2016年人教版九年级数学上《第24章圆》单元测试含答案解析

第 1 页 共 26 页 第第 2424 章章 圆圆 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 共分 共 3030 分 分 1 下列说法正确的是 A 三点确定一个圆 B 一个三角形只有一个外接圆 C 和半径垂直的直线是圆的切线 D 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 2 如图 O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点 E 若 DE OB AOC 84 则 E 等于 A 42 B 28 C 21 D 20 3 已知如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 于 E CD 6 AE 1 则 O 的直径为 A 6B 8C 10D 12 4 如图 DC 是以 AB 为直径的半圆上的弦 DM CD 交 AB 于点 M CN CD 交 AB 于点 N AB 10 CD 6 则四边形 DMNC 的面积 A 等于 24B 最小为 24 C 等于 48D 最大为 48 5 如图 在半径为 5 的 O 中 弦 AB 6 OP AB 垂足为点 P 则 OP 的长为 第 2 页 共 26 页 A 3B 2 5C 4D 3 5 6 如图表示一圆柱形输水管的横截面 阴影部分为有水部分 如果输水管的半径为 5cm 水面宽 AB 为 8cm 则水的最大深度 CD 为 A 4cmB 3cmC 2cmD 1cm 7 图中的五个半圆 邻近的两半圆相切 两只小虫同时出发 以相同的速度从 A 点到 B 点 甲虫 沿 ADA1 A1EA2 A2FA3 A3GB 路线爬行 乙虫沿 ACB 路线爬行 则下列结论正确的是 A 甲先到 B 点B 乙先到 B 点C 甲 乙同时到 BD 无法确定 8 在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后 截面如图 若油面的宽 AB 160cm 则油的最 大深度为 A 40cm B 60cm C 80cm D 100cm 9 如图 AB 是 O 的直径 四边形 ABCD 内接于 O 若 BC CD DA 4cm 则 O 的周长为 A 5 cmB 6 cmC 9 cmD 8 cm 10 如图 AB 是 O 的弦 点 C 在圆上 已知 OBA 40 则 C 第 3 页 共 26 页 A 40 B 50 C 60 D 80 二 填空题 共二 填空题 共 6 6 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 共分 共 1818 分 分 11 如图 在 O 中 弦 AB CD 若 ABC 40 则 BOD 12 如图 在矩形 ABCD 中 AB 4 AD 3 以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆 若要求另外三个顶点 A B C 中至少有一个点在圆内 且至少有一个点在圆外 则 r 的取值范围是 13 如图 已知 BOA 30 M 为 OB 边上一点 以 M 为圆心 2cm 为半径作 M 点 M 在射线 OB 上 运动 当 OM 5cm 时 M 与直线 OA 的位置关系是 14 如图 正方形 ABCD 内接于 O 其边长为 4 则 O 的内接正三角形 EFG 的边长为 15 已知扇形的半径为 6cm 圆心角的度数为 120 则此扇形的弧长为 cm 16 如图 半圆 O 的直径 AB 2 弦 CD AB COD 90 则图中阴影部分的面积为 第 4 页 共 26 页 三 解答题 共三 解答题 共 8 8 题 共题 共 7272 分 分 17 圆锥底面圆的半径为 3m 其侧面展开图是半圆 求圆锥母线长 18 在一个底面直径为 5cm 高为 18cm 的圆柱形瓶内装满水 再将瓶内的水倒入一个底面直径是 6cm 高是 10cm 的圆柱形玻璃杯中 能否完全装下 若未能装满 求杯内水面离杯口的距离 19 如图 AB 和 CD 分别是 O 上的两条弦 过点 O 分别作 ON CD 于点 N OM AB 于点 M 若 ON AB 证明 OM CD 20 如图为桥洞的形状 其正视图是由和矩形 ABCD 构成 O 点为所在 O 的圆心 点 O 又恰 好在 AB 为水面处 若桥洞跨度 CD 为 8 米 拱高 OE 弦 CD 于点 F EF 为 2 米 求所在 O 的 半径 DO 21 ABC 是 O 的内接三角形 BC 如图 若 AC 是 O 的直径 BAC 60 延长 BA 到点 D 使得 DA BA 过点 D 作直线 l BD 垂足为点 D 请将图形补充完整 判断直线 l 和 O 的位 置关系并说明理由 第 5 页 共 26 页 22 如图直角坐标系中 已知 A 8 0 B 0 6 点 M 在线段 AB 上 1 如图 1 如果点 M 是线段 AB 的中点 且 M 的半径为 4 试判断直线 OB 与 M 的位置关系 并说明理由 2 如图 2 M 与 x 轴 y 轴都相切 切点分别是点 E F 试求出点 M 的坐标 23 已知等边三角形 ABC AB 12 以 AB 为直径的半圆与 BC 边交于点 D 过点 D 作 DF AC 垂足 为 F 过点 F 作 FG AB 垂足为 G 连接 GD 1 求证 DF 与 O 的位置关系并证明 2 求 FG 的长 24 如图 等边 ABC 的边长为 2 E 是边 BC 上的动点 EF AC 交边 AB 于点 F 在边 AC 上取一点 P 使 PE EB 连接 FP 1 请直接写出图中与线段 EF 相等的两条线段 不再另外添加辅助线 2 探究 当点 E 在什么位置时 四边形 EFPC 是平行四边形 并判断四边形 EFPC 是什么特殊的 平行四边形 请说明理由 3 在 2 的条件下 以点 E 为圆心 r 为半径作圆 根据 E 与平行四边形 EFPC 四条边交点的 总个数 求相应的 r 的取值范围 第 6 页 共 26 页 第 7 页 共 26 页 第第 2424 章章 圆圆 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 共分 共 3030 分 分 1 下列说法正确的是 A 三点确定一个圆 B 一个三角形只有一个外接圆 C 和半径垂直的直线是圆的切线 D 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 考点 圆的认识 分析 根据确定圆的条件对 A B 进行判断 根据切线的判定定理对 C 进行判断 根据三角形内 心的性质对 D 进行判断 解答 解 A 不共线的三点确定一个圆 所以 A 选项错误 B 一个三角形只有一个外接圆 所以 B 选项正确 C 过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 所以 C 选项错误 D 三角形的内心到三角形三边的距离相等 所以 D 选项错误 故选 B 点评 本题考查了圆的认识 掌握与圆有关的概念 弦 直径 半径 弧 半圆 优弧 劣弧 等圆 等弧等 也考查了确定圆的条件和切线的判定 2 如图 O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点 E 若 DE OB AOC 84 则 E 等于 A 42 B 28 C 21 D 20 考点 圆的认识 等腰三角形的性质 专题 计算题 第 8 页 共 26 页 分析 利用半径相等得到 DO DE 则 E DOE 根据三角形外角性质得 1 DOE E 所以 1 2 E 同理得到 AOC C E 3 E 然后利用 E AOC 进行计算即可 解答 解 连结 OD 如图 OB DE OB OD DO DE E DOE 1 DOE E 1 2 E 而 OC OD C 1 C 2 E AOC C E 3 E E AOC 84 28 故选 B 点评 本题考查了圆的认识 掌握与圆有关的概念 弦 直径 半径 弧 半圆 优弧 劣弧 等圆 等弧等 也考查了等腰三角形的性质 3 已知如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 于 E CD 6 AE 1 则 O 的直径为 A 6B 8C 10D 12 考点 垂径定理 勾股定理 分析 连接 OC 根据题意 OE OC 1 CE 3 结合勾股定理 可求出 OC 的长度 即可求出直径的 长度 第 9 页 共 26 页 解答 解 连接 OC 弦 CD AB 于 E CD 6 AE 1 OE OC 1 CE 3 OC2 OC 1 2 32 OC 5 AB 10 故选 C 点评 本题主要考查了垂径定理 勾股定理 解题的关键在于连接 OC 构建直角三角形 根据 勾股定理求半径 OC 的长度 4 如图 DC 是以 AB 为直径的半圆上的弦 DM CD 交 AB 于点 M CN CD 交 AB 于点 N AB 10 CD 6 则四边形 DMNC 的面积 A 等于 24B 最小为 24 C 等于 48D 最大为 48 考点 垂径定理 勾股定理 梯形中位线定理 分析 过圆心 O 作 OE CD 于点 E 则 OE 平分 CD 在直角 ODE 中利用勾股定理即可求得 OE 的 长 即梯形 DMNC 的中位线 根据梯形的面积等于 OE CD 即可求得 解答 解 过圆心 O 作 OE CD 于点 E 连接 OD 则 DE CD 6 3 在直角 ODE 中 OD AB 10 5 OE 4 则 S四边形 DMNC OE CD 4 6 24 故选 A 第 10 页 共 26 页 点评 本题考查了梯形的中位线以及垂径定理 正确作出辅助线是关键 5 如图 在半径为 5 的 O 中 弦 AB 6 OP AB 垂足为点 P 则 OP 的长为 A 3B 2 5C 4D 3 5 考点 垂径定理 勾股定理 分析 连接 OA 根据垂径定理得到 AP AB 利用勾股定理得到答案 解答 解 连接 OA AB OP AP 3 APO 90 又 OA 5 OP 4 故选 C 点评 本题考查的是垂径定理的应用 掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 6 如图表示一圆柱形输水管的横截面 阴影部分为有水部分 如果输水管的半径为 5cm 水面宽 AB 为 8cm 则水的最大深度 CD 为 第 11 页 共 26 页 A 4cmB 3cmC 2cmD 1cm 考点 垂径定理的应用 勾股定理 分析 根据题意可得出 AO 5cm AC 4cm 进而得出 CO 的长 即可得出答案 解答 解 如图所示 输水管的半径为 5cm 水面宽 AB 为 8cm 水的最大深度为 CD DO AB AO 5cm AC 4cm CO 3 cm 水的最大深度 CD 为 2cm 故选 C 点评 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理 根据构造出直角三角形是解答此题的关键 7 图中的五个半圆 邻近的两半圆相切 两只小虫同时出发 以相同的速度从 A 点到 B 点 甲虫 沿 ADA1 A1EA2 A2FA3 A3GB 路线爬行 乙虫沿 ACB 路线爬行 则下列结论正确的是 A 甲先到 B 点B 乙先到 B 点C 甲 乙同时到 BD 无法确定 考点 圆的认识 专题 应用题 分析 甲虫走的路线应该是 4 段半圆的弧长 那么应该是 AA1 A1A2 A2A3 A3B AB 因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等 因此两个同时到 B 点 解答 解 AA1 A1A2 A2A3 A3B AB 因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的 大半圆的弧长相等 因此两个同时到 B 点 故选 C 点评 本题考查了圆的认识 主要掌握弧长的计算公式 第 12 页 共 26 页 8 在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后 截面如图 若油面的宽 AB 160cm 则油的最 大深度为 A 40cm B 60cm C 80cm D 100cm 考点 垂径定理的应用 勾股定理 分析 连接 OA 过点 O 作 OE AB 交 AB 于点 M 由垂径定理求出 AM 的长 再根据勾股定理求 出 OM 的长 进而可得出 ME 的长 解答 解 连接 OA 过点 O 作 OE AB 交 AB 于点 M 直径为 200cm AB 160cm OA OE 100cm AM 80cm OM 60cm ME OE OM 100 60 40cm 故选 A 点评 本题考查的是垂径定理的应用 根据题意作出辅助线 构造出直角三角形是解答此题的关 键 9 如图 AB 是 O 的直径 四边形 ABCD 内接于 O 若 BC CD DA 4cm 则 O 的周长为 A 5 cmB 6 cmC 9 cmD 8 cm 考点 圆心角 弧 弦的关系 等边三角形的判定与性质 第 13 页 共 26 页 分析 如图 连接 OD OC 根据圆心角 弧 弦的关系证得 AOD 是等边三角形 则 O 的半径 长为 BC 4cm 然后由圆的周长公式进行计算 解答 解 如图 连接 OD OC AB 是 O 的直径 四边形 ABCD 内接于 O 若 BC CD DA 4cm AOD DOC BOC 60 又 OA OD AOD 是等边三角形 OA AD 4cm O 的周长 2 4 8 cm 故选 D 点评 本题考查了圆心角 弧 弦的关系 等边三角形的判定 该题利用 有一内角是 60 度的 等腰三角形为等边三角形 证得 AOD 是等边三角形 10 如图 AB 是 O 的弦 点 C 在圆上 已知 OBA 40 则 C A 40 B 50 C 60 D 80 考点 圆周角定理 分析 首先根据等边对等角即可求得 OAB 的度数 然后根据三角形的内角和定理求得 AOB 的 度数 再根据圆周角定理即可求解 解答 解 OA OB OAB OBA 40 AOB 180 40 40 100 第 14 页 共 26 页 C AOB 100 50 故选 B 点评 本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理 正确理解定理是关键 二 填空题 共二 填空题 共 6 6 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 共分 共 1818 分 分 11 如图 在 O 中 弦 AB CD 若 ABC 40 则 BOD 80 考点 圆周角定理 平行线的性质 分析 根据平行线的性质由 AB CD 得到 C ABC 40 然后根据圆周角定理求解 解答 解 AB CD C ABC 40 BOD 2 C 80 故答案为 80 点评 本题考查了圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 一条弧所对的 圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半 也考查了平行线的性质 12 如图 在矩形 ABCD 中 AB 4 AD 3 以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆 若要求另外三个顶点 A B C 中至少有一个点在圆内 且至少有一个点在圆外 则 r 的取值范围是 3 r 5 考点 点与圆的位置关系 分析 要确定点与圆的位置关系 主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断 当 d r 时 点在圆外 当 d r 时 点在圆上 当 d r 时 点在圆内 解答 解 在直角 ABD 中 CD AB 4 AD 3 则 BD 5 第 15 页 共 26 页 由图可知 3 r 5 故答案为 3 r 5 点评 此题主要考查了点与圆的位置关系 解决本题要注意点与圆的位置关系 要熟悉勾股定理 及点与圆的位置关系 13 如图 已知 BOA 30 M 为 OB 边上一点 以 M 为圆心 2cm 为半径作 M 点 M 在射线 OB 上 运动 当 OM 5cm 时 M 与直线 OA 的位置关系是 相离 考点 直线与圆的位置关系 专题 常规题型 分析 作 MH OA 于 H 如图 根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 MH OM 则 MH 大 于 M 的半径 然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解 解答 解 作 MH OA 于 H 如图 在 Rt OMH 中 HOM 30 MH OM M 的半径为 2 MH 2 M 与直线 OA 的位置关系是相离 故答案为相离 点评 本题考查了直线与圆的位置关系 设 O 的半径为 r 圆心 O 到直线 l 的距离为 d 直线 l 和 O 相交 d r 直线 l 和 O 相切 d r 直线 l 和 O 相离 d r 14 如图 正方形 ABCD 内接于 O 其边长为 4 则 O 的内接正三角形 EFG 的边长为 2 第 16 页 共 26 页 考点 正多边形和圆 分析 连接 AC OE OF 作 OM EF 于 M 先求出圆的半径 在 RT OEM 中利用 30 度角的性质即 可解决问题 解答 解 连接 AC OE OF 作 OM EF 于 M 四边形 ABCD 是正方形 AB BC 4 ABC 90 AC 是直径 AC 4 OE OF 2 OM EF EM MF EFG 是等边三角形 GEF 60 在 RT OME 中 OE 2 OEM GEF 30 OM EM OM EF 2 故答案为 2 点评 本题考查正多边形与圆 等腰直角三角形的性质 等边三角形的性质等知识 解题的关键 是熟练应用这些知识解决问题 属于中考常考题型 15 已知扇形的半径为 6cm 圆心角的度数为 120 则此扇形的弧长为 4 cm 考点 弧长的计算 第 17 页 共 26 页 分析 在半径是 R 的圆中 因为 360 的圆心角所对的弧长就等于圆周长 C 2 R 所以 n 圆心 角所对的弧长为 l n R 180 解答 解 扇形的半径为 6cm 圆心角的度数为 120 扇形的弧长为 4 cm 故答案为 4 点评 本题考查了弧长的计算 解答该题需熟记弧长的公式 l 16 如图 半圆 O 的直径 AB 2 弦 CD AB COD 90 则图中阴影部分的面积为 考点 扇形面积的计算 分析 由 CD AB 可知 点 A O 到直线 CD 的距离相等 结合同底等高的三角形面积相等即可得 出 S ACD S OCD 进而得出 S阴影 S扇形 COD 根据扇形的面积公式即可得出结论 解答 解 弦 CD AB S ACD S OCD S阴影 S扇形 COD 故答案为 点评 本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质 解题的关键是找出 S阴影 S扇形 COD 本题 属于基础题 难度不大 解决该题型题目时 通过分割图形找出面积之间的关系是关键 三 解答题 共三 解答题 共 8 8 题 共题 共 7272 分 分 17 圆锥底面圆的半径为 3m 其侧面展开图是半圆 求圆锥母线长 考点 圆锥的计算 分析 侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长 依此列出方程即可 解答 解 设母线长为 x 根据题意得 2 x 2 2 3 解得 x 6 第 18 页 共 26 页 故圆锥的母线长为 6m 点评 本题考查圆锥的母线长的求法 注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点 18 在一个底面直径为 5cm 高为 18cm 的圆柱形瓶内装满水 再将瓶内的水倒入一个底面直径是 6cm 高是 10cm 的圆柱形玻璃杯中 能否完全装下 若未能装满 求杯内水面离杯口的距离 考点 圆柱的计算 专题 计算题 分析 设将瓶内的水倒入一个底面直径是 6cm 高是 10cm 的圆柱形玻璃杯中时 水面高为 xcm 根据水的体积不变和圆柱的条件公式得到 2 x 2 18 解得 x 12 5 然后把 12 5 与 10 进行大小比较即可判断能否完全装下 解答 解 设将瓶内的水倒入一个底面直径是 6cm 高是 10cm 的圆柱形玻璃杯中时 水面高为 xcm 根据题意得 2 x 2 18 解得 x 12 5 12 5 10 不能完全装下 点评 本题考查了圆柱 圆柱的母线 高 等于展开后所得矩形的宽 圆柱的底面周长等于矩形 的长 圆柱的侧面积 底面圆的周长 高 圆柱的表面积 上下底面面积 侧面积 圆柱的体积 底面 积 高 19 如图 AB 和 CD 分别是 O 上的两条弦 过点 O 分别作 ON CD 于点 N OM AB 于点 M 若 ON AB 证明 OM CD 考点 垂径定理 全等三角形的判定与性质 专题 证明题 第 19 页 共 26 页 分析 设圆的半径是 r ON x 则 AB 2x 在直角 CON 中利用勾股定理即可求得 CN 的长 然后 根据垂径定理求得 CD 的长 然后在直角 OAM 中 利用勾股定理求得 OM 的长 即可证得 解答 证明 设圆的半径是 r ON x 则 AB 2x 在直角 CON 中 CN ON CD CD 2CN 2 OM AB AM AB x 在 AOM 中 OM OM CD 点评 此题涉及圆中求半径的问题 此类在圆中涉及弦长 半径 圆心角的计算的问题 常把半 弦长 半圆心角 圆心到弦距离转换到同一直角三角形中 然后通过直角三角形予以求解 20 如图为桥洞的形状 其正视图是由和矩形 ABCD 构成 O 点为所在 O 的圆心 点 O 又恰 好在 AB 为水面处 若桥洞跨度 CD 为 8 米 拱高 OE 弦 CD 于点 F EF 为 2 米 求所在 O 的 半径 DO 考点 垂径定理的应用 矩形的性质 分析 先根据垂径定理求出 DF 的长 再由勾股定理即可得出结论 解答 解 OE 弦 CD 于点 F CD 为 8 米 EF 为 2 米 第 20 页 共 26 页 EO 垂直平分 CD DF 4m FO DO 2 在 Rt DFO 中 DO2 FO2 DF2 则 DO2 DO 2 2 42 解得 DO 5 答 所在 O 的半径 DO 为 5m 点评 本题考查的是垂径定理的应用 此类题中一般使用列方程的方法 这种用代数方法解决几 何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 21 ABC 是 O 的内接三角形 BC 如图 若 AC 是 O 的直径 BAC 60 延长 BA 到点 D 使得 DA BA 过点 D 作直线 l BD 垂足为点 D 请将图形补充完整 判断直线 l 和 O 的位 置关系并说明理由 考点 直线与圆的位置关系 分析 作 OF l 于 F CE l 于 E 设 AD a 则 AB 2AD 2a 只要证明 OF 是梯形 ADEC 的中位线 即可解决问题 解答 解 图形如图所示 直线 l 与 O 相切 理由 作 OF l 于 F CE l 于 E AC 是直径 ABC 90 l BD BDE 90 第 21 页 共 26 页 OF l CE l AD OF CE AO OC DF FE OF AD CE 设 AD a 则 AB 2AD 2a ABC BDE CED 90 四边形 BDEC 是矩形 CE BD 3a OF 2a 在 Rt ABC 中 ABC 90 ACB 30 AB 2a AC 4a OF OA 2a 直线 l 是 O 切线 点评 本题考查直线与圆的位置关系 图形中位线的性质等知识 解题的关键是添加辅助线 要 证明切线的方法有两种 一是连半径 证垂直 二是作垂直 正半径 此题则是运用第二种方法 22 如图直角坐标系中 已知 A 8 0 B 0 6 点 M 在线段 AB 上 1 如图 1 如果点 M 是线段 AB 的中点 且 M 的半径为 4 试判断直线 OB 与 M 的位置关系 并说明理由 2 如图 2 M 与 x 轴 y 轴都相切 切点分别是点 E F 试求出点 M 的坐标 考点 直线与圆的位置关系 坐标与图形性质 分析 1 设线段 OB 的中点为 D 连结 MD 根据三角形的中位线求出 MD 根据直线和圆的位 置关系得出即可 第 22 页 共 26 页 2 求出过点 A B 的一次函数关系式是 y x 6 设 M a a 把 x a y a 代入 y x 6 得出关于 a 的方程 求出即可 解答 解 1 直线 OB 与 M 相切 理由 设线段 OB 的中点为 D 连结 MD 如图 1 点 M 是线段 AB 的中点 所以 MD AO MD 4 AOB MDB 90 MD OB 点 D 在 M 上 又 点 D 在直线 OB 上 直线 OB 与 M 相切 2 解 连接 ME MF 如图 2 A 8 0 B 0 6 设直线 AB 的解析式是 y kx b 解得 k b 6 即直线 AB 的函数关系式是 y x 6 第 23 页 共 26 页 M 与 x 轴 y 轴都相切 点 M 到 x 轴 y 轴的距离都相等 即 ME MF 设 M a a 8 a 0 把 x a y a 代入 y x 6 得 a a 6 得 a 点 M 的坐标为 点评 本题考查了直线和圆的位置关系 用待定系数法求一次函数的解析式的应用 能综合运用 知识点进行推理和计算是解此题的关键 注意 直线和圆有三种位置关系 已知 O 的半径为 r 圆心 O 到直线 l 的距离是 当 d r 时 直线 l 和 O 相切 23 已知等边三角形 ABC AB 12 以 AB 为直径的半圆与 BC 边交于点 D 过点 D 作 DF AC 垂足 为 F 过点 F 作 FG AB 垂足为 G 连接 GD 1 求证 DF 与 O 的位置关系并证明 2 求 FG 的长 考点 直线与圆的位置关系 等边三角形的性质 勾股定理 垂径定理 分析 1 连接 OD 证 ODF 90 即可 2 利用 ADF 是 30 的直角三角形可求得 AF 长 同理可利用 FHC 中的 60 的三角函数值可求 得 FG 长 解答 1 证明 连接 OD 以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的半圆与 BC 边交于点 D B C ODB