几何五大模型

word 一 等积变换模型一 等积变换模型 等底等高的两个三角形面积相等 其它常见的面积相等的情况 两个三角形高相等 面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等 面积比等于它们的高之比 如上图 12 SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形 如下图 ACDBCD SS 反之 如果 则可知直线平行于 ACDBCD SS ABCD 正方形的面积等于对角线长度平方的一半 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 二 鸟头定理 共角定理 模型二 鸟头定理 共角定理 模型 两个三角形中有一个角相等或互补 这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角 两夹边的乘积之比 如图 在中 分别是上的点 如图 1 或在的延长线上 在上ABC D E AB ACDBAEAC 五大模型五大模型 1 S 2 S 2 2 如图 2 则 ABCADE SSABACADAE 图 1 图 2 三 蝴蝶定理模型三 蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系 蝴蝶定理 或者 1243 SSSS 1324 SSSS 1243 AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型 一方面可以使 不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系 另一方面 也可以得到与面积对应的对角线的 比例关系 梯形中比例关系 梯形蝴蝶定理 22 13 SSab 22 1324 SSSSabab ab 梯形的对应份数为 S 2 ab word 四 相似模型四 相似模型 相似三角形性质 金字塔模型 沙漏模型 ADAEDEAF ABACBCAG 22 ADEABC SSAFAG 所谓的相似三角形 就是形状相同 大小不同的三角形 只要其形状不改变 不论大小怎样改变 它们都相似 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下 相似三角形的一切对应线段的长度成比例 并且这个比例等于它们的相似比 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方 五 燕尾定理模型五 燕尾定理模型 S ABGS AGCS BGES EGCBE EC S BGAS BGCS AGFS FGCAF FC S AGCS BCGS ADGS DGBAD DB 典型例题精讲典型例题精讲 例 1 一个长方形分成 4 个不同的三角形 绿色三角形面积是长方形面积的 0 15 倍 黄色三角形的面积 是 21 平方厘米 问 长方形的面积是 平方厘米 例 1 图 4 4 例 2 如图 三角形田地中有两条小路AE和CF 交叉处为D 张大伯常走这两条小路 他知道DF DC 且AD 2DE 则两块地ACF和CFB的面积比是 例 2 图 举一反三 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形 如图所示 三个三角形的面积分别是 3 7 7 则阴影四边形的面积是多少 举一反三图 拓展 如图 已知长方形ADEF的面积 16 三角形ADB的面积是 3 三角形ACF的面积是 4 那么三角 形ABC的面积是多少 拓展图 word 例 3 如图 将三角形ABC的AB边延长 1 倍到D BC边延长 2 倍到E CA边延长 3 倍到F 如果三角形 ABC的面积等于 1 那么三角形DEF的面积是 例 3 图 拓展 如图 在 ABC中 延长AB至D 使BD AB 延长BC至E 使 F是AC的中点 若 1 2 CEBC ABC的面积是 2 则 DEF的面积是多少 拓展图 例 4 如图 在 ABC中 已知M N分别在边AC BC上 BM与AN相交于O 若 AOM ABO和 BON 的面积分别是 3 2 1 则 MNC的面积是 例 4 图 6 6 秒杀题 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O 如图所示 如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的 且AO 2 DO 3 那么CO的长度是DO的长度的 倍 1 3 秒杀题图 例 5 如图 四边形EFGH的面积是 66 平方米 EA AB CB BF DC CG HD DA 求四边形ABCD的面 积 例 5 图 例 6 如右图长方形ABCD中 EF 16 F 9 求AG的长 例 6 图 word 铺垫 图中四边形 ABCD是边长为 12cm 的正方形 从 G到正方形顶点C D 连成一个三角形 已知这 个三角形在 AB上截得的 EF长度为 4cm 那么三角形GDC的面积是多少 铺垫图 例 7 如图 长方形ABCD中 E为AD中点 AF与BE BD分别交于G H 已知AH 5cm HF 3cm 求 AG 例 7 图 例 8 如右图 三角形ABC中 BD DC 4 9 CE EA 4 3 求AF FB 例 8 图 拓展 如图 三角形ABC的面积是 1 BD DE EC CF FG GA 三角形ABC被分成 9 部分 请写出 这 9 部分的面积各是多少 拓展图 8 8 例 9 如右图 ABC中 G是AC的中点 D E F是BC边上的四等分点 AD与BG交于M AF与BG交 于N 已知 ABM的面积比四边形FCGN的面积大 7 2 平方厘米 则 ABC的面积是多少平方厘米 例 9 图 例 10 如图 在正方形ABCD中 E F分别在BC与CD上 且CE 2BE CF 2DF 连接BF DE 相交于 点G 过G作MN PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCN