基本不等式求最值的策略

例谈用基本不等式求最值的四大策略例谈用基本不等式求最值的四大策略 摘要摘要 基本不等式 当且仅当时等号成立 是高中必ab ba 2 0 0 baba 修五 不等式 一章的重要内容之一 也是高考常考的重要知识点 从本质上 看 基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系 所以在求取积的最值 和的最值当中 基本不等式将会焕发出强大的生命力 它将会是解决最值问题 的强有力工具 本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略 关键字 关键字 基本不等式 求和与积的最值 策略 一 一 基本不等式的基础知识基本不等式的基础知识 1 1 基本不等式 如果 则 当且仅当时等号成立 0 0 baab ba 2 ba 在基本不等式的应用中 我们需要注意以下三点 一正 b 是正数 这是利用基本不等式求最值的前提条件 a 二定 当两正数的和是定值时 积有最大值 当两正数的积是b aabab 定值时 和有最小值 b a 三相等 是的充要条件 所以多次使用基本不等式时 ba ab ba 2 要注意等号成立的条件是否一致 二 二 利用基本不等式求最值的四大策略利用基本不等式求最值的四大策略 策略一策略一 利用配凑法 构造可用基本不等式求最值的结构利用配凑法 构造可用基本不等式求最值的结构 通过简单的配凑 凑系数或凑项 后 使原本与基本不等式结构不一致的 式子 变为结构一致 再利用均值不等式求解最值 题型一题型一 配凑系数配凑系数 例 1 设 求函数的最大值 2 3 0 x 23 4xxy 分析 因为不是个定值 所以本题无法直接运用基本不等xxx23 23 4 式求解 但凑系数将 4拆为后可得到和为定值 从而可xx22 3 23 2 xx 利用基本不等式求其最大值 解 因为 所以 2 3 0 x023 x 故 2 9 2 232 2 23 22 23 4 2 xx xxxxy 当且仅当即时等号成立 232xx 2 3 0 4 3 x 所以原式的最大值为 2 9 题型二题型二 配凑项配凑项 1 1 配凑常数项配凑常数项 例 2 已知 求函数的最大值 2 5 4 x 54 1 24 x xy 分析 因 所以首先要 调整 符号 另外 又不450 x 54 1 24 x xy 是常数 所以对要进行拆 凑项 42x 解 因为 所以 4 5 x045 x 所以2 45 1 45 x x 所以1323 45 1 45 54 1 24 x x x xy 当且仅当 即时 上式等号成立 故当时 y 取最大值 1 54 54 x x 1x 1x 1 2 2 配凑一般项配凑一般项 例 3 2010 年高考四川文科卷第 11 题 设 则的最 0ab 2 11 a aba ab 小值是 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 如果要利用基本不等式来求和的最小值 就必须出现积的定值 考虑到 即 所以配凑这 1 1 ab ab 1 1 baa baa 1 1 2 2 aba aba abab 两项 解 因为 所以 故 0 ba0 ab 0 1 ab 2 1 2 1 ab ab ab ab 而 0 baa 0 1 baa 所以 2 1 2 1 baa baa baa baa 故w 2 11 a aba ab 2 11 aabab aba ab 2 2 4 11 aba ab aba ab 当且仅当ab 1 a a b 1 时等号成立 如取a b 式子取 2 2 2 得最小值 4 故选择答案D 策略二策略二 遇到分式 可尝试分离后再用基本不等式遇到分式 可尝试分离后再用基本不等式 题型一 配凑分子 分离分式题型一 配凑分子 分离分式 对于分子次数比分母高的分式不等式 可尝试先对分子进行配凑 使之出 现与分母相同的项 然后分离得到可用基本不等式求解的结构 例 4求的最小值 2 1 1 22 y 2 x x xx 分析 可先将分子配凑出含有的项 再将其分离 1x 解 因为 所以1 x01 x 所以2 1 1 1 1 1 1 1 22 22 x x x x x xx 当且仅当 2 1 1 1时取等号时 也就是 x x x 所以的最小值为 2 y 题型二 同除分子 分离分母题型二 同除分子 分离分母 对于分母次数比分子高的分式不等式 可尝试上下同除以分子 使分母出 现互倒的结构 再用基本不等式求最值 例 5求的值域 9 y 2 x x 分析 题目没有交代的取值范围 此题需要分类讨论 x 解 当时 分子分母同除以 则0 xx x x x x 9 1 9 y 2 1 当 6 9 2 9 0 x x x xx时 有 所以 当且仅当 6 1 9 1 y x x 时 等号成立3 x 2 当 6 9 6 9 2 9 0 x x x x x xx 所以时 有 故 当且仅当 6 1 9 1 x x y时 等号成立3 x 当 0时0 x 9 y 2 x x 综上可知 y 的取值范围是 6 1 6 1 策略三策略三 遇到根式 可尝试平方后再用基本不等式遇到根式 可尝试平方后再用基本不等式 例 6 求函数的最大值 2 5 2 1 2512y xxx 分析 观察式子的结构 可以看到 所以将式子是个定值4 25 12 xx 平方后 便可构造出可用基本不等式的结构 解 将两边平方 得xx2512y 8 25 12 4 25 12 24 2512 y 22 xxxxxx 又因为 y 0 所以220 y 当且仅当 2 即xx251 2 3时 取等号 x 所以 y 的最大值是 2 策略四策略四 利用利用 1 1 的性质 合理代换后再用基本不等式的性质 合理代换后再用基本不等式 1 是一个特殊的数 任何式子乘以 1 式子仍不变 所以如果题目条件 给出某个式子的值为 1 则可在要求最值的式子上乘以这个式子 从而构造出 可用基本不等式的形式 例 7 设 且 求的最小值 0 xy1 11 yx yx 分析 由于 所以 故可用基本不等1 11 yx yx y x x y yx yx 2 11 式求最值 解 由于 所以 1 11 yx yx y x x y yx yx 2 11 又由于 故00y0 x y y x xxy和同号 故和 所以22 y y x x y y x x 所以 yx 4222 y x x y 当且仅当 11时 取等号或 即 yx x y y x 所以 原式的最小值为 2 总结总结 以上四种策略 是用基本不等式解决最值问题的常用方法 无论是配凑系 数与项 分离分子与分母 平方去根号 还是利用 1 整体代换 其目的只有 一个 那就是构造出和为定值或者是积为定值的两项 然后才可用基本不等式 构造可用基本不等式的结构 是解决此类最值问题的根本所在 参考文