(有答案)常微分方程模拟题(浙江师范大学)

浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 模拟试题模拟试题 1 1 一 填空题 每小题 2 分 共 8 分 1 方程 0 dy p x yQ x dx 的通解是 2 0M x y dxN x y dy 是全微分方程 恰当方程 的充要 条件 3 方程 432 432 250 d yd yd y dtdtdt 的通解是 4 方程 2 x yyyxe 的特解可设为 参考答案参考答案 o1 P x dxP x dx yeQ x edxC 2 MN yx o3 1234 cos2sin2 tt yCC tC etC et 4 2 x yxAxB e 二 是非判断题 每小题 2 分 共 12 分 1 如果 Xtit 是微分方程组 dX A t Xb t dt 的复值解 这里 t t b t都是实向量函数 A t是实矩阵函数 那么 Xt 是微分方程组 dX A t Xb t dt 的解 2 方程 2 2 2 0 d y a y dx a是实数 的通解是 12 cos sin yCxCx 3 如果存在定负函数V X 使得V通过方程组 dX f X dt 其 中 0f X 的全导数 dt dV 定正 那么这个方程组的零解渐近稳定 4 方程 ya x yb x yc x 其中a x b x c x 连续 可 以有三个线性无关的解 5 如果 t t 均为方程组 dX A t X dt 的基解矩阵 那么 必存在可逆常数矩阵C使得 tt C 成立 6 方程 dx dy 2 y满足初始条件 x 0 时y 0 的解只有y 0 参考答案参考答案 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 o1 2 3 4 5 6 三 24 分 求解下列各方程 1 dx dy yxxy y 3 2 1 2 dx dy 33 1 yxxy 3 xy dyy e dxx 4 2 20 dydy xyx dxdx 参考答案参考答案 o1 dx dy yxxy y 3 2 1 22 1 1 ydydx yxx 22 222 1 1 d yd x yxx 2 2 2 1 log 1 log x x yC 2 2 1 2 1 1 x yC x 通解为 222 1 1 1 yxC x 或者 写成 2222 xyx yC o2 dx dy 33 1 yxxy dx dy 33 xyx y 3dx x dy 23 x yy 2 d x dy 23 22x yy 2 232 2 ydy ydy xey edyC 22 3 2 yy ey e dyC 22 2 1 yy eyeC 即 通解为 2 22 1 y xyCe o3 xy dyy e dxx 设xyu 则 uyxy u y yx e x u xe 所以 u e duxdx 2 2 u x eC 即得通解 2 2 xy x eC o4 x dx dy 2 2y dx dy x 0 设 dx dy p 则 1 22 p yx p 两 边关于x求导得 2 111 2222 p pxp pp 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 2 10p 或 xpp 由 xpp 得 pCx 所以通解是 2 1 22 C yx C 由1p 得奇解 px 四 20 分 求下列各方程的通解 1 28sin2xxxt 2 2 4 60t xtxx 参考答案参考答案 o1 20 xxx 的通解是 2 12 tt xC eC e 设原方程的特解 是sincosxAtBt 将sincosxAtBt 代入原方程得 62 sin 26 8sin2ABtABt 所以有 628 260 AB AB 6 5 2 5 A B 所以原方程的通解是 2 12 62 sincos 55 tt xC eC ett 注 如果用常数变易法或利用辅助方程 2 28 it xxxe 求 解 则参照此解法给分 o 2 2 4 60t xtxx 设 t es 则原方程化为 1 460D DxDxx 其中 d D ds 即 2 560D xDxx 此方程通解是 23 12 ss xC eC e 所以原 方程的通解是 23 12 xC tC t 五 14 分 解方程组 zx dt dz yx dt dy zy dt dx 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 参考答案参考答案 o 由 11 110 101 AE 0 得 2 1 0 所以 特 征值是 12 3 0 1 对于 2 3 1 设 t t t xAtB e yCtD e zEtF e 6 分 代入方程组可 得 ACE ABDF CAC CDBD EAE EFBF 0A BCE BDF 记 1 BCEC 2 DC 则 112121 0 ABC CC DC EC FCC 对于 1 0 可求得一特征向量 1 1 1 因此 原方程的通解是 13 123 1213 t t t xC eC yC tC eC zC tCC eC 或者写 成 123 101 11 111 tt x yCteCeC zt 六 12 分 已知微分方程 yyg x 其中 g x 1 0 10 2 时当 时 当 x x 试求一连续函数 y y x 满足条件 y 0 0 且在区间 0 1 1 内满足上述方程 参考答案参考答案 o1 当 0 1 x 时 2yy 所以 1 2 x yC e 由 0 0y 得 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 1 2C 当 1 x 时 0yy 所以 2 x yC e 因为 y x 在 x 1 连续 所以 2 22Ce 所以 所求函数是 22 1 2 1 1 x x ex y eex 七 10 分 判断下列方程组的零解的稳定性 1 yye dt dy yx dt dx x cos32 sin82 2 5 3 yx dt dy xy dt dx 参考答案参考答案 o1 一次近似方程是 28 3 xxy yxy 特征方程 28 0 13 AE 2 20 1 2 17 2 i 因为 特征根的实部都0 所以原方程组的零解是渐近稳定的 o2 构造 Lyapunov 函数 22 V x yxy 定正 则 3546 2 2 2 2 2 dV xxyyx yxyxyxy dx 定负 因此 原方程组的零解是渐近稳定的 模拟试题模拟试题 2 2 一 填空题 第 1 小题 4 分 其它每小题 3 分 共 25 分 1 方程0 24 yxyy是 阶是 非 线性方程 2 若方程 0M x y dxN x y dy M x yN x y 连续 是 全微分方程 则 M x yN x y 满足关系 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 3 李普希兹条件是保证初值问题 00 dy f x y dx y xy 解唯一性的 条件 4 对于一阶方程 xqyxp dx dy p x q x C a b 则其任一解的存在区间是 5 对于欧拉方程 0 2 2 2 y dx dy x dx yd x 只需作变换 即可将其化为常系数线性方程 6 对于二阶方程0 xtax 其由解 21 txtx所构成的 Wronski 行列式必为 7 对于常系数线性齐次方程组 A 若常系数矩阵 A 的特征根的实部都是负的 则方程组的任一解当 t 时 8 单摆运动方程0sin l g m 可化为一阶方程组 参考答案参考答案 1 三 非 2 MN yx 3 充分 4 a b 5 t ex o6 常数 7 趋于零 8 y m x l g dt dy y dt dx sin 二 求解下述方程 每小题 6 分 共 42 分 1 yx e dx dy 2 2 2yx y dx dy 3 02 2 xydydxyx 4 2 2 2 x dx dy x dx dy y 5 1 2 txax 6 txxsin 7 0 2 xxx 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 参考答案参考答案 o1 0 Cee yx 6 分 o2 yx yy yx dy dx 22 2 解为 yCyyyx 2ln2 o3 积分因子为 2 1 x 解为 C x y x 2 ln 6 分 o4 设 dx dy p 1 分 令 dx dy p 解为 222 4 1 2 1 xyCCxxy 及 6 分 o5 I 当0 a 21 23 2 1 6 1 CtCttx II 当0 a 不防设 a 0 则方程的两个基本解为 at e at e易求得一个特解 1 1 2 0 t a x 所以此时方程的解为 1 1 2 21 t a eCeCx atat o6 x x 0 的通解是 12 cossinxCtCt 2 分 设原方程的特解是 cossin xt AtBt 4 分 将 cossin xt AtBt 代入原方程得 2 sin2 cossinAtBtt 所以有 21 20 A B 1 2 0 A B 所以原方程的通解是 12 1 cossincos 2 xCtCttt 注 如果用常数变易法或利用辅助方程 it xxe 求解 则参照此解法给分 o7 2 0 xxx 设xp 则 dpdp dxdp xp dtdx dtdx 2 分 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 所以 原方程化为 2 000 dpdp xpppxp dxdx 或 由0 dp xp dx 得 C p x 因此得 2 1 1 2 dxC xdxCdtxCtC dtx 6 分 三 本题 11 分 1 何谓 t 是线性齐次方程组 A的基解矩阵 2 试求系数矩阵 A 244 354 332 上述方程组的基解矩阵 参考答案参考答案 o1 称 t 是 A的基解矩阵 如果 t 满足 a tAt b 0 det t 4 分 o2 令0 244 354 332 AEf 可求得 2 2 1 321 7 分 对于1 1 由 0 0 0 344 344 333 3 2 1 x x x 可取 0 1 1 1 X 对于2 2 由 0 0 0 444 334 334 3 2 1 x x x 可取 1 1 0 2 X 对于2 3 由 0 0 0 044 374 330 3 2 1 x x x 可取 1 1 1 3 X 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 因此基解矩阵为 tt ttt tt ee eee ee t 22 22 2 0 0 11 分 四 讨论题讨论题 本题 12 分 研究方程 2 2 x y dx dy n 1 当n 1 方程是什么类型的方程 并求解之 2 当n 2 方程是什么类型的方程 通过观察能否直接求 出其解 如何作变换将其化为可求解的类型 并具体求解之 参考答案参考答案 o1 当 n 1 时 方程为线性非齐次方程 其解为 Cdxe x ey xx 2 2 3 分 o2 当 n 2 时 方程为 Riccati 方程 通过观察 易知 x 1 为其一特解 6 分 令u x y 1 8 分 代入原方程后可化简为 2 2 x u u dx du 此为伯努里方程 再令 u v 1 则又可化为 2 1 x v dx dv 可求其解为 3 2 x x c v 因此原方程的解为 2 2 3 31 xc x x y 五 证明题 本题 10 分 设 21 txtx是方程0 21 xtaxtax的基本解组 则线性 非齐次方程 21 tfxtaxtax 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 满足初始条件0 00 tt 的解可表为 t t dssf w sxtxsxtx t 0 1221 其中 w 为解 21 txtx所成的 Wronski 行列式 试证明之 参考答案参考答案 o证明 设 21 txtx 为方程 0 21 xtaxtax 1 的两个线性无关解 令 21 xxxx 则 1 化为AXX 其中 0 10 12 tf tF tata A 3 分 则据常数变易公式 满足初始条件0 0 t 的解为 t t dssFstt 0 1 6 分 其中 w txtx txtx t txtx txtx t 21 211 21 21 代入可算得 t t dssf w sxtxsxtx t 0 1221 模拟试题模拟试题 3 3 一 填空题 每小题 3 分 共 21 分 1 方程 5 cossin0yyxy 的阶数是 2 方程 dy P x y dx 的通解是 3 x y 是方程 0M x y dxN x y dy 的积分因子的充要 条件是 4 方程 2 2 320 d xdx x dtdt 的通解是 5 方程 2 2cos x yyyex 的特解可设为 6 如果 123 sin t xt xt xe 是某个二阶线性非齐次方程的特 解 那么这个方程的通解是 7 方程 22 yxy 满足条件 0 1 0 0y y 的解有 个 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 参考答案参考答案 o1 三 o2 P x dx yCe o3 MN yx o4 2 12 tt yC eC e o5 cossin x yxeAxBx o6 12 sin ttt c etc ete o7 无穷多 二 是非判断题 每小题 2 分 共 10 分 8 如果 Xtit 是微分方程组 dX A t Xb t dt 的复值解 这里 t t b t都是实向量函数 A t是实矩阵函数 那么 Xt 是微分方程组 dX A t Xb t dt 的解 9 方程 2 2 2 0 d y a y dx a 是实数 的通解是sin cos yAaxBax 10 方程 ya x yb x yc x 其中 a x b x c x连续 可以 有三个线性无关的解 11 如果 t 是 n 维方程组 dt dX A t X 的基解矩阵 C 是 n 阶 可逆常数矩阵 那么 t C 也是方程组 dt dX A t X 的基解矩阵 12 方程 dx dy 2y满足初始条件 x 0 时 y 0 的解只有 y 0 参考答案参考答案 o8 9 10 11 12 三 24 分 求解下列各方程 1 2 1 dy xy dx 2 dx dy 2 y xy 3 dx dy x y y x e 4 3 20 dydy xy dxdx 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 参考答案参考答案 o1 dx dy 2 1 xy 2 1 dy xdx y 3 分 通解为 2 1 arctan 2 yxC 或者写为 2 1 tan 2 yxC 6 分 o2 dx dy 2 y xy dx dy 1 yxy 3 分 11 ydyydy xeyedyCy yC 6 分 o3 设 y u x 2 分 则 yuxu u ue 4 分 所以 u dx e du x log u exC 通解是log 0 y x exC 6 分 o4 设 dx dy p 1 分 则 3 2ypxp 两边关于x求导得 2 2 2 3 22 3 3 32 dppdx pp ppxpxp dxpxdpp 分 22 24 3 3 4 dpdp pp xepedpCppC 4 分 代入 3 2ypxp 得 3 12 2 C yp p 5 分 所以通解是 2 2 3 3 4 12 2 C xp p C yp p 6 分 四 18 分 求下列各方程的通解 1 sinxxt 2 2 0t xtxx 参考答案参考答案 o1 0 xx 的通解是 12 cossinxCtCt 2 分 设原方程 的特解是 cossin xt AtBt 4 分 将 cossin xt AtBt 代入原方程得 2 sin2 cossinAtBtt 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 所以有 21 20 A B 1 2 0 A B 以原方程的通解是 12 1 cossincos 2 xCtCttt 6 分 注 如果用常数变易法或利用辅助方程 it xxe 求解 则参照此解法给分 o 2 设 t es 2 分 则原方程化为 2 1 00D DxDxxD xx 其中 d D ds 4 分 此方程通解是 12 ss xC eC e 所以原方程的通解是 1 12 xC tC t 6 分 五 15 分 1 求方程组 AXX 2 1 x x X 12 43 A 一基解矩阵 2 利用常数变易法求方程组 AXX F t F t 1 t e 12 43 A 满足初始条件 X 0 1 1 的特解 X t 参考答案参考答案 o 1 5 5 2 tt tt ee t ee o 2 5 5 312 2045 311 1025 ttt ttt eee X t eee 六 12 分 已知微分方程 yyg x 其中 2 01 0 1 x g x x 当时 当时 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 试求一连续函数 yy x 满足条件 0 0y 且在区间 0 1 1 内满足上述方程 参考答案参考答案 o当 0 1 x 时 2yy 所以 1 2 x yC e 由 0 0y 得 1 2C 当 1 x 时 0yy 所以 2 x yC e 因为 y x在 x 1 连续 所以 2 22Ce 所以 所求函数是 22 1 2 1 1 x x ex y eex 模拟试题模拟试题 4 4 一 填空题 每小题 3 分 共 21 分 1 方程 5 sin x yyye 的阶数是 2 方程 d d y P x y x 的满足条件 00 y xy 的特解是 3 方程 0M x y dxN x y dy 存在只与y有关的积分因子 y 的充要条件是 4 方程 2 2 dd 60 dd xx x tt 的通解是 5 方程 2 2 dd 561 dd xx xt tt 的特解可设为 6 方程 2 45sin x yyyex 的特解可设为 7 方程 2 sinyxy 满足条件 0 1 0 0y y 的解有 个 参考答案参考答案 o1 三 2 0 0exp d x x yyP xx 3 MN yx y M 4 32 12 tt xC eC e o5 xABt 6 sincos 2 xBxAxey x 7 无穷多 二 是非判断题 每小题 2 分 共 10 分 1 如果 Xtit 是微分方程组 dX A t Xb t dt 的复值 解 这里 t t b t都是实向量函数 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 A t是实矩阵函数 那么 Xt 是微分方程组 dX A t X dt 的解 2 方程 2 2 2 d 0 d y a y x a是实数 的通解是 12 sincosyCaxCax 3 方程 y a x y b x y c x 其中 a x b x c x 连续 最多有三个线性无关的解 4 如果 t 是n维方程组 dX A t X dt 的基解矩阵 C 是n 阶常数矩阵 那么 t C 也是方程组 dX A t X dt 的基解矩阵 5 对于常系数方程组 X AX 若 A 的特征根的实部都是 非正的 则方程组的任一解当t 时都趋于零 参考答案参考答案 o1 2 3 4 5 三 求解下列各方程 49 分 1 x y dy e dx 2 2 2d 1 d0 xyxxy 3 2 d3 d y yex xx 4 3 d d yy xxy 5 x x et 6 2 2 2 dd 46 dd yy xxyx xx 7 1 sin yy x 参考答案参考答案 o1 d dd d x yyxyx y eeyexeeC x 2 222 2d 1 d0ddd0 xyxxyyxxyy 22 dd0yxyyxyC 或者 2 2 d2 2d 1 d0 d1 yx xyxxyy xx 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 2 2 d 1 2 1 x x x C yCe x 3 设 y eu 则 2 d1 3 d uxu xx 所以 33 dd 32 2 11 d 2 xx xx ueexCxxC x 通解是 32 1 2 y x exC 4 3 dyy dxxy 12 d d x yxy y 11 22 1 2 ydyydy xey edyCyyC 通解是 2 1 2 xyyC y 0 也是解 5 x x 0 的通解是 12 cossinxCtCt 设原方程的特解 是 t xAe 将 t xAe 代入原方程得 1AA 所以有 1 2 A 所以原方程的通解是 12 1 cossin 2 t xCtCte 6 2 2 2 dd 46 dd yy xxyx xx 设 t ex 则原方程化为 2 D D 1 4D6D5D6 tt yyyeyyye 其中 d D dt 2 D5D60yyy 的通解是 23 12 tt yC eC e t eyDyyD 65 2 的通解是 ttt eeCeCy 2 1 3 2 2 1 所以原方程的通解是 xxCxCy 2 1 3 2 2 1 7 0yy 的通解是 12 cossinyCxCx 设 12 cos sinyC xxCxx 代入原方程得 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 12 12 cos sin0 1 sin cos sin CxxCxx CxxCxx x 1 2 1 cot Cx Cxx 1 2 ln sin C xxA CxxB 所以 原方程的通解是 xxxxxCxCycossinlnsinsincos 21 四 求方程组 XAX 的基解矩阵 其中 1 2 3 411 121 112 x XxA x 9 分 参考答案参考答案 o因为 411211111 121221 2 121 112212112 EA 2 111 2 030 2 3 003 所以 特征值是 123 2 3 3 对于 1 2 解齐次方程组 1 12 3 2110 1010 1100 u EAu u u 得特征向量 1 1 1 同理 对于 2 3 3 可求得特征向量 11 1 0 01 因此 原方程的通解是 23 1123 23 212 23 313 tt tt tt xC eCC e xC eC e xC eC e 或者写成 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 1 233 2123 3 111 110 101 ttt x xCeCeCe x 五 证明题 11 分 1 6 分 给定方程32 xxxf t 其中 f t在t 上 连续 设 12 tt 是上述方程的两个解 证明极限 12 lim t tt 存在 2 5 分 设 f x 是已知的以 为周期的连续函数 k 是非 0 常数 试证明方程 d 0 d y kyf x x 有且仅有一个周期为 的 周期解 并求出这个周期解 参考答案参考答案 o1 证明 由条件知 12 tt 是线性齐次方程 320 xxx 的解 因为 320 xxx 的特征方程是 32 320 特 征根是 123 0 1 2 所以 320 xxx 的通解 2 123 tt xcc ec e 所以 2 12123 tt ttcc ec e 从而极限 121 lim t ttc 存在 o2 证明 如果 d 0 d y kyf x x 有两个以 为周期的周期 解 12 y xyx 则 12 y xyx 是齐线性方程 d 0 d y ky x 的解 所以 12 kx y xyxce 由于 12 y xyx 是以 为周期的函数 所以 c 0 即 12 y xyx 方程 d 0 d y kyf x x 的通解是 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 0 e e d x kxks yy xf ssC 由 0 yy 得 0 e e d kks f ssCC 所以 0 1 e d 1 e ks k Cf ss 因此 所求解是 x ks k kskx dsesf e dsesfexyy 00 1 1 模拟试题模拟试题 5 一 填空题 3 10 1 方程 xQyxP dx dy 的通解为 2 形如 的方程叫 做欧拉方程 3 若方程组AYY 中矩阵A有n个互不相等的特征根 1 2 n 而 n vvvv 321 是对应的特征向量 则基解矩阵为 t 4 n阶非齐线性方程 n n dx yd 1 xp 1 1 n n dx yd dx dy xpn 1 yxpn xf的通解等于 与 之和 5 考虑定义在区间 a b 上的函数 12 n x tx txt 如果存 在 使得恒等式 对 于所有 t a b 都成立 则说这些函数是线性相关的 6 设函数组 12 n xxx 则在区间 ba 上它们的伏朗斯基 行列式 0 tW是它们在区间上线性相关的 条件 填 充分 必要 或 充要 7 方程0 dyyxNdxyxM为恰当方程的充要条件是 8 与方程组 0 0 100 010 123 tf x tatata x相对应的线 性方程为 参考答案参考答案 o1 p x dxp x dx yeq x edxc 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 o2 1 1 111 1 0 nn nn nn nn d yddy xa xaxay dxdxdx o3 n ttt veveve n 21 21 o4 它所对应的齐线性方程的通解 它本身的一个特解 o5 不全为零的常数 n ccc 21 1 122 0 nn c x tc x tc x t o6 必要 o7 MN yx o8 123 xa t xa t xa t xf t 二 解方程 5 4 1 1 3 dyxy dxxy 2 2 2 12 dydy dxdx y 3 2 320 x eydxxydy 4 4 4 d yx dx ye 参考答案参考答案 o1 2 1 03 01 yx yx yx 令 2 1 Yy Xx 代入方程中得 YX YX dX dY 令 X Y u 则方程转化为du uu u X dX 2 21 1 两端积分得 11 22 2ccXXYY 不为 0 此外 02 22 XXYY也是解 故原方程的通解为cXXYY 22 2 即 cxyxxyy 262 22 c为任意常数 2 令yty 2 代入原方程得ty t 1 且 2 1 ty 故 有dt ty dy dx 2 1 所以c t x 1 所以原方程的通解为 1 1 xc t yt t 3 由于 2 MN yx Nx 所以 2 2 dx x xex 于是有 0 23 2233222 dxexyxdydyxdxyxdxex xx 所以原方程的通解为 cexxyx x 22 223 其中 c 为任意常数 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 4 ii 4321 4 1 101 对应的齐线性方 程的通解为tctcececy tt sincos 4321 设 x Axey 代入原方程得 4 1 A 所以原方程的通解 为 tctcececy tt sincos 4321 t te 4 1 三 解答题 本大题共 15 分 其中第一题 7 分 1 已知 34 21 A 试求方程组Axx 的一个基解矩阵 并计算Atexp 2 用比卡逐步逼近法求下列初值问题 0 1 dy y dx y 的解 其他 方法不予计分 参考答案参考答案 o1 特征根为5 1 21 对应的特征向量为 2 1 1 1 21 vv 5 5 5 1 2 2 tt tt ttee ee te v e v 1 5 1 5 11 exp 0 122 tt tt ee Att ee tttt tttt eeee eeee 55 55 222 2 3 1 2 0 1 dy y dx y 这里1 dx dy yyxf 所以在 1 0为中心的 任何邻域内都满足解的存在唯一定理的条件 故此初值问题的解存在且唯一 作比卡逐步逼近序列 1 0 x x xdsx 0 1 111 2 0 2 2 1 1 1 1 xxdssx x n n x n xxxx 1 3 1 2 1 1 32 由此 取极限得 x n n exx lim 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 四 证明题 1 10 分 设 12 n x tx txt 是 n 阶齐线性方程 1 11 1 0 nn nn nn d xdxdx a tatat x dt dtdt 的任意 n 个解 它们所构成的伏朗斯 基行列式为 W t 证明 1 W t满足 1 0W ta t W t 2 1 0 0 t t a s ds W tW te 2 10 分 设 A t为区间bta 上的连续n n 实矩阵 t 为方程xtAx 的基解矩阵 而 tx 为其一解 试证 对于方程ytAy T 的任一解 ty 必有 tt T 常数 t 为方程ytAy T 的基解矩阵的充要条件 是存在非奇异的常数矩阵C 使Ctt T 3 15 分 设 12 n x tx txt 是方程组xtAx 的任意n个解 试证明它们线性相关的充要条件是伏朗斯基行列式 0 tW 参考答案参考答案 o 1 证明 1 设 12 n x tx txt 是 n 阶齐线性方程的任意 n 个解 它们所构成的伏朗斯基行列式为 12 12 1 1 1 12 n n nnn n xxx xxx W t xxx 由行列式的求导公式得 12 12 1 1 1 1 11 12121 n n nnn nn xxx xxx W ta t W t xa xxa xxa x 把这个行列式的第 1 行 第 2 行 第 n 行分别乘 以 21 tatata nn 后加到最后一行上 最后一行全部变成 0 所以 1 0W ta t W t 2 当0 tW时 等式当然成立 当 0 tW时 1 0W ta t W t 1 W t a t W t 两端取 0 t到t的定 积分 batt 0 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 得 t t t t dssatdW tW 00 1 1 化简即得 1 0 0 t t a s ds W tW te 2 证明 令 tttf T 则有 0 tf 因而有 tt T 常数 若存在非奇异的常数矩阵 C 使得 Ctt T 求导得 0 tttt TT 0 ttAt T 这就说明 t 是解矩阵 而Ctt T 0 所以0 det t 所 t 是基解矩阵 若 t t 分别是这两个方程的基解矩阵 则 0 tt T 所以Ctt T 而0 det detdet ttC T 以C为非奇异 的常数矩阵 3 证明 相关 存在不全为零的常数 n CCC 21 使得 0 1 txC ii n i 恒成立 微分得0 1 txC ii n i 0 1 1 txC n ii n i 由于常数 n CCC 21 不全 零 所以这个关于 n CCC 21 得齐线性方程组由非零解 故有 tW 系数行列式 0 0 tW 线性相关 见课本定理 证略 模拟试题模拟试题 6 6 一 3 10 填空题 1 微分方程的阶数的是 2 方程 xgyxf dx dy 的通解为 3 方程 yxf dx dy 的奇解指的是 4 方程组YxA dx dY 的解矩阵 x 为基解矩阵的充要条件是 5 常系数齐线性方程组AYY 中 若矩阵A有n个互不相等 的特征根 12 n 而 n vvvv 321 是这n个特征根对应的特征向量 则方 程组的基解矩阵为 t 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 6 n阶非齐线性方程 n n dx yd 1 xp 1 1 n n dx yd dx dy xpn 1 yxpn xf的通解等于 与 之 和 7 形如 dydy yx dxdx 的方程叫 方程 8 对 XF dt dX 若有定正函数 XV 则当 dt dV 为 时 零解为渐近稳定的 9 对于非线性方程 xNAx dt dx 若 的特征根的实部 时 其零解为不稳定 参考答案参考答案 1 1 未知函数最高次导数的次数 2 f x dxf x dx yeg x edxc 3 这个解的每个点上至少还 有方程的另外一个解 4 xA xx 且det 0 x 5 n ttt veveve n 21 21 6 它所对应的齐线性方程的通解 它本身的一个特解 7 克莱罗 8 定负函数 9 大于零 二 解方程 8 3 1 0 1 4 4 5 5 dx yd xdx yd 2 22 yxy dx dy x 3 0 2 xy dx dy yx dx dy 参考答案参考答案 o1 提示 令 4 4 d y p dx 则 1 0 dp p dxx 方程的解为 532 12345 yc xc xc xc xc 2 2 dyyy dxxx 令 y u x 则 2 du u dx 方程的解为 Cx y x ln 3 0 dydy xy dxdx 解为 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 2 1 1 2 x yxCoryce 三 判断下列方程在给定区域上是否满足解的存在唯一定理的 条件 5 2 1 1 1 1 22 yxRyx dx dy 2 yx dx dy tan R yx0 11 参考答案参考答案 o 1 易验证满足解的存在唯一定理的条件 2 不满足 因为 当 2 y 时 tan y 所以 tanxy在区域 R 上不满足利普希斯条件 四 确定下列方程组的奇点类型及稳定性 8 2 1 yx dt dy yx dt dx 2 43 2 yx dt dy yx dt dx 47 参考答案参考答案 o1 鞍点 不稳定 o2 稳定焦点 渐近稳定 五 证明题 1 8 设 yxf 及 y f 连续 试证方程0 dxyxfdy为线性 方程的充要条件是它有仅倚赖于x的积分因子 2 12 设 1 tx 2 tx txn是n阶齐线性方程 n n dt xd 1 1 1 n n dt xd ta dt dx tan 1 xtan 0 的任意n个解 它们所构成的伏朗斯基行列式为 tW 试证明 1 W t 满足0 1 WtaW 2 t t dssa etWtW 0 1 0 其中 0 t bat 参考答案参考答案 o1 证 必要性 若方程0 dxyxfdy为线性方程 则方程 可写为0 dxxQyxPdy 令 1MP x yQ xN 由题意知 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 MN yx P x N 连续 所以方程有积分因子 P x dx e 仅依 赖于x的积分因子 充分性 设方程0 dxyxfdy有仅倚赖于x的积 分因子 x 即 0 x dyx f x y dx 为恰当方程 有 x f x ydx ydx 1 f x ydx yxdx 上式右端仅为x的函数 令其为 P x 积分上式 得 f x yP x yQ x 故该方程为线性方程 o2 证明 1 设 12 n x tx txt 是 n 阶齐线性方程的任意n 个解 它们所构成的伏朗斯基行列式为 12 12 1 1 1 12 n n nnn n xxx xxx W t xxx 由行列式的求导公式得 12 12 1 1 1 1 11 12121 n n nnn nn xxx xxx W ta t W t xa xxa xxa x 把这个行列式的第 1 行 第 2 行 第n行分 别乘以 21 tatata nn 后加到最后一行上 最后一行全部变成 0 所以 1 0W ta t W t 2 当0 tW时 等式当然成立 当0 tW时 1 0W ta t W t 1 W t a t W t 两端取 0 t 到 t 的定积分 batt 0 得 t t t t dssatdW tW 00 1 1 化简即得 1 0 0 t t a s ds W tW te 模拟试题模拟试题 7 一 填空题 3 10 1 给定微分方程 则它的通解为 过点x dx dy 2 的特解为 4 1 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 2 对于微分方程 作变换 可将它 2 xy dx dy 化为变量分离方程 3 微分方程为全微分方程的充要条件 0 dyyxNdxyxM 是 4 克来罗方程的通解为 奇解 0 dx dy dx dy fxy 为 5 已知常系数齐线性方程 的特征根为0 2 2 y dt dx dt xd 则它的通解为 用实函数表示 i 2 3 2 1 2 1 6 已知常系数齐线性方程组 若矩阵的 个特征根Axx An 彼此互异 他们所对应的特征向量 n 21n vvv 21 则方程组的基解矩阵 t 7 阶线性方程n 有复值解 tivtuyta dx dy ta dt yd ta dt yd nn n n n n 1 1 1 1 tiVtUy 则其虚部是方程 的解 tV 8 与初值问题 等 4 3 2 1 0 1234 0 0 0 1000 0100 0010 tx tf x tatatata x 价的 n 阶线性方程的初值问题为 参考答案参考答案 o 1 2 3 4 2 yxc 2 3yx 2 2 dy x dx y MN yx ycxf c 0 xf c ycxf c 5 6 1 2 3 cos 2 t et 1 2 3 sin 2 t et 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 tveveve n ttt n 21 21 7 1 11 1 nn nn nn d ydydy a tata t yv t dtdtdt 8 432 1234 432 01020304 d xd xd xdx a ta ta ta t xf t dtdtdtdt x tx tx txt 二 判断题 2 5 1 阶线性方程的通解包含了方程的一切解 因而方程没有n 奇解 2 在解的存在唯一定理中 若满足利氏条 00 yxy yxf dx dy yxf 件 则一定连续 y f 3 对于区间 上的连续函数 若它 ba txtxtx n 21 们构成的伏朗斯基行列式 则这 个函数在区间上线性相 0 tWn ba 关 4 设线性无关的函数都是二阶非齐线性方程 321 yyy 的解 xfyxQyxPy 则原方程的通解可以表示为 其中 32211 yycycy 为任意常数 21 c c 5 方程应该有一个形如特解 其中1 x eyybxaxey x 待定 ba 参考答案参考答案 o1 2 3 4 5 三 解下列微分方程 5 4 1 02 3 2 xydydxye x 2 1232 2 2 2 ttx dt dx dt xd 3 tx dt dx dt xd 2sin844 2 2 4 053 2 2 2 y dx dy x dx yd x 参考答案参考答案 o1 积分因子为 通解为 2 x 322 22 xxx x yx exeec 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 2 先求解齐次方程 0 x dt dx dt xd 32 2 2 齐次方程通解 2 12 2301 3 3 12 tt xc ec e 取 代入原方程比较系数得 2 xABtCt 1121 2793 ABC 所以原方程通解 32 12 1121 2793 tt xc ec ett 3 先求解齐次方程 齐次方程特征根044 2 2 x dt dx dt xd 二重 2 设 代入原方程得 原cos2sin2xAtBt 1 0AB 方程的解为 2 12 cos2 t xcc t et 4 设 得到 K 应满足的方程 因 K yx 1 350K KK 此 方程的通解为 1 2 12Ki 1212 1 cos 2ln sin 2ln ycxcxcc x 其中 为任意常数 以下四以下四 七题每题十分七题每题十分 四 已知连续函数满足关系式 试求函数 xf 2ln 2 0 2 dtfxf x t 的表达式 xf 参考答案参考答案 o提示 对关系式两边关于x求导 易得 2 0 ln2 fxf x f 2 ln2 x f xe 五 已知方程组 其中 求 并写出方Axx 244 354 332 AAtexp 程组的通解 参考答案参考答案 o由得特征 233 det 453 1 2 2 442 EA 根为 123 1 2 2 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 由特征向量方程组 分别求 1 2 3 2330 4530 4420 u u u 得属于特征根的特征向量为 123 101 1 1 1 011 所以基本解组为 2 22 22 0 0 tt ttt tt ee teee ee 标准基本解矩阵为 1 1 22 2222 2222 222 22222 22222 exp 0 01010011 111110 00110111 tttt tttttt tttt ttttt ttttttt tttt Att eeee eeeeee eeee eeeee eeeeeee eeeee t 所以原方程组的通解为 222 22222 123 22222 ttttt ttttttt ttttt eeeee ceeceeecee eeeee 六 设不是矩阵的特征值 证明 方程组c c有一解形 A Axx t e 如m m 其中c c m m是常向量 t t e 参考答案参考答案 o证 设方程有形如 m m的解 下面证明m m是可以唯一 t t e 确定的 事实上 将m m代入方程组 得 又因为 t e tt meAmCe 不是矩阵的特征值 即 所以存在 Adet 0EA 1 EA 于是由 得 即m m是方程组 EA mC 1 mEAC 唯一确定 故方程组有一解 1 tt tEACeme 七 若的 个解 0 1 1 1 1 yta dx dy ta dt yd ta dt yd nn n n n n n tx1 在区间上线性无关 tx2 txn ba 则他们的伏朗斯基行列式在这个区间的任何点处都不 tW 浙江师范大学 数理与信息工程学院 浙江师范大学 数理与信息工程学院 等于零 即 tW0 bta 参考答案参考答案 o证明 参见王高雄 常微分方程 P106 模拟试题模拟试题 8 8 一 填空题 3 10 1 如果把函数带入微分方程后 则 xy 称函数为微分方程的解 xy 2 方程的通解为 xgyxf dx dy 3 方程的奇解指的是 yxf dx dy 4 方程组的解矩阵为基解矩阵的充要条件是 YxAY x 5 方程组中矩阵有 n 个互不相等的特征根 1 2 AYY A n 而是对应的特征向量 n vvv 21 则基解矩阵为 t 6 方程为恰当方程的充要条件是 0 dyyxNdxyxM 7 形如 的 方程叫欧拉方程 8 考虑定义在区间上的函数 如果存 ba 21 txtxtx n 在 使得恒等式 对于都成立 则说 bat 这些函数是线性相关的 9 设函数是方程 z xu xiv x n n dx yd