高三数学立体几何专题

立体几何专题立体几何专题 命题趋向命题趋向 高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上 着重考查空间点 线 面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算 既有以选择题 填空题形式出现的试题 也有以解答 题形式出现的试题 选择题 填空题大多考查概念辨析 位置关系探究 空间几何量的简单计算求解 考查画图 识图 用图的能力 解答题一般以简单几何体为载体 考查直线与直线 直线与平面 平 面与平面的位置关系 以及空间几何量的求解问题 综合考查空间想象能力 推理论证能力和运算求 解能力 试题在突出对空间想象能力考查的同时 关注对平行 垂直关系的探究 关注对条件或结论 不完备情形下的开放性问题的探究 考点透析考点透析 立体几何主要考点是柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 三视图 直观 图 表面积体积的计算 空间点 直线 平面的位置关系判断与证明 理科 空间向量在平行 垂 直关系证明中的应用 空间向量在计算空间角中的应用等 例题解析例题解析 题型题型 1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例例 1 2008 高考海南宁夏卷 高考海南宁夏卷 某几何体的一条棱长为 在该几何体的正视图中 这条棱的投7 影是长为的线段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为和的线段 6ab 则的最大值为ab A B C 4D 223252 分析分析 想像投影方式 将问题归结到一个具体的空间几何体中解决 解析解析 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算 如图设长方体的高宽高分别为 m n k 由题意得 222 7mnk 22 6mk 1n 所以 2 1ka 2 1mb 22 1 1 6ab 当且仅当 22 8ab 22222 282816abaabbabab 4ab 时取等号 2ab 点评点评 本题是课标高考中考查三视图的试题中难度最大的一个 我们通过移动三个试图把问题归 结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影 使问题获得了圆满的解决 例例 2 2008 高考山东卷 高考山东卷 2009 年福建省理科数学高考样卷第年福建省理科数学高考样卷第 3 题 题 下图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 A B C D 9 10 11 12 分析分析 想像 还原这个空间几何体的构成 利用有关的计算公式解答 解析 解析 这个空间几何体是由球和圆柱组成的 圆柱的底面半径是 母线长是 球的半径是 131 故其表面积是 答案 D 22 21 3214112 点评点评 由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意 高平齐 宽相等 长对正 的规则 例例 3 江苏省苏州市 江苏省苏州市 2009 届高三教学调研测试第届高三教学调研测试第 12 题 题 已知一个正三棱锥的主视图如PABC 图所示 若 3 2 ACBC 则此正三棱锥的全面积为 6PC 分析分析 正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥 根据这个主试图知道 主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱 并且和底面三角形的一条边垂直 这样就 知道了这个三棱锥的各个棱长 解析解析 这个正三棱锥的底面边长是 高是 故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是36 故这个正三棱锥的侧棱长是 由此知道这个正三棱锥的侧面 23 33 32 22 363 也是边长为的正三角形 故其全面积是 答案 3 2 3 439 3 4 9 3 点评点评 由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题 对给出的这 一个视图 要仔细辨 别投影方向 这是三视图问题的核心 题型题型 2 空间点 线 面位置关系的判断空间点 线 面位置关系的判断 例例 4 江苏苏州市 江苏苏州市 2009 届高三教学调研测试届高三教学调研测试 7 已知是两条不同的直线 为两个不同nm 的平面 有下列四个命题 若 则 nm mn 若 则 nmnm 若 则 nmnm 若 则 nm nm 其中正确的命题是 填上所有正确命题的序号 分析分析 根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断 解析 我们借助于长方体模型解决 解析 我们借助于长方体模型解决 中过直线作平面 可以得到平面所成的二面 m n 角为直二面角 如图 1 故 正确 的反例如图 2 的反例如图 3 中由 可得 过作平面可得与交线平行 由于 故 答案答案 m Am n ngmg mn 点评点评 新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型 本题就是通过这个 模型中提供的空间线面位置关系解决的 在解答立体几何的选择题 填空题时合理地使用这个模 型是很有帮助的 例例 5 浙江省 浙江省 2009 年高考省教研室第一次抽样测试理科第年高考省教研室第一次抽样测试理科第 5 题 题 设是两条不同的直线 m n 是两个不同的平面 下列命题正确的是 A 若 则 B 若则 mn mn mn mn C 若 则 D 若则 mn mn mn mn 分析 借助模型 根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断 解析 解析 对于 结合则可推得 答案 C mn mn 点评点评 从上面几个例子可以看出 这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异 但本质 上都是以空间想象 空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的 主要是考查考生的空间 想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度 题型题型 3 空间平行与垂直关系的证明 空间几何体的有关计算 文科解答题的主要题型 空间平行与垂直关系的证明 空间几何体的有关计算 文科解答题的主要题型 例例 6 2009 江苏泰州期末江苏泰州期末 16 如图所示 在棱长为的正方体中 分2 1111 ABCDABC D EF 别为 的 1 DDDB 中点 1 求证 平面 EF 11 ABC D 2 求证 1 EFBC 3 求三棱锥的体积 EFCB V 1 分析分析 第一问就是找平行线 最明显的就是 第二问转化为线面垂直进行证明 第三 1 EFBDA 问采用三棱锥的等积变换解决 解析 解析 1 连结 如图 在中 1 BDBDD1 分别为 的中点 则EF 1 D DDB 平面 1 111 11 EFD B D BABC DEF EFABC D 平面 平面 11 ABC D 2 1 1111111 1 1111111 1 BCAB BCBCBCBDBCABC D EFBC AB BCABC DEFBDBDABC D ABBCB 平面 平面平面 3 平面 且 CF 11 BDD B 1 CFEFB 平面2CFBF 1 1 3 2 EFBD 2222 11 2 26B FBFBB 2222 1111 1 2 2 3B EB DD E 即 222 11 EFB FB E 1 90EFB 111 1 3 BEFCC B EFB EF VVSCF 1 11 32 EF B F CF 11 3621 32 点评点评 这个题目也属于文科解答题的传统题型 空间线面位置关系证明的基本思想是转化 根据 线面平行 垂直关系的判定和性质 进行相互之间的转化 如本题第二问是证明线线垂直 但问 题不能只局限在线上 要把相关的线归结到某个平面上 或是把与这些线平行的直线归结到某个 平面上 通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的 但证明线面垂直又得借助于线线垂直 在不断的相互转化中达到最终目的 立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形 可以通过 换顶点 实行等体积变换 这也是求点面距离的基本方法之一 例例 7 江苏省苏州市 江苏省苏州市 2009 届高三教学调研测试第届高三教学调研测试第 17 题 题 在四棱锥中 PABCD 平面 为的中点 90ABCACD 60BACCAD PA ABCDEPD 22PAAB 1 求四棱锥的体积 PABCD V 2 若为的中点 求证平面 FPCPC AEF 3 求证 平面 CEPAB 分析分析 第一问只要求出底面积和高即可 第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明 第三问的线 面平行即可以通过证明线线平行 利用线面平行的判定定理解决 也可以通过证明面面平行解决 即通过证明直线所在的一个平面和平面的平行解决 CEPAB 解析解析 1 在中 ABC Rt1 60ABBAC 3BC 2AC 在中 ACDRt 2 60ACACD 2 3 4CDAD 11 22 ABCD SAB BCAC CD 115 1322 33 222 则 155 323 323 V 2 为的中点 PACA FPCAFPC 平面 平面 PA ABCDPACD ACCD PAACA CD PAC CDPC 为中点 为中点 则 平面EPDFPCEFCDEFCD AFEFF PC AEF 3 证法一 取中点 连 则 平面 平面 ADM EM CMEMPAEM PABPA PAB 平面 EMPAB 在中 而 ACD Rt60CAD 2ACAM 60ACM 60BAC MC AB 平面 平面 MC PABAB PAB 平面 MCPAB 平面 平面 EMMCM EMCPAB 平面 平面 EC EMCECPAB 证法二 延长 设它们交于点 DC ABN 连 PN60NACDAC ACCD 为的中点 为中点 CNDEPDEC PN 平面 平面 EC PABPN PAB 平面 ECPAB 点评点评 新课标高考对文科的立体几何与大纲的高考有 了诸多的变化 一个方面增加了空间几何体的三视图 表面积和体积计算 拓展了命题空间 另一方面删除了 三垂线定理 删除了凸多面体的概念 正多面体的概念 与性质 球的性质与球面距离 删除了空间向量 这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁 由于 这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算 空间线面 位置关系的证明 主要是平行与垂直 题型题型 4 空间向量在立体几何中的应用 理科立体几何解答题的主要题型 空间向量在立体几何中的应用 理科立体几何解答题的主要题型 例例 8 2009 年福建省理科数学高考样卷第年福建省理科数学高考样卷第 18 题 题 如图 在棱长为的正方体2 中 分别为和的中点 1111 ABCDABC D EF 11 AD 1 CC 1 求证 平面 EF 1 ACD 2 求异面直线与所成的角的余弦值 EFAB 3 在棱上是否存在一点 使得二面角的大小为 若存在 求出的长 1 BBPPACP 30 BP 若不存在 请说明理由 解析解析 解法一 如图分别以所在的直线为 轴 轴 轴建立空间直角坐标 1 DA DC DDxyz 系 Dxyz 由已知得 0 0 0D 2 0 0A 2 2 0B 0 2 0C 1 2 2 2B 1 0 0 2D 1 0 2E 0 2 1F 1 取中点 则 1 ADG 1 0 1G 又 1 2 1CG 1 2 1EF 由 EFCG 与共线 从而 EF CG EFCG 平面 平面 平面 CG 1 ACDEF 1 ACDEF 1 ACD 2 0 2 0AB 46 cos 3 2 6 EF AB EF AB EFAB 异面直线与所成角的余弦值为 EFAB 3 6 3 假设满足条件的点存在 可设点 平面的一个法向量为P 2 2 Pt02t ACP nx y z 则 0 0 n AC n AP 0 2 APt 2 2 0AC 220 20 xy ytz 取 2 1 1 n t 易知平面的一个法向量 ABC 1 0 0 2 BB 依题意知 或 1 30BB n 150 即 解得1 2 4 3 cos 24 22 t BB N t 22 434 2 4tt 6 3 t 在棱上存在一点 当的长为时 二面角的大小为 6 0 2 3 1 BBPBP 6 3 PACB 30 解法二 1 同解法一知 1 2 1EF 1 2 0 2AD 2 2 0AC 共面 又 平面 平面 1 1 2 EFACAD EF AC 1 AD EF 1 ACDEF 1 ACD 2 3 同解法一 解法三 易知平面的一个法向量是 又 由 1 ACD 1 2 2 2DB 1 2 1EF 1 0EF DB 而平面 平面 1 EFDB EF 1 ACDEF 1 ACD 2 3 同解法一 点评点评 本题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 二面角的概念等基础知识 考查空间 想像能力 推理论证能力和探索问题 解决问题的能力 利用空间向量证明线面平行的方法基本 上就是本题给出的三种 一是证明直线的方向向量和平面内的一条直线的方向向量共线 二是证 明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面 根据共面向量定理作出结论 三是证明直 线的方向向量与平面的一个法向量垂直 例例 9 浙江宁波市 浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第学年度第一学期期末理科第 20 题 题 已知几何体的三视图如图ABCED 所示 其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形 正视图为直角梯形 4 1 求异面直线与所成角的余弦值 DEAB 2 求二面角的正弦值 AEDB 3 求此几何体的体积的大小 V 解析解析 1 取的中点是 连结 则 或其补角即为异面直线ECFBFBFDEAFBA 与所成的角 在中 DEABBAF 4 2AB 2 5BFAF 10 cos 5 ABF 异面直线与所成的角的余弦值为 DEAB 10 5 2 平面 过作交于 连结 AC BCECCGDE DEGAG 可得平面 从而 DE ACGAGDE 为二面角的平面角 AGC AEDB 在中 ACG Rt90ACG 4AC 8 5 5 CG 5 tan 2 AGC 5 sin 3 AGC 二面角的的正弦值为 AEDB 5 3 3 几何体的体积为 1 16 3 BCED VSAC V16 方法二 坐标法 1 以为原点 C 以所在直线为轴建立空间直角坐标系 CA CB CE x y z 则 4 0 0A 0 4 0 B 0 4 2 D 0 0 4E 0 4 2 4 4 0 DEAB 10 cos 5 DE AB 异面直线与所成的角的余弦值为 DEAB 10 5 2 平面的一个法向量为 BDE 4 0 0 CA 设平面的一个法向量为 ADE nx y z nAD nDE 4 4 2 0 4 2 ADDE 0 0n ADn DE AA 从而 4420 420 xyzyz 令 则 1y 2 1 2 n 2 cos 3 CA n 二面角的的正弦值为 AEDB 5 3 3 几何体的体积为 1 16 3 BCED VSAC V16 点评 点评 本题考查异面直线所成角的求法 考查二面角的求法和多面体体积的求法 空间向量对解 决三类角 异面直线角 线面角 面面角 的计算有一定的优势 对理科考生来说除了要在空间 向量解决立体几何问题上达到非常熟练的程度外 不要忽视了传统的方法 有些试题开始部分的 证明就没有办法使用空间向量 专题训练与高考预测专题训练与高考预测 说明 文科以选择题 填空题和解答题前三题为主 理科以选择题 填空题和解答题后三题为说明 文科以选择题 填空题和解答题前三题为主 理科以选择题 填空题和解答题后三题为 主 主 一 选择题一 选择题 1 如图为一个几何体的三视图 尺寸如图所示 则该几何体的表面积为 不考虑接触点 A B C D 63 1834 182 3 32 2 某几何体的三视图如图所示 根据图中数据 可得该几何体的体积是 A B C D 3 23 23 3 2 23 3 3 22 3 3 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形 俯视图是直径为的圆 则此几何22 体的外接球的表面积为 A B 3 4 3 8 C D 3 16 3 32 4 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 腰和上底长均为 的等腰梯形 则这45 1 个平面图形的面积是 A B C D 2 2 2 1 2 2 1 21 22 5 一个盛满水的三棱锥容器 不久发现三条侧棱上各有一个小洞 且知SABC D E F 若仍用这个容器盛水 则最多可盛原来水的 2 1SD DASE EBCF FS A B C D 29 23 27 19 31 30 27 23 6 点在直径为的球面上 过作两两垂直的三条弦 若其中一条弦长是另一条弦长的倍 则P2P2 这三条弦长之和为最大值是 A B C D 2 70 5 3 70 5 4 15 5 6 15 5 7 正方体中 的中点为 的中点为 异面直线 与 所成 ABCDA B C D ABM DDN B MCN 的角是 A B C D 30 90 45 60 8 已知异面直线和所成的角为 为空间一定点 则过点且与所成角都是 的直ab50 PP a b30 线有且仅有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 9 如图所示 四边形中 将 沿ABCD 45 90ADBC ADABBCDBAD ABD 折起 使平面平面 构成三棱锥 则在三棱锥中 下列命BDABD BCDABCD ABCD 题正确的是 A 平面平面 B 平面平面 ABD ABCADC BDC C 平面平面 D 平面平面ABC BDCADC ABC 10 设 是空间不同的直线或平面 对下列四种情形 均为直线 xyzxyz 是直线 是平面 是直线 是平面 均为平面 xyzzxyxyz 其中使 且 为真命题的是 xzyz xy A B C D 11 已知三条不重合的直线 两个不重合的平面 有下列命题mnl 若 则 mn n m 若 且 则 l m lmA A 若 则 mm mn AA A 若 则 m n nm n 中正确的命题个数是 A B C D 1234 12 直线与直二面角的两个面分别交于两点 且都不在棱上 设直线与ABl A B A BAB 平面所成的角分别为 则的取值范围是 A B C D 0 2 0 2 2 2 二 填空题 13 在三棱锥中 一只蚂蚁从PABC 2PAPBPC 30APBBPCCPA 点出发沿三棱锥的侧面绕一周 再回到点 则蚂蚁经过的最短路程是 AA 14 四面体的一条棱长为 其它各棱长为 若把四面体的体积表示成的函数 则x1Vx f x 的增区间为 减区间为 f x 15 如图 是正方体平面展开图 在这个正方体中 与平行 与是异BMEDCNBE 面直线 与成角 与垂直 以上四个说法中 正确说法的序号依次是 CNBM60 DMBN 16 已知棱长为 的正方体中 是的中点 则直线与平面所1 1111 ABCDABC D E 11 ABAE 11 ABC D 成的角的正弦值是 三 解答题 17 已知 如图是一个空间几何体的三视图 1 该空间几何体是如何构成的 2 画出该几何体的直观图 3 求该几何体的表面积和体积 18 如图 已知等腰直角三角形 其中 点分别是 RBC90RBC 2 BCRB A DRB 的中点 现将沿着边折起到位置 使 连结 RCRAD ADPAD PAAB PBPC 1 求证 BCPB 2 求二面角的平面角的余弦值 PCDA 19 如下图 在正四棱柱中 点分别为的中点 过 1111 ABCDABC D 1 1 2 AAAB E M 11 AB CC 点三点的平面交于点 1 A B M 1 ABMN 11 C DN 1 求证 平面 EM A 1111 ABC D 2 求二面角的正切值 11 BANB 3 设截面把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为 求的 1 ABMN 12 V V 12 VV 12 V V 值 20 如图 在四棱锥中 底面为直角梯形 垂直于底面ABCDP 90ADBCBAD PA 分别为的中点 ABCDNMBCABADPA 22 PBPC 1 求证 2 求与平面所成的角 3 求截面的面积 DMPB BDADMNADMN 21 如图 正方形所在的平面与平面垂直 是和的交点 且ACDEABCMCEADBCAC BCAC 1 求证 平面 AMEBC 2 求直线与平面所成的角的大小 ABEBC 3 求二面角的大小 CEBA 22 已知斜三棱柱 在底面上的射影恰为 111 ABCABC 90BCA 2ACBC 1 AABC 的中点 又知 ACD 11 BAAC 1 求证 平面 2 求到平面的距离 1 AC 1 ABC 1 CC 1 A AB 3 求二面角的一个三角函数值 1 AABC 参考答案 1 解析 C 该几何体是正三棱柱上叠放一个球 故其表面积为 2 2 31 3 2 3224182 3 42 2 解析 B 这个空间几何体的是一个底面边长为的正方形 高为的四棱柱 上半部分是一33 个底面边长为的正方形 高为的四棱锥 故其体积为32 1 3333323 32 3 3 解析 C 由三视图知该几何体是底面半径为 高为的圆锥 其外接球的直径为 13 4 3 3 4 解析 D 如图设直观图为 建立如图所示的坐标系 按照斜二测画法的规则 在原来 O A B C 的平面图形中 且 故其面积为OCOA 2OC 1BC 2 1212 2 OA 1 122222 2 5 解析 D 当平面处于水平位置时 容器盛水最多EFD 2 1 2 1 sin 3 1 sin 3 1 3 1 3 1 hASBSBSA hDSESESD hS hS V V SAB SDE SABC SDEF 27 4 3 1 3 2 3 2 2 1 h h SB SE SA SD 最多可盛原来水得 423 1 2727 6 解析 A 设三边长为 则 2 xx y 22 54xy 令 442 cos 2sin 33cos2sin70 555 xyxy 7 解析 B 如图 取的中点 连结 在正方形中易证 AAPBP ABB A BPB M 8 解析 B 过点作 若 则取为 若 则取为 这时 Paa A bb A Pa a a Pb b b a 相交于点 它们的两组对顶角分别为和 记 所确定的平面为 那么在平 b P50 130 a b 面内 不存在与 都成的直线 过点与 都成角的直线必在平面外 a b 30 P a b 30 这直线在平面的射影是 所成对顶角的平分线 其中射影是对顶角平分线的直线有两 a b 50 条 和 射影是对顶角平分线的直线不存在 故答案选 B l l 130 9 解析 D 如图 在平面图形中 折起后仍然这样 由于平面平面 故CDBD ABD BCD 平面 又 故平面 所以平面平面CD ABDCDAB ABAD AB ADCADC ABC 10 解析 C 均为直线 显然不行 由于垂直于同一个平面的两条直线平行 故 可以xyz 使 且 为真命题 又由于垂直于同一条直线的两个平面平行 故 可以使 xzyz xy 且 为真命题 当 均为平面时 也不能使 且xzyz xyxyzxz 为真命题 yz xy 11 解析 B 中有的可能 且 可得 又 故 正确 m lmAl m m A 中当时 结论不成立 就是面面垂直的性质定理 正确 故两个正确的 m nA 12 解析 B 如图 在中 而 即Rt ADC cos sinADABACAB ADAC 故 即 而当时 cossincos 2 2 2 ABl 2 13 解析 将如图 三棱锥 沿棱展开得图 蚂蚁经过的最短路程应是 2 2PABC PAA A 又 30APBBPCCPA 90APA A A 22 14 解析 利用不等式或导数即可判断 6 0 2 3 2 6 2 3 4 x f xx 15 解析 如图 逐个判断即可 16 解析 取的中点 连接交平面于 连 由已知正方体 易知 10 5 CDFEF 11 ABC DOAO 平面 所以为所求 在中 EO 11 ABC DEAO EOA Rt 1 112 222 EOEFAD 所以直线与平面所成的角的正弦值 22 15 1 22 AE 10 sin 5 EO EAO AE AE 11 ABC D 为 10 5 17 解析 1 这个空间几何体的下半部分是一个底面边长为的正方形高为 的长方体 上半部分21 是一个底面边长为的正方形高为 的四棱锥 21 2 按照斜二测的规则得到其直观图 如图 3 由题意可知 该几何体是由长方体与正四棱锥构成的 ABCDA B C D PA B C D 简单几何体 由图易得 取中点 连接 从而2 1 1ABADAAPO A BQPQ 所以该几何体表面积 2222 112PQPOO Q 1 4 212 2 SA BB CC DD A PQA BB CC DD AAAAB AD 体积 116 2 2 12 2 1 33 V 18 解析 1 点 分别是 的中点 ADRBRCBCADBCAD 2 1 90PADRADRBC ADPA BCPA 平面 平面 AABPAABBC BC PAB PBPABPBBC 2 取的中点 连结 RDFAFPF1 ADRARCAF 平面 ADAPARAP APRBC 平面 RCRBCAPRC 平面 AAPAF RCPAF 平面 PFPAFPFRC 是二面角的平面角 AFP PCDA 在中 RAD Rt 2 2 2 1 2 1 22 ADRARDAF 在中 PAF Rt 2 6 22 AFPAPF 3 3 2 6 2 2 cos PF AF AFP 二面角的平面角的余弦值是 PCDA 3 3 19 解析 1 设的中点为 连结 11 ABF 1 EF FC 为的中点 E 1 ABEF 1 1 2 BB 又 四边形为平行四边形 1 C M 1 1 2 BBEF 1 MC 1 EMC F 平面 平面 1 EMFCAEM 1111 ABC D 1 FC 1111 ABC D 平面 EM A 1111 ABC D 2 作于 连结 平面 11 B HAN HBH 1 BB 1111 ABC D 1 BHAN 为二面角的平面角 1 BHB 11 BANB 平面 平面 平面平面 EM 1111 ABC DEM 1 ABMN 1 ABMN 11111 ABC DAN 又 1 EMANA 1 EMFCA 11 ANFCA 又 四边形是平行四边形 11 AFNCA 11 AFC N 11 NCAF 设 则 1 AAa 11 2ABa 1 D Na 在中 sin A1ND1 11 AD N Rt 22 1111 5A NADD Na 11 11 1 2 sin 5 AD A ND A N 在中 11 AB H Rt 11111 24 sin2 55 a B HABHABa 在中 1 BB H Rt 1 1 1 5 tan 4 4 5 BBa BHB B H a 3 延长与交于 则平面 且平面 1 AN 11 BCPP 1 ABMNP 11 BBC C 又 平面平面 1 ABMN 11 BBC CBM 即直线交于一点 PBM 111 AN BC BMP 又 平面 平面 几何体为棱台 1 MNC A 11 BAB 111 MNCBAB 11 2 1 2 2 A BB Sa aa 1 2 111 224 MNC Saaa 棱台的高为 111 MNCBAB 11 2BCa 故 22223 1 1117 2 3446 Vaaaaaa 33 2 717 22 66 Vaa aaa 1 2 7 17 V V 20 解析 1 因为是的中点 所以 由底面 得NPBABPA PBAN PA ABCD PAAD 又 即 平面 所以 平面90BAD BAAD ADPABPBAD PB ADMN DMPB 2 连结 因为平面 即平面 所以是 与平DN BPADMN BNADMNBDN BD 面所成的角 在中 在中 ADMNABD Rt 22 2 2BDBAAD PAB Rt 故 在中 又 22 2 2PBPAAB 1 2 2 BNPB BDN Rt 2 1 sin BD BN BDN 故与平面所成的角是 0 2 BDN BDADMN 6 3 由分别为的中点 得 且 又 故 M NPBPC MNBC 11 22 MNBC ADBC MNAD 由 1 得平面 又平面 故 四边形是直角梯 ADPABAN PABADAN ADMN 形 在中 截面的面积Rt PAB 22 2 2PBPAAB 1 2 2 ANPB ADMN 11 15 2 2 2 22 24 SMNADAN 法二 1 以点为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示 图略 AAxyz 由 得 22 BCABADPA 0 0 0 A 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0 2 0 2 PBMD 因为 所以 3 2 0 2 1 1 2 PB DM 0 DMPB 2 因为 所以 又 2 0 2 0 2 0 PB AD 0 PBAD DMPB 故平面 即是平面的法向量 PB ADMN 2 0 2 PB ADMN 设与平面所成的角为 又 BDADMN 2 2 0 BD 则 4 1 sin cos 2 4444 BD PB BD PB BDPB 又 故 即与平面所成的角是 0 2 6 BDADMN 6 因此与平面所成的角为 BDADMN 6 3 同法一 21 解析 法一 1 四边形是正方形 ACDEECAMACEA 平面平面 又 平面 ACDEABCACBC BCEAC 平面 平面 AM EAC BCAM AMEBC 2 连结 平面 是直线与平面所成的角 BM AM EBCABM ABEBC 设 则 aBCACEA2 aAM2 aAB22 2 1 sin AB AM ABM 即直线与平面所成的角为 30ABMABEBC 30 3 过作于 连结 平面 平AEBAH HHM AM EBCEBAM EB 面 是二面角的平面角 AHMAHM CEBA 平面平面 平面 ACDEABC EAABC EAAB 在中 有 EABRt EBAH AHEBABAE 由 2 所设可得 aBCACEA2 aAB22 aEB32 3 22a EB ABAE AH 二面角等于 2 3 sin AH AM AHM 60AHMCEBA 60 法二 四边形是正方形 平面平面 ACDEECAMACEA ACDEABC 平面 可以以点为原点 以过点平行于的直线为轴 分别以直线