2014年四校联考参考答案理科数学答案

理科数学答案 一 选择题 每小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 题题 号号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212 答答 案案DBADCBCDCADA 二 填空题 每小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 1313 2 1414 e 1 3 2 1515 1616 9 2 3 2 22 yx 5 2 三 解答题 本大题 本大题 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1717 本小题 本小题 1212 分 分 1818 本小题 本小题 1212 分 分 解 根据题意 分别记 甲所付租车费 0 元 1 元 2 元 为事件 123 A A A 它们彼此互 斥 且 123 0 4 0 5 1 0 40 50 1P AP AP A 分别记 乙所付租车费 0 元 1 元 2 元 为事件 123 B B B 它们彼此互斥 且 123 0 5 0 3 1 0 50 30 2P BP BP B 2 分 由题知 123 A A A与 123 B B B相互独立 分 记甲 乙两人所付租车费相同为事件M 则 112233 MABA BA B 所以 112233 P MP A P BP A P BP A P B 0 4 0 50 5 0 30 1 0 20 20 150 020 37 分 据题意 的可能取值为 0 1 2 3 4 7 分 11 0 0 2PP A P B 1221 1 0 4 0 30 5 0 50 37PP A P BP A P B 132231 2 0 4 0 20 5 0 30 1 0 50 28PP A P BP A P BP A P B 2332 3 0 5 0 20 1 0 30 13PP A P BP A P B 33 4 0 1 0 20 02PP A P B 10 分 所以 的分布列为 01234 P0 20 370 280 130 02 的数学期望0 0 2 1 0 372 0 283 0 134 0 021 4E 11 分 答 甲 乙两人所扣积分相同的概率为 0 37 的数学期望1 4E 12 分 1919 本小题 本小题 1212 分 分 解 当时 PA 平面 MQB 注 本小题可用坐标法解题注 本小题可用坐标法解题 证明 连 AC 交 BQ 于 N 连 MN 由 AQ BC 可得 ANQ BNC 若 即 PA MN 由 MN平面 PAC 故 PA 平面 MQB 6 分 由 PA PD AD 2 Q 为 AD 的中点 则 PQ AD 又平面 PAD 平面 ABCD 所以 PQ 平面 ABCD 连 BD 四边形 ABCD 为菱形 AD AB 由 BAD 60 得 ABD 为正三角形 又 Q 为 AD 中点 AD BQ 以 Q 为坐标原点 分别以 QA QB QP 所在的直线为 x y z 轴 建立如图所示的 坐标系 则各点坐标为 A 1 0 0 Q 0 0 0 设平面 MQB 的法向量为 可得 PA MN 取平面 ABCD 的法向量 设所求二面角为 则 故二面角 M BQ C 的大小为 60 12 分 2020 本小题 本小题 1212 分 分 解 1 设 P x y 由椭圆定义可知 点 P 的轨迹 C 是以 为焦点 长半轴为 2 的椭圆 它的短半轴 故曲线 C 的方程为 4 分 2 设直线 l1 A x1 y1 B x2 y2 其坐标满足 消去 y 并整理得 故 以线段 AB 为直径的圆能过坐标原点 则 即 x1x2 y1y2 0 8 分 11 011 2 由 知 将上式中的 k 换为得 由于 AB CD 故四边形 ABCD 的面积为 令 k2 1 t 则 当直线 l1或 l2的斜率有一个不存在时 另一个斜率为 0 不难验证此时四边形 ABCD 的面积为 2 故四边形 ABCD 面积的取值范围是 12 分 21 解 1 F x f x g x 2x2 ax lnx 又 F x 在 x 1 处取得极小值 F 1 4 a 1 0 a 5 2 分 F x 2x2 5x lnx 3 分 F x 和 F x 的变化情况如下表 x1 1 F x 0 0 F x 极大值 极小值 F x 的极大值为 5 分 2 当 a 3 时 f x g x lnx f x 2 23xx 4x 3 设直线 l 与曲线 y f x 和 y g x 都相切 切点分别为 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 2x12 3x1 y2 lnx2 直线 l y 2x12 3x1 4x1 3 x x1 即 y 4x1 3 x 2x12 又 l 过点 B x2 y2 且 f x g x y2 4x1 3 x2 2x12且 lnx2 4x1 3 x2 2x12 ln 4x1 3 1 2x12 7 分 方程 2x12 ln 4x1 3 1 0 有根 设 x 2x2 ln 4x 3 1 12 分 22 I 证明 因 MD 与圆 O 相交于点 T 由切割线定 理 得DMDTDN 2 DADBDN 2 设半径 OB 因 BD OB 且 BC OC DADBDMDT 0 rr 2 r 则 2 33rrrDADB 2 3 2 3 2r r rDCDO 所以 5 分 DCDODMDT II 由 I 可知 且 DCDODMDT CDMTDO 故 所以 DTO CMD DMCDOT 根据圆周角定理得 则 10 分DMB2DOT 30 BMC 23 解 设动点 则 yxP sin2 cos22 y x 所以 曲线的普通方程为 C1 48 22 yx 曲线 的普通方程为 5 分l02 yx 在直线 上 且直线 的倾斜角为 0 2 Fl02 yxl 4 直线 的参数方程为 为参数 设 l ty tx 2 2 2 2 2 t 1 tA 2 tB 直线 代入曲线的方程得 lC 2 3 2 240 2 tt 12 8 3 t t 10 分FBFA 1212 8 3 ttt t 24 证明 Rcba abba2 bccb2 caac2 以上各式累加得 cabcabcba 22 故 当