中考数学复习-圆专题复习-教案

第 1 页共 21 页 中考数学专题复习六中考数学专题复习六 几何 圆 几何 圆 教学笔记教学笔记 1 与圆有关的计算问题 重点 与圆有关的计算问题 重点 1 扇形面积的计算扇形面积的计算 扇形 扇形 扇形面积公式 2 1 3602 n R SlR 圆心角 扇形对应的圆的半径 扇形弧长 扇形面积nRlS 圆锥侧面展开图 圆锥侧面展开图 1 SSS 侧表底 2 Rrr 2 圆锥的体积 2 1 3 Vr h 2 弧长的计算 弧长的计算 弧长公式 180 n R l 3 角度的计算角度的计算 2 圆的基本性质 重点 圆的基本性质 重点 1 切线的性质 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 圆周角定理 圆周角定理 一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 推论 推论 1 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 2 相等的圆周角所对的弧也相等 3 半圆 直径 所对的圆周角是直角 4 90 的圆周角所对的弦是直径 注意 注意 在圆中 同一条弦所对的圆周角有无数个 3 垂径定理定理 垂径定理定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分这条弦所对的两段弧 推论 推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直与这条弦 并且平分这条弦所对的两段弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的弧 3 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦 并且平分这条弦所对的另一条弧 4 在同圆或者等圆中 两条平行弦所夹的弧相等 3 圆与函数图象的综合圆与函数图象的综合 第 2 页共 21 页 1 与圆有关的计算问题与圆有关的计算问题 例例 1 2016 资资阳阳 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 2 以点 B 为圆心 BC 的长为 半径作弧 交AB 于点 D 若点 D 为 AB 的中点 则阴影部分的面积是 A 2 B 4 C 2 D 解答 解 D 为 AB 的中点 BC BD AB A 30 B 60 AC 2 BC AC tan30 2 2 S 阴影 S ABC S扇形 CBD 2 2 2 故选 A 例例 2 2014 资资阳阳 如图 扇形 AOB 中 半径 OA 2 AOB 120 C 是的中点 连接 AC BC 则图中阴影部分面积是 A 2 B 2 C D 解答 解答 连接 OC AOB 120 C 为弧 AB 中点 AOC BOC 60 OA OC OB 2 AOC BOC 是等边三角形 AC BC OA 2 AOC 的边 AC 上的高是 BOC 边 BC 上的高为 阴影部分的面积是 2 2 2 故选 A 例例 3 2013 资阳 资阳 钟面上的分针的长为 1 从 9 点到 9 点 30 分 分针在钟面上扫过的面积是 A B C D 解答 解答 从 9 点到 9 点 30 分分针扫过的扇形的圆心角是 180 则分针在钟面上扫过的面积是 故选 A 第 3 页共 21 页 例例 4 2015 成都 成都 如图 正六边形 ABCDEF 内接于 O 半径为 4 则这 个正六边形的边心距 OM 和 BC 弧线的长分别为 A 2 3 B 2 3 C 3 2 3 D 2 3 4 3 课后练习课后练习 1 20152015 南充 南充 如图 PA 和 PB 是 O 的切线 点 A 和 B 的切点 AC 是 O 的直径 已知 P 40 则 ACB 的大小是 B A 40 B 60 C 70 D 80 2 20152015 达州 达州 如图 直径 AB 为 12 的半圆 绕 A 点逆时针旋转 60 此时点 B 旋转到点 B 则图中 阴影部分的面积是 B A 12 B 24 C 6 D 36 3 20152015 内江内江 如图 在 O 的内接四边形 ABCD 中 AB 是直径 BCD 120 过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P 则 ADP 的度数为 A 40 B 35 C 30 D 45 解析 解析 连接 BD DAB 180 C 50 AB 是直径 ADB 90 ABD 90 DAB 40 PD 是切线 ADP B 40 故选 A 4 20152015 自贡 自贡 如图 AB 是 O的直径 弦 CD AB CDB 30 CD 32 则阴影部分的面积为 第 4 页共 21 页 A 2 B C 3 D 3 2 解析 解析 BOD 60 5 20152015 凉山州 凉山州 如图 ABC 内接于 O OBC 40 则 A 的度数为 A 80 B 100 C 110 D 130 6 20152015 凉山州 凉山州 将圆心角为 90 面积为 4 cm2的扇形围成一个圆锥的侧面 则所围成的圆锥的底面 半径 A 1cm B 2cm C 3cm D 4cm 7 20152015 泸州 泸州 如图 PA PB 分别与 O 相切于 A B 两点 若 C 65 则 P 的度数为 A 65 B 130 C 50 D 100 8 20152015 眉山 眉山 如图 O 是 ABC 的外接圆 ACO 450 则 B 的度数为 A 300 B 350 C 400 D 450 9 20152015 巴中 巴中 如图 在 O 中 弦 AC 半径 OB BOC 50 则 OAB 的度数为 A 25 B 50 C 60 D 30 10 20152015 攀枝花 攀枝花 如图 已知 O 的一条直径 AB 与弦 CD 相交于点 E 且 AC 2 AE 3 CE 1 则 图中阴影部分的面积为 A 2 3 9 B 4 3 9 C 2 9 D 4 9 11 20152015 甘孜州 甘孜州 如图 已知扇形 AOB 的半径为 2 圆心角为 90 连接 AB 则图中阴影部分的面积 是 A 2 B 4 C 4 2 D 4 4 第 5 页共 21 页 12 2015达州 达州 已知正六边形 ABCDEF 的边心距为3cm 则正六边形的半径为 cm 13 20152015 自贡 自贡 如图 已知 AB 是 O 的一条直径 延长 AB 至 C 点 使 AC 3BC CD 与 O 相切于 D 点 若 CD 3 则劣弧 AD 的长为 14 20152015 遂宁 遂宁 在半径为 5cm 的 O 中 45 的圆心角所对的弧长为 cm 15 20152015 宜宾 宜宾 如图 AB 为 O 的直径 延长 AB 至点 D 使 BD OB DC 切 O 于点 C 点 B 是 A CF的中点 弦 CF 交 AB 于点 E 若 O 的半径为 2 则 CF 16 20152015 泸州 泸州 用一个圆心角为 120 半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面 这个圆锥的底面圆的半径 是 17 20152015 眉山 眉山 已知 O 的内接正六边形周长为 12cm 则这个圆的半经是 cm 18 20152015 广安 广安 如图 A B C 三点在 O 上 且 AOB 70 则 C 度 19 24 20152015 巴中 巴中 圆心角为 60 半径为 4cm 的扇形的弧长为 cm 20 20152015 甘孜州 甘孜州 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD 垂直平分半径 OA 则 ABC 的大小为 度 2 圆的基本性质圆的基本性质 例例 1 2016 资资阳阳 如图 在 O 中 点 C 是直径 AB 延长线上一点 过点C 作 O 的 切线 切点为D 连结 BD 1 求证 A BDC 2 若 CM 平分 ACD 且分别交AD BD 于点 M N 当 DM 1 时 求 MN 的长 解解答答 解 1 如图 连接OD 第 6 页共 21 页 AB 为 O 的直径 ADB 90 即 A ABD 90 又 CD 与 O 相切于点 D CDB ODB 90 OD OB ABD ODB A BDC 2 CM 平分 ACD DCM ACM 又 A BDC A ACM BDC DCM 即 DMN DNM ADB 90 DM 1 DN DM 1 MN 例例2 2015 资资阳阳 如图11 在 ABC中 BC是以AB为直径的 O的切线 且 O与AC相交于点D E 为BC的中点 连接DE 1 求证 DE 是 O 的切线 2 连接 AE 若 C 45 求 sin CAE 的值 解答 解 解答 解 1 连接 OD BD OD OB ODB OBD AB 是直径 ADB 90 CDB 90 E 为 BC 的中点 DE BE EDB EBD ODB EDB OBD EBD 即 EDO EBO BC 是以 AB 为直径的 O 的切线 AB BC EBO 90 ODE 90 DE 是 O 的切线 2 作 EF CD 于 F 设 EF x C 45 CEF ABC 都是等腰直角三角形 CF EF x BE CE x AB BC 2x 在 RT ABE 中 AE x sin CAE 例例 3 2014 资资阳阳 如图 AB 是 O 的直径 过点 A 作 O 的切线并在其上取一点 C 连接 OC 交 O 于点 D BD 的延长线交 AC 于 E 连接 AD 1 求证 CDE CAD 第 7 页共 21 页 2 若 AB 2 AC 2 求 AE 的长 解答 解答 1 证明 AB 是 O 的直径 ADB 90 B BAD 90 AC 为 O 的切线 BA AC BAC 90 即 BAD DAE 90 B CAD OB OD B ODB 而 ODB CDE B CDE CAD CDE 而 ECD DCA CDE CAD 2 解 AB 2 OA 1 在 Rt AOC 中 AC 2 OC 3 CD OC OD 3 1 2 CDE CAD 即 CE 例例 4 2013 资阳 资阳 在 O 中 AB 为直径 点 C 为圆上一点 将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D 连 结 CD 1 如图 1 若点 D 与圆心 O 重合 AC 2 求 O 的半径 r 2 如图 2 若点 D 与圆心 O 不重合 BAC 25 请直接写出 DCA 的度数 解答解答 1 如图 过点 O 作 OE AC 于 E 则 AE AC 2 1 翻折后点 D 与圆心 O 重合 OE r 在 Rt AOE 中 AO2 AE2 OE2 即 r2 12 r 2 解得 r 2 连接 BC AB 是直径 ACB 90 第 8 页共 21 页 BAC 25 B 90 BAC 90 25 65 根据翻折的性质 所对的圆周角等于所对的圆周角 DCA B A 65 25 40 课后练习课后练习 1 20152015 达州 达州 如图 AB 为半圆 O 的在直径 AD BC 分别切 O 于 A B 两点 CD 切 O 于点 E 连接 OD OC 下列结论 DOC 90 AD BC CD 22 AOD BOC SSADAO OD OC DE EC 2 ODDE CD 正确的有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 解析 解析 如图 连接 OE AD 与圆 O 相切 DC 与圆 O 相切 BC 与圆 O 相切 DAO DEO OBC 90 DA DE CE CB AD BC CD DE EC AD BC 结论 正确 在 Rt ADO 和 Rt EDO 中 OD OD DA DE Rt ADO Rt EDO HL AOD EOD 同理 Rt CEO Rt CBO EOC BOC 又 AOD DOE EOC COB 180 2 DOE EOC 180 即 DOC 90 结论 正确 DOC DEO 90 又 EDO ODC EDO ODC 即 OD2 DC DE 结论 正 确 而 结论 错误 由 OD 不一定等于 OC 结论 错 误 正确的选项有 故选 A 2 20152015 遂宁 遂宁 如图 在半径为 5cm 的 O 中 弦 AB 6cm OC AB 于点 C 则 OC A 3cm B 4cm C 5cm D 6cm 第 9 页共 21 页 解析 连接 OA AB 6cm OC AB 于点 C AC AB 6 3cm O 的半径为 5cm OC 4cm 故选 B 3 20152015 广元 广元 如图 已知 O 的直径 AB CD 于点 E 则下列结论一定错误的是 A CE DE B AE OE C A A BCBD D OCE ODE 4 20152015 广元 广元 如图 在 O 中 AB 是直径 点 D 是 O 上一点 点 C 是AAD的中点 弦 CE AB 于 点 E 过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G 连接 AD 分别交 CF BC 于点 P Q 连接 AC 给出下列 结论 BAD ABC GP GD 点 P 是 ACQ 的外心 其中正确结论是 只需填写序号 5 2015 成都 成都 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 AC 的垂直平分线分别与 AC BC 及 AB 的延长线相 交于点 D E F 且 BF BC O 是 BEF 的外接圆 EBF 的平分线交 EF 于点 G 交于点 H 连接 BD FH 1 求证 ABC EBF 2 试判断 BD 与 O 的位置关系 并说明理由 3 若 AB 1 求 HG HB 的值 第 10 页共 21 页 6 2015 遂宁 遂宁 如图 AB 为 O 的直径 直线 CD 切 O 于点 D AM CD 于点 M BN CD 于 N 1 求证 ADC ABD 2 求证 AD2 AM AB 3 若 AM 18 5 sin ABD 3 5 求线段 BN 的长 解答 1 证明 连接 OD 直线 CD 切 O 于点 D CDO 90 AB 为 O 的直径 ADB 90 1 2 2 3 90 1 3 OB OD 3 4 ADC ABD 2 证明 AM CD AMD ADB 90 1 4 ADM ABD AD2 AMAB 3 解 sin ABD sin 1 AM AD 6 AB 10 BD 8 BN CD BND 90 DBN BDN 1 BDN 90 DBN 1 sin NBD DN BN 7 20152015 宜宾 宜宾 如图 CE 是 O 的直径 BD 切 O 于点 D DE BO CE 的延长线交 BD 于点 A 1 求证 直线 BC 是 O 的切线 2 若 AE 2 tan DEO 2 求 AO 的长 第 11 页共 21 页 8 20152015 泸州 泸州 如图 ABC 内接于 O AB AC BD 为 O 的弦 且 AB CD 过点 A 作 O 的切线 AE 与 DC 的延长线交于点 E AD 与 BC 交于点 F 1 求证 四边形 ABCE 是平行四边形 2 若 AE 6 CD 5 求 OF 的长 解答 解答 1 证明 AE 与 O 相切于点 A EAC ABC AB AC ABC ACB EAC ACB AE BC AB CD 四边形 ABCE 是平行四边形 2 解 如图 连接 AO 交 BC 于点 H 双向延长 OF 分别交 AB C D 与点 N M AE 是 O 的切线 由切割线定理得 AE2 EC DE AE 6 CD 5 62 CE CE 5 解得 CE 4 已舍去负数 由圆的对称性 知四边形 ABDC 是等腰梯形 且 AB AC BD CE 4 又根据对称性和垂径定理 得 AO 垂直平分 BC MN 垂直平分 AB DC 设 OF x OH Y FH z AB 4 BC 6 CD 5 BF BC FH 3 z DF CF BC FH 3 z 易得 OFH DMF BFN 即 得 得 解得 x2 y2 z2 x OF 第 12 页共 21 页 9 20152015 绵阳 绵阳 如图 O 是 ABC 的内心 BO 的延长线和 ABC 的外接圆相交于点 D 连接 DC DA OA OC 四边形 OADC 为平行四边形 1 求证 BOC CDA 2 若 AB 2 求阴影 部分的面积 解析 1 证明 O 是 ABC 的内心 2 3 5 6 1 2 1 3 由 AD CO AD CO 4 5 4 6 BOC CDA AAS 由 1 得 BC AC 3 4 6 ABC ACB AB AC ABC 是等边三角形 O 是 ABC 的内心也是外心 OA OB OC 设 E 为 BD 与 AC 的交点 BE 垂直平分 AC 在 Rt OCE 中 CE AC AB 1 OCE 30 OA OB OC AOC 120 10 20152015 广元 广元 如图 AB 是 O 的弦 D 为半径 OA 的中点 过 D 作 CD OA 交弦 AB 于点 E 交 O 于 点 F 且 CE CB 1 求证 BC 是 O 的切线 2 连接 AF BF 求 ABF 的度数 3 如果 CD 15 BE 10 sinA 5 13 求 O 的半径 解 1 证明 连接 OB OB OA CE CB A OBA CEB ABC 又 CD OA A AED A CEB 90 OBA ABC 90 OB BC BC 是 O 的切线 2 连接 OF AF BF DA DO CD OA OAF 是等边三角形 AOF 60 ABF AOF 30 3 过点 C 作 CG BE 于点 G 由 CE CB EG BE 5 又 Rt ADE Rt CGE sin ECG sin A CE 第 13 页共 21 页 13 CG 12 又 CD 15 CE 13 DE 2 由 Rt ADE Rt CGE 得 AD CG O 的半径为 2AD 11 20152015 广安 广安 如图 PB 为 O 的切线 B 为切点 过 B 作 OP 的垂线 BA 垂足为 C 交 O 于点 A 连接 PA AO 并延长 AO 交 O 于点 E 与 PB 的延长线交于点 D 1 求证 PA 是 O 的切线 2 若 2 3 OC AC 且 OC 4 求 PA 的长和 tanD 的值 解 解 1 证明 连接 OB 则 OA OB OP AB AC BC OP 是 AB 的垂直平分线 PA PB 在 PAO 和 PBO 中 PA PBPO POOA OB PAO PBO SSS PBO PAO PB PA 2 OC2 213 AE 2OA 413 OB OA 213 在 Rt APO 中 AC OP AC2 OC PC 解得 PC 9 OP PC OC 13 在 Rt APO 中 由勾股定理得 AP OP2 OA2 313 PB PA PB 为 O 的切线 B 为切点 PBO 90 PAO 90 即 PA OA PA 是 O 的切线 2 连接 BE OCAC 23 且 OC 4 AC 6 AB 12 在 Rt ACO 中 由勾股定理得 AO AC13 AC BC OA OE OC 12BE OC BE BE 2OC 8 BE OP DBE DPO BDPD BEOP 即 BD313 BD 813 解得 BD 24135 在 Rt OBD 中 tanD OBBD 21324135 512 12 20152015 巴中 巴中 如图 AB 是 O 的直径 OD 弦 BC 于点 F 交 O 于点 E 连结 CE AE CD 若 AEC ODC 1 求证 直线 CD 为 O 的切线 2 若 AB 5 BC 4 求线段 CD 的长 解 解 1 证明 连接 OC CEA CBA AEC ODC CBA ODC 又 CFD BFO DCB BOF CO BO OCF B B BOF 90 OCF DCB 90 直线 CD 为 O 的切线 第 14 页共 21 页 2 解 连接 AC AB 是 O 的直径 ACB 90 DCO ACB 又 D B OCD ACB ACB 90 AB 5 BC 4 AC 3 即 解得 DC 3 圆与函数图象的综合圆与函数图象的综合 例例 1 2015 资资阳阳 如图 4 AD BC 是 O 的两条互相垂直的直径 点 P 从点 O 出发 沿 O C D O 的路线匀速运动 设 APB y 单位 度 那么 y 与点 P 运动的时间 x 单位 秒 的关系 图是 解答 解答 1 当点 P 沿 O C 运动时 当点 P 在点 O 的位置时 y 90 当点 P 在点 C 的位置时 OA OC y 45 y 由 90 逐渐减小到 45 2 当点 P 沿 C D 运动时 根据圆周角定理 可得 y 90 2 45 3 当点 P 沿 D O 运动时 当点 P 在点 D 的位置时 y 45 当点 P 在点 0 的位置时 y 90 y 由 45 逐渐增加到 90 故选 B 例例 2 2013 年四川巴中年四川巴中 如图 在平面直角坐标系中 坐标原点为 O A 点坐标为 4 0 B 点坐标为 1 0 以 AB 的中点 P 为圆心 AB 为直径作 P 交 y 轴的正半轴于点 C 1 求经过 A B C 三点的抛物线所对应的函数解析式 2 设 M 为 1 中抛物线的顶点 求直线 MC 对应的函数解析式 3 试说明直线 MC 与 P 的位置关系 并证明你的结论 解 1 A 4 0 B 1 0 AB 5 半径是 PC PB PA OP 在 CPO 中 由勾股定理得 第 15 页共 21 页 C 0 2 设经过 A B C 三点抛物线解析式是 把 C 0 2 代入得 经过 A B C 三点抛物线解析式是 2 M 设直线 MC 对应函数表达式是 y kx b 把 C 0 2 M 代入得 解得 直线 MC 对应函数表达式是 3 MC 与 P 的位置关系是相切 证明如下 设直线 MC 交 x 轴于 D 当 y 0 时 OD D 0 在 COD 中 由勾股定理得 又 CD 2 PC 2 PD 2 PCD 90 0 即 PC DC PC 为半径 MC 与 P 的位置关系是相切 课后作业课后作业 一 选择题一 选择题 每小题 3 分 共 24 分 1 1 如图 已知 A B C 在 O 上 下列选项中与 AOB 相等的是 A 2 C B 4 B C 4 A D B C 第 16 页共 21 页 2 2 如图 已知 AB 是 ABC 外接圆的直径 A 35 则 B 的度数是 A 35 B 45 C 55 D 65 3 3 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 垂足为 M 下列结论不成立的是 A CM DM B CB DB C ACD ADC D OM MD 4 4 如图 已知 O 的半径为 13 弦 AB 长为 24 则点 O 到 AB 的距离是 A 6 B 5 C 4 D 3 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 5 5 已知 的半径为 6 圆心到直线 的距离为 8 则直线 与 的位置关系是 OllO A 相交 B 相切 C 相离 D 无法确定 6 6 圆锥底面圆的半径为 3cm 其侧面展开图是半圆 则圆锥母线长为 A 3cm B 6cm C 9cm D 12cm 7 7 如图 Rt ABC 中 ACB 90 AC 4 BC 6 以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC BC 相 切于点D E 则AD 的长为 A 2 5 B 1 6 C 1 5 D 1 8 8 如图 直线与 x 轴 y 分别相交与 A B 两点 圆心 P 的坐标为 1 0 圆 P 与 y 轴相 3 3 3 yx 切与点 O 若将圆 P 沿 x 轴向左移动 当圆 P 与该直线相交时 横坐标为整数的点 P 的个数是 A 2 B 3 C 4 D 5 第 17 页共 21 页 第 7 题图 第 8 题图 二 填空题 二 填空题 每小题 3 分 共 24 分 9 9 如图 为的直径 为的弦 则的度数为 ABO CDO 25ACD BAD 10 10 如图 在 ABC 中 A 25 以点 C 为圆心 BC 为半径的圆交 AB 于点 D 交 AC 于点 E 则的度数 为 11 11 如图 的一边是 O的直径 请你添加一个条件 使是 O的切线 你所添加的条件为 ABC ABBC A B C O 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 12 12 如果圆锥的底面周长是 20 侧面展开后所得的扇形的圆心角为 120 则圆锥的母线长是 13 13 如果一个扇形的弧长等于它的半径 那么此扇形称为 等边扇形 则半径为 2 的 等边扇形 的面积 为 14 14 如图 AB 为 O 的直径 CD AB 若 AB 10 CD 8 则圆心 O 到弦 CD 的距离为 15 15 如图 A B C 两两外切 它们的半径都是 a 顺次连接三个圆心得到 ABC 则图中阴影部分 的面积之和是 16 16 如图 直线 l 与半径为 4 的 O 相切于点 A P 是 O 上的一个动点 不与点 A 重合 过点 P 作 PB 垂足为 B 连接 PA 设 PA PB y 则 y 的最大值是 lxx 第 18 页共 21 页 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 三 解答题三 解答题 本大题共 8 个小题 满分 52 分 17 17 本题 本题 4 4 分 分 如图 圆弧形桥拱的跨度米 拱高米 试求拱桥的半径 12AB 4CD 1818 本题 本题 4 4 分 分 如图 已知 AB 是 O 的直径 CD 是弦 且 CD AB BC 6 AC 8 求 sin ABD 的值 19 19 满分 满分 6 6 分 分 如图