第十一章复习 一次函数

西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 1 页 共 15 页 学科 数学学科 数学 教学内容 第十一章复习教学内容 第十一章复习 一次函数一次函数 一 课标要求与内容分析一 课标要求与内容分析 1 本章的课标要求是 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律 2 通过简单实例 了解常量 变量的意义 能结合实例 了解函数的概念和 三种表示方法 能举出函数的实例 能结合图象对简单实际问题中的函数关系 进行分析 能确定简单的整式 分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范 围 并会求函数值 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关 系 结合对函数关系的分析 尝试对变量的变化规律进行初步预测 3 结合 具体情境体会一次函数的意义 根据已知条件确定一次函数表达式 会画一次 函数图象 根据一次函数的图象和解析表达式 y kx b k 0 探索并理解其性 质 k 0 或 k 0 时 图象的变化情况 理解正比例函数 能根据一次函数 图象求二元一次方程组的近似解 能用一次函数解决实际问题 2 本章的主要内容是通过一定的探索活动 抽象出函数 一次函数的概念 进而探索一次函数及其图象的性质 并利用其解决实际问题 3 本章是在前面学习了利用方程知识来解决实际问题的基础上 进一步学 习变量之间的关系 让学生初步体会函数的概念 进而研究其中最为简单的一 种函数 一次函数 通过对一次函数的剖析 使学生了解函数的有关性质和研 究方法 并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力 4 本章的重点是一次函数的概念 图象 性质及其应用 难点是对函数的 意义的理解及函数的表示方法 关键是处理好新旧知识的联系 由方程自然地 向函数过渡 尽可能地减少对新知识接受的困难 二 学法指导二 学法指导 在本章的学习中 要逐步透彻理解函数的概念 在理解的基础上掌握一次 函数图象的性质 注意在解决问题过程中充分体会和运用数形结合的思想 除 此之外 还要注意函数与方程 不等式 几何知识的内在联系 把一次函数的 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 2 页 共 15 页 知识与其他学科有机地结合起来 章末总结章末总结 知识网络图示知识网络图示 基本知识提炼整理基本知识提炼整理 一 基本概念 1 函数的概念 一般地 在一个变化过程中 如果有两个变量 x 和 y 并且对于 x 的每一 个确定的值 y 都有惟一确定的值与其对应 那么我们就说 x 是自变量 y 是 x 的函数 2 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x y 之间的关系式可以表示成 y kx b k b 为常数 且 k 0 的形式 则称 y 是 x 的一次函数 x 是自变量 特别地 当 b 0 时 称 y 是 x 的正比例函数 二 一次函数和正比例函数的图象和性质 函数图 象性 质 一 次 函 数 y kx b k 0 过点 0 b 且平行于 y kx 的一条直线 1 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 图象必过 第一 三象限 当 b 0 时 过第一 二 三象限 当 b 0 时 只过第一 三象限 当 b 0 时 过第一 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 3 页 共 15 页 三 四象限 2 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 图象必过 第二 四象限 当 b 0 时 过第一 二 四象限 当 b 0 时 只过第二 四象限 当 b 0 时 过第二 三 四象限 正 比 例 函 数 y kx k 0 过原点的一条直线 图象过原点 1 当 k 0 y 随 x 的 增大而增大 图象必过第 一 三象限 2 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 图象必过 第二 四象限 专题总结及应用专题总结及应用 一 基础知识应用 1 结合实例理解函数的概念 2 熟练掌握一次函数和正比例函数的概念 3 结合一次函数的图象 熟练掌握一次函数和正比例函数的性质 4 会求一次函数的表达式 5 能灵活运用一次函数的图象解决实际问题 例 1 一报亭从报社订购某晚报的价格是每份 0 7 元 销售价是每份 1 元 卖不掉的报纸还可以以每份 0 2 元的价格退回报社 在一个月内 以 30 天计 算 有 20 天每天可以卖出 100 份 其余 10 天每天只能卖出 60 份 但每天报亭 从报社订购的份数必须相同 若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 4 页 共 15 页 x 每月所获利润为 y 元 1 写出 y 与 x 之间的函数关系式 并指出自变量 x 的取值范围 2 报亭应该每天从报社订购多少份报纸 才能使每月获得的利润最大 最大利润是多少 分析 1 先确定 x 的取值范围 60 x 100 且 x 是正整数 然后列 出函数表达式 2 利用一次函数的性质求出最大利润 解 1 若报亭每天从报社订购晚报 x 份 则 x 应满足 60 x 100 且 x 是正整数 则每月共销售 20 x 10 60 份 退回报社 10 x 60 份 又因为卖出的报纸每份获利 0 3 元 退回的报纸每份亏损 0 5 元 所以 每月获得的利润为 y 0 3 2Ox 十 10 6O 一 0 5 1O x 6O x 十 48O 自变量 x 的取值范围是 60 x 100 且 x 是正整数 2 当 60 x 100 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 100 时 y 有最大值 y最大值 100 480 580 元 报亭应该从报社订购 100 份报纸 才能使每月获得的利润最大 最大利 润是 580 元 小结小结 解有关一次函数的应用题要注意运用数形结合的方法综合分析问题 将所学知识灵活运用 融会贯通 同时还要特别注意自变量的取值范围的限制 它是解决问题的关键之一 例 2 拖拉机耕地时 每小时的耗油量假定是个常量 已知拖拉机耕地 2 小时油箱中余油 28 升 耕地 3 小时油箱中余油 22 升 1 写出油箱中余油量 Q 升 与工作时间 t 时 之间的函数关系式 2 画出函数图象 3 这台拖拉机工作 3 小时后 油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时 分析 由两组对应量可求出函数关系式 再画出图象 在自变量取值范围 内 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 5 页 共 15 页 解 1 设函数关系式为 Q kt b k 0 由题意可知 40 6 322 228 b k bk bk 余油量 Q 与时间 t 之间的函数关系式是 Q 6t 40 40 6t 0 t 3 20 自变量 t 的取值范围是 0 t 3 20 2 当 t 0 时 Q 40 当 t 时 Q 0 3 20 得到点 0 40 0 3 20 连接两点 得出函数 Q 6t 40 0 t 的图象 如图 11 53 所示 3 20 3 当 Q 0 时 t 那么 3 3 时 3 20 3 20 3 2 拖拉机还能耕地 3小时 即 3 小时 40 分 3 2 小结 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问 题 如利润最大 成本最小 话费最省 最佳设计方案等问题 我们应善于总 结规律 达到灵活运用的目的 二 数学思想方法的归纳及应用 1 函数方法 函数方法就是应用运动 变化的观点来分析问题中的数量关系 抽象升华 为函数的模型 进而解决有关问题的方法 函数的实质是研究两个变量之间的 对应关系 灵活运用函数方法可以解决许多数学问题 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 6 页 共 15 页 例 1 利用图象解二元一次方程组 5 22 yx yx 分析 方程组中的两个方程均为关于 x y 的二元一次方程 可以转化为 y 关于 x 的函数 由 得 y 2x 2 由 得 y x 5 实质上是两个 y 关于 x 的一 次函数 在平面直角坐标系中画出它们的图象 可确定它们的交点坐标 即可 求出方程组的解 解 由 得 y 2x 2 由 得 y x 5 在平面直角坐标系中画出一次函数 y 2x 2 y x 5 的图象如图 11 54 所示 观察图象可知 直线 y 2x 2 与直线 y x 5 的交点坐标是 1 4 原方程组的解是 4 1 y x 小结 解方程组通常用消元法 但如果把方程组中的两个方程看作是两个一 次函数 画出这两个函数的图象 那么它们的交点坐标就是方程组的解 例 2 我国是一个严重缺水的国家 大家应该倍加珍惜水资源 节约用水 据测试 拧不紧的水龙头每秒会滴下 2 滴水 每滴水约 0 05mL 小明同学在洗 手时 没有把水龙头拧紧 当小明离开 x 小时后 水龙头滴了 ymL 水 1 试写出 y 与 x 之间的函数关系式 2 当滴了 1620mL 水时 小明离开水龙头几小时 分析 已知拧不紧的水龙头每秒滴 2 滴水 又 1 小时 3600 秒 1 小 时滴水 3600 2 滴 又 每滴水约 0 05mL 每小时约滴水 3600 2 0 05 360mL 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 7 页 共 15 页 解 1 y 与 x 之间的函数关系式为 x 360 x x 0 2 当 y 1620 时 有 360 x 1620 x 4 5 当滴了 1620mL 水时 小明离开水龙头 4 5 小时 2 数形结合法 数形结合法是指将数与形结合起来进行分析 研究 解决问题的一种思想 方法 数形结合法在解决与函数有关的问题时 能起到事半功倍的作用 例 3 如图 11 55 所示 一次函数的图象与 x 轴 y 轴分别相交于 A B 两点 如果 A 点的坐标为 A 2 0 且 OA OB 试求一次函数的解析式 分析 通过观察图象可以看出 要确定一次函数的关系式 只要确定 B 点的坐标即可 因为 OB OA 2 所以点 B 的坐标为 0 2 再结合 A 点坐标 即可求出一次函数的关系式 解 设一次函数的关系式为 y kx b k b 为常数 且 k 0 OA OB 点 A 的坐标为 2 0 点 B 的坐标为 0 2 点 A B 的坐标满足一次函数的关系式 y kx b 20 02 b bk 2 1 b k 一次函数的关系式为 y x 2 说明 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用 在解决有关函数问题时有着重要的作用 3 分类讨论法 分类讨论法是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法 分 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 8 页 共 15 页 类讨论法既是一种重要的数学思想 又是一种重要的教学方法 分类的关键是根 据分类的目的 找出分类的对象 分类既不能重复 也不能遗漏 最后要全面 总结 例 4 在一次遥控车比赛中 电脑记录了速度的变化过程 如图 11 56 所 示 能否用函数关系式表示这段记录 分析 根据所给图象及函数图象的增减性 本题要分三种情况进行讨论 电脑记录提供了赛车时间 t s 与赛车速度 m s 之间的关系 在 10s 内 赛 车的速度从 0 加速到 7 5m s 又减至 0 因此要注意时间对速度的影响 解 观察图象可知 当 t 在 0 1s 内时 速度 与时间 t 是正比例函数关系 7 5t 0 t 1 当 t 在 1 8s 内时 速度 保持不变 7 5 1 t 8 当 t 在 8 10s 内时 速度 与时间 t 是一次函数关系 3 75t 37 5 8 t 10 例 5 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品 经过市场调查发现 如果月初出售可获利 15 并可用本利和再投资其他商品 到月末又可获利 10 如果月末出售可获利 30 但要付仓储费用 700 元 问他如何销售获利较 多 分析 两种方式获利多少与投入资金有关 需要分类讨论 题中的三个 百分比是对投资来讲的 设该商场投入资金 x 元 则按不同方式销售的获利情 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 9 页 共 15 页 况 月初出售共获利 15 x x 15 1O 月末出售共获利 3O x 700 然后比较 两种销售方式获利的多少 解 设商场计划投资 x 元 在月初出售共获利 y1元 在月末出售共获利 y2 元 根据题意 得 y1 15 x x 15 x 10 0 265x y2 30 x 700 0 3x 700 y1 y2 0 265x 0 3x 700 700 0 035x 当 y1 y2 0 时 有 700 0 035x 0 x 20000 当 x 20000 时 两种销售方式获利一样多 当 y1 y2 0 时 有 700 0 035x 0 x 20000 当 x 20000 时 y1 y2 即月初出售获利较多 当 y1 y2 0 时 有 700 0 035x 0 x 20000 当 x 20000 时 y1 y2 即月末出售获利较多 说明 进行有关问题的分类讨论 要全面考察 可根据图形或题意找出 所有可能的情况 然后进行总结 4 方程方法 方程方法是指对所求数学问题通过列方程 组 使问题得解的方法 在函数 及其图象中 方程方法的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式中 例 6 已知一次函数 y kx b k 0 的图象经过点 A 3 2 及点 B 1 6 求 此函数关系式 并作出函数图象 分析 可将由已知条件给出的坐标分别代入 y kx b 中 通过解方程组求 出 k b 的值 从而确定函数关系式 解 由题意可知 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 10 页 共 15 页 4 2 6 23 b k bk bk 函数关系式为 y 2x 4 图象如图 11 57 所示 说明 一次函数 y kx b 中含有两个待定系数 k b 根据待定系数法 只要列出方程组即可 例 7 科学家通过研究得出 一定质量的某种气体在体积不变的情况下 压强 p kPa 随温度 t 变化的函数关系式是 p kt b 其图象如图 11 58 所 示的直线 1 根据图象求出上述气体的压强 P 与温度 t 之间的函数关系式 2 当压强 p 为 200kPa 时 求上述气体的温度 分析 要求出 p 与 t 之间的函数关系式 需知图象上的两个点的坐标 由 图象可知 点 25 110 50 120 在该图象上 通过解方程可得关系式 解 1 观察图象可知 点 25 110 50 120 在该图象上 100 5 2 50120 25110 b k bk bk 函数关系式为 p t 100 5 2 2 当 p 200 时 有 200 t 100 5 2 t 250 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 11 页 共 15 页 当压强 P 为 200kPa 时 气体的温度是 250 本章综合评价本章综合评价 一 训练平台 1 如图 11 59 所示 若直线l是一次函数 y kx b 的图象 则 A k 0 b 0B k 0 b OC k O b OD k O b 0 2 函数 y x 与函数 y x 1 的图象的交点坐标为 A B C D 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 若一根蜡烛长 20cm 点燃后每小时燃烧 5cm 则燃烧剩下的高度 h cm 与燃烧时间 t 时 之间的函数关系用图 11 60 所示的图象表示为 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 12 页 共 15 页 4 已知 y m 2 x是正比例函数 则 m 3 2 m 5 若一次函数 y kx 3 的图象过点 M 3 4 则 k 6 已知一支铅笔 0 2 元 买 x 支铅笔付款 y 元 则 y 与 x 之间的函数关系 式是 7 一根弹簧原长为 12cm 它所挂物体的质量不能超过 15kg 并且每挂 1kg 物体就伸长了cm 则挂重后的弹簧长度 y cm 与挂重 x kg 之间的函数关系 2 1 式是 自变量 x 的取值范围是 8 已知 y 5 与 3x 4 成正比例 当 x 1 时 y 2 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 求当 x 1 时的函数值 二 探究平台 1 直线 y x 4 和直线 y x 4 与 x 轴围成的三角形的面积是 A 32B 64C 16D 8 2 若直线 y kx b 经过第二 三 四象限 则 k b 若经过 第一 三 四象限 则 k b 若经过第一 二 三象限 则 k b 3 已知直线 y kx b 过点 A x1 y1 和 B x2 y2 若 k 0 且 x1 x2 则 y1 y2 填 或 号 4 将直线 y x 4 向下平移 2 个单位 得到的直线的解析式为 5 某单位急需用车 但不准备买车 他们准备和一个体车主或一国营出租 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 13 页 共 15 页 车公司中的一家签订合同 设汽车每月行驶 xkm 应付给个体车主的月租费是 y1元 应付给国营出租车公司的月租费是 y2元 y1 y2分别与 x 之间的函数关 系的图象 两条射线 如图 11 61 所示 观察图象 回答下列问题 1 分别写出 y1 y2与 x 之间的函数关系式 2 每月行驶的路程在什么范围内时 租国营公司的车合算 3 每月行驶的路程等于多少时 租两家车的费用相同 4 如果这个单位估计平均每月行驶的路程为 2300km 那么 这个单位 租哪家的车合算 三 交流平台 已知 A 地在 B 地的正南方向 3km 处 甲 乙两人同时分别从 A B 两地向正 北方向匀速直线前进 他们到 A 地的距离 s km 与所用时间 t h 之间的函 数关系的图象如图 11 62 所示 当他们走了 3h 的时候 他们之间的距离是多 少千米 西蒙数学西蒙数学 八年级 广州市西蒙数学教学研究中心 第 14 页 共 15 页 参考答案参考答案 评价标准评价标准 一 1 B 2 A 3 B 4 2 5 6 y 0 2x 7 y x 12 3 7 2 1 0 x 15