PF2 c a 2 PF2 33 故答案为 33 4 2008 秋 海淀区期末 已知点 F1 F2分别是双曲线的两个焦点 P 为该双曲 线上一点 若 PF1F2为等腰直角三角形 则该双曲线的离心率为 解答 解 由题意 角 F1或角 F2为直角 不妨令角 F2为直角 双曲线方程 1 此时 P c y 代入双曲线方程 1 解得 y 又三角形 PF1F2为等腰三角形得 PF2 F1F2 故得 2c 即 2ac c2 a2 即 e2 2e 1 0 解得 e 1 故双曲线的离心率是 故答案为 5 2014 秋 象山县校级月考 设 P 是双曲线 x2 1 的右支上的动点 F 为双 曲线的右焦点 已知 A 3 1 则 PA PF 的最小值为 2 解答 解 设双曲线左焦点为 F2 由双曲线的定义可得 PF2 PF 2a 即 PF PF2 2a 第 7 页 共 10 页 则 PA PF PF2 PA 2a F2A 2a 当 P F2 A 三点共线时 PF2 PA 有最小值 此时 F2 2 0 A 3 1 则 PF2 PA AF2 而对于这个双曲线 2a 2 所以最小值为 2 故答案为 2 6 2011 秋 张家港市校级期末 与双曲线有相同的焦点 且过点 的双曲线的标准方程是 解答 解 设所求双曲线的方程为 已知双曲线的焦点为 0 所求双曲线中的 c2 5 双曲线过点 且 c2 a2 b2 联立 解得 a2 4 b2 1 双曲线的方程为 故答案为 7 2013 湖南 设 F1 F2是双曲线 C a 0 b 0 的两个焦 点 若在 C 上存在一点 P 使 PF1 PF2 且 PF1F2 30 则 C 的离心率为 第 8 页 共 10 页 解答 解 依题意可知 F1PF2 90 F1F2 2c PF1 F1F2 c PF2 F1F2 c 由双曲线定义可知 PF1 PF2 2a 1 c e 故答案为 三 解答题 共三 解答题 共 4 小题 小题 8 已知 F1 F2分别是双曲线 3x2 5y2 75 的左右焦点 P 是双曲线上的一点 且 F1PF2 120 求 F1PF2的面积 解答 解 由题意 双曲线 3x2 5y2 75 可化为 1 由余弦定理可得 160 PF12 PF22 2PF1 PF2cos120 PF1 PF2 2 3PF1 PF2 100 3PF1 PF2 PF1 PF2 20 S F1PF2 PF1 PF2sin120 20 5 故答案为 A 9 2014 春 湄潭县校级期中 已知双曲线焦点在 y 轴上 F1 F2为其焦点 焦 距为 10 焦距是实轴长的 2 倍 求 1 双曲线的渐近线方程 2 若 P 为双曲线上一点 且满足 F1PF2 60 求 PF1F2的面积 解答 解 1 设双曲线方程为 a 0 b 0 则 焦距是实轴长的 2 倍 c 2a 第 9 页 共 10 页 b a 双曲线的渐近线方程为 y x 2 由余弦定理可得 4c2 PF12 PF22 2PF1 PF2cos60 PF1 PF2 2 PF1 PF2 4a2 PF1 PF2 焦距为 10 2c 10 2a 5 PF1 PF2 75 S F1PF2 PF1 PF2sin60 75 10 2008 秋 岳阳校级期末 求焦点在坐标轴上 且经过点 A 2 和 B 2 两点的双曲线的标准方程 解答 解 设所求双曲线方程为 mx2 ny2 1 mn 0 因为点 A 2 和 B 2 在双曲线上 所以可得 解得 故所求双曲线方程为 11 2009 秋 天心区校级期末 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 焦点在 x 轴上 虚轴长为 12 离心率为 2 顶点