集合的基本运算

姓名 赵琦姓名 赵琦 学号 学号 1201324132612013241326 集合的基本运算集合的基本运算 教学设计教学设计 课题 1 1 3 集合的基本运算 教材 普通高中课程标准实验教科书 人教版 必修一 一 一 教学内容的地位 作用分析教学内容的地位 作用分析 集合是学生升入高中以后学习的第一个内容 不仅是高中数学内容的一个基础 也为 以后其他内容的学习提供了帮助 集合作为现代数学的基本语言 可以简洁 准确地表达 数学内容 在现代数学理论体系中的占有基础性的地位 我们学会集合的基本内容后 不 仅可以用集合语言表示有关数学对象 也为后面函数概念的描述打下了基础 本节 集合的基本运算 是集合这一节里面的核心内容 本节的主要内容是交集 并 集 补集的概念及交 并 补的运算 要从自然语言 符号语言 图形语言三个方面去理 解交 并 补的含义 可以培养学生数形结合的数学思想 同时这一部分不仅是考查的重 点知识 同时也是与其他内容很容易交汇出题的知识点 经常作为知识的载体出现 二 学情分析学情分析 学生在小学和初中已经接触过一些集合 例如 自然数的集合 有理数的集合 到一 个定点的距离等于定长的点的集合等 对集合有了一个大概的了解 进入高中以后 学习的第一个内容便是集合 通过 1 1 1 集合的含义与表示 的学习 学生们知道了集合的概念 和其确定性 无序性和互异性三个特征 了解了元素与集合之 间的关系 元素属于集合或元素不属于集合 同时学会了列举法和描述法两种表示方法 通过 1 1 2 集合间的基本关系 的学习 我们明确学习了集合与集合的关系 包括包含关 系 子集和真子集 相等关系 并规定了不含任何元素的集合叫做空集 同时 在 1 1 2 节当中 我们引入了 Venn 图这个工具 对 1 1 3 中集合的运算的学习也提供了帮助 三 三 教学目标和重点 难点分析教学目标和重点 难点分析 教学目标教学目标 知识目标 1 理解两个集合之间并集的概念 会求两个简单集合的并集 2 理解两个集合之间交集的概念 会求两个简单集合的交集 3 能用 Venn 图表达集合的关系及运算 体会直观图示对理解抽象概念的作 用 4 在解题过程中能灵活选择应用数轴或 Venn 图 能力目标 1 通过 Venn 图的使用和数轴的使用 让学生们领悟数形结合的数学思想 2 通过给出集合作为例子 让学生思考它们之间的关系来给出并集和交集的 定义 培养学生观察 分析 归纳 概括等一般能力的发展 3 讨论环节锻炼了学生交流合作能力以及表达能力 情感目标 1 通过使用符号表示 集合表示 图形表示集合间的关系与运算 引导学生 感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义 从中了解数学的重要 意义和应用的广泛程度 从而增加学生学习数学的兴趣 2 另外讨论环节的设置也可以让学生感受到人与人交流的乐趣 利于学生间 的合作交流与和谐相处 教学重点 教学重点 1 并集 交集的概念及其运算 2 学会使用 Venn 图和数轴来表示集合间的关系及运算 教学难点 教学难点 弄清并集 交集的概念 符号之间的区别与联系 教学方法 教学方法 讲授式 情景式 合作式 教具学具 教具学具 幻灯片 四 四 教学策略分析教学策略分析 本节课的教学难点是弄清并集 交集的概念 符号之间的区别与联系 针对这一教学 难 点 我们采取下面几个策略进行突破 1 通过分组讨论 将并集 交集三个内容的概念 符号表示以及 Venn 图表示进行比 较 让学生归纳总结出其中的异同点 从而巩固三个概念的记忆 同时了解这三者之前的 区别与联系 2 通过同一例题给定的两个集合 分别问这两个集合的交集和并集 通过计算过程与 计算结果的不同 给学生一个直观感受来体会并集 交集的不同 五 五 教学过程教学过程 教学过程设计说明 复 习 回 顾 提问一 提问一 集合的概念 一般地 我们把研究对象统称为元素 把一些元素 组成的总体叫做集合 继续发问元素满足的三个特性 以及集合的表示方法 提问二 提问二 元素与集合的关系 提问三 提问三 集合间的基本关系 同时回顾 Venn 图的画法 回顾之前所学习的内容 既可以复习巩固前两节课的 知识 同时为这一节课讲集 合间的运算打下基础 情 景 设 置 新 课 导 入 情景情景 李华和室友王伟一起到新百购物 李华买了水果 牛奶 纸巾和帽子四种商品 王伟买了牙膏 可乐 纸 巾 饼干和水果五种商品 问两人一共买了多少种商品 若回答两人一共买了 9 5 4 种 显然是不对的 让我们试着从集合的角度考虑这个问题 思考思考 1 我们知道 实数有加法运算 类比实数的加法运算 集合是否也可以相加呢 考察下列各个集合 你能说出集合 C 与集合 A B 之间的关系吗 1 A 1 3 5 B 2 4 6 C 1 2 3 4 5 6 2 A x x 是有理数 B x x 是无理数 通过情境的引入 引导 学生从集合的角度来考虑品 种个数的问题 结合集合中 元素的互异性 情景的设 置贴合学生生活 也能激发 学生的学习兴趣和求知欲 引导学生观察并思考集 合 A B C 中元素的关系 集合 C 中的元素是由集合 A 或或 B 中的所有所有元素组成的 从而引出今天的第一个问题 教学过程设计说明 C x x 是实数 注注 可以将 1 中 C 的元素减少来进行发问 来强调 C 是 A B 中所有所有元素组成的 并集的概念 并 集 的 概 念 及 运 算 应 用 概念概念 一般地 由所有所有属于集合 A 或或集合 B 的元素组成的 集合 称为集合 A 与 B 的并集 记作 A B 读作 A 并 B 用描述法表示为 A B x x A 或 x B Venn 图表示为 则刚才思考 1 中的 1 2 集合 A B 与集合 C 之间的关系都可以表示为 A B C 例题例题 例例 1 设 A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 求 A B 分析 结合 Venn 图 3 7 5 8 4 6 解 A B 4 5 6 8 3 5 7 8 3 4 5 6 7 8 例例 2 设集合 A x 1 x2 集合 B x 1x 3 求 A B 分析 结合数轴 解 A B x 1 x2 x 1x 3 x 1 x 3 问问 若中间两个实点变为虚点后范围改变了吗 答 没有 严格给出并集的概念 并依此给出描述法和 Venn 图两种表示方法 通过回顾上面的思考 1 巩固了概念的理解 同 时感受了并集的运算 列举法表示的集合求并 集可以采取画 Venn 图的形 式来分析求解 注意 公共 元素在集合中只能出现一次 如 5 8 参考集合内元素 的互异性 实数范围内两个区间所 构成集合的求并运算可以采 用数轴上画出范围的方式来 分析运算 问题的设置意在 提醒学生注意端点值能否取 到 使并集范围确立地更加 仔细 AB 1 0 1 2 3 x A B 教学过程设计说明 思考思考 2 2 下列关系式成立吗 1 A A A 2 A A 既可以考察学生对并集 的理解 又向学生介绍了几 条常用性质 画 Venn 图 交 集 的 概 念 及 运 算 应 用 情景回顾情景回顾 将两人买的商品用 Venn 图来表示 通过刚才的学习我们知道 由两集合的所有元素组 成两集合的并集 其中公共部分纸巾和水果只出现一次 问 问 由两集合的公共元素组成的集合又会是通过两 集合怎样运算得到的呢 思考思考 3 考察下面的问题 集合 A B 与集合 C 之间有什么关系 1 A 2 4 6 8 10 B 3 5 8 12 C 8 2 A x x 是新华中学 2004 年 9 月在校的女同学 B x x 是新华中学 2004 年 9 月在校的高一年级 同学 C x x 是新华中学 2004 年 9 月在校的高一年级女同学 通过上面的情景回顾 学生很容易看出集合 C 是集 合 A B 的公共部分 再引导从元素的角度进行考虑 可适当回去参考并集概念的形式 猜测 猜测 如果学生回答 集合 C 中的元素是由既属于集合 A 又属于集合 B 的元素构成的 则继续发问 将 2 中的集合 C 改为 情景再次回顾 在复习 并集的同时也引出了交集的 内容 再次激发学生的学习 兴趣 同时为下面的思考提 供了思路 公共元素 通过给出两个实例 让 学生们自己观察并交流 找 出集合 A B 与集合 C 之间 的关系 通过模仿上面并集 的概念 锻炼了学生观察 类比以及总结的能力 如果学生总结不严谨 继续发问 通过比较 C 与 C 的不同点 来引导 帮助 学生更加严谨地归纳总结交 集的概念 强调是集合 C 是 由属于集合 A 且且又属于集 牙膏 可乐 饼干 牛奶 帽子 纸巾 水果 教学过程设计说明 C x x 是新华中学 2004 年 9 月在校的高一年级身 高超过一米五的女同学 同样也是集合 C 中的元素既属于集合 A 又属于集 合 B 上面的总结没有抓住全部的条件 比较集合 C 与 集合 C 可以看出集合 C 是既属于集合 A 又属于集合 B 的最大集合 通过同学们讨论归纳 得到 上述问题中 集合 C 是由那些既属于集合 A 且且又属于集合 B 的所有所有元素组成 合 B 的所有所有元素组成 交 集 的 概 念 及 运 算 应 用 概念概念 一般地 由属于集合 A 且且属于集合 B 的所有所有元素组 成的集合 成为 A 与 B 的交集 记作 A B 读作 A 交 B 用描述法表示为 A B x x A 且 x B Venn 图表示为 回顾回顾 则刚才思考 3 中的 1 2 集合 A B 与集合 C 之间的关系都可以表示为 A B C 例题例题 例例 3 板书板书 设平面内直线 l1上点的集合为 L1 直线 l2 上点的集合为 L2 试用集合的运算表示 l1 l2的位置关 系 解 平面内直线 l1 l2可能有三种位置关系 即相交于 一点 平行或重合 1 直线 l1 l2相交于一点 P 可表示为 L1 L2 点 P 2 直线 l1 l2平行可表示为 L1 L2 3 直线 l1 l2重合可表示为 上面已经归纳总结除了 交集的概念 现在具体给出 概念 并用描述法和 Venn 图表示出交集 通过回顾 学生看到了 交集运算的实例 方便下面 例题的直接讲解 例 3 的设计在几何形式 上对线的交集运算进行了考 察 体现了交集运算的条件 巩固了学生对交集概念的理 解 实现了交集运算的实际 应用 同时也考察了学生分 类讨论的能力 AB A B 教学过程设计说明 L1 L2 L1 L2 思考思考 4 下列关系式成立吗 1 A A A 2 A 既可以考察学生对交集 的理解 又向学生介绍了几 个常用公式 画 Venn 图 随 堂 练 习 巩 固 质 疑 练习题练习题 1 集合 A B C 的关系用 Venn 图表示如上 试用阴 影画出下面集合运算后所代表的部分 A B C A B C A B C 2 2 设 设 A x x2 4x 5 0 B B x x2 1 试求试求 A B 和和 A B 解解 A x x 5 x 1 0 1 5 B 1 1 A B 1 1 5 A B 1 3 3 已知 集合 已知 集合 A A x 2 x 5 集合集合 B B x m 1 x 2m 1 若若 A B B B 求求 m m 的取值范围 的取值范围 解解 由 A B B 得 BA 再结合数轴 可以知道 本题的设计考察了学生 对集合交集 并集运算的理 解 以及对 Venn 图的应用 同时 本题包含了交并结合 的多步运算 运算的顺序不 同 结果也不相同 学生 自己在下面练习 分别找三 个同学上黑板画图 与学生 互动交流 活跃课堂气氛 对于列举法表示的集合 间的基本运算 可以借助 Venn 图来进行分析求解 对于实数范围内两个区 间构成的两个集合进行的集 合间的运算 可以采用数轴 帮助分析求解 A B C 教学过程设计说明 满足 2 m 1 且 2m 1 5 故 3 m 3 4 板书 板书 已知集合 已知集合 A 1 a2 1 a2 3 B 4 a 1 a 1 且且 A B 2 求 求 a 的值的值 提示 分类讨论要到位 综合考虑集合的交集定义与集 合的性质 特别是集合的互异性 解 解 因为 A 中元素 a2 1 1 所以不可能等于 2 所以 a2 3 2 即 a 1 1 当 a 1 时 A 1 a2 1 a2 3 1 2 2 B 4 a 1 a 1 4 0 2 A B 2 2 故不成立 2 当 a 1 时 A 1 a2 1 a2 3 1 2 2 B 4 a 1 a 1 4 2 0 A B 2 成立 综合 1 2 可知 a 1 5 某班学生共 某班学生共 50 人 喜欢打羽毛球的有人 喜欢打羽毛球的有 30 人 喜欢人 喜欢 打乒乓球的有打乒乓球的有 25 人 两样都喜欢的有人 两样都喜欢的有 15 人 求两样都人 求两样都 不喜欢的人数 不喜欢的人数 提示 借助 Venn 图进行表示求解 解 解 设 I 某班学生 A 喜欢打羽毛球的人 B 喜欢打乒乓球的人 则 A B 两样都喜欢的人 A B 两样至少喜欢一样的人 C 两样都不喜欢的人 则 C 与 A B 互为对立事件 因为 n A B n A n B n A B 所以至少喜欢一样的人数为 30 25 15 40 人 所以两样都不喜欢的人数 50