高考数学难点突破_难点28__求空间距离

难点 28 求空间距离 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离 . 难点磁场 ( )如图，已知 矩形， AB=a,AD=b,面 2c,A 的中点 . 求： (1)Q 到 (2)P 到平面 距离 . 案例探究 例 1把正方形 对角线 E、 F 分别是 O 是原正方形的中心，求： (1)长 ； (2)折起后 大小 . 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属级题目 . 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式 . 错解分析：建立正确的空间直角坐标系 y 轴、 技巧与方法：建系方式有多种，其中以 O 点为原点，以 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向最为简单 . 解：如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标 系 O 正方形 长为 a,则 A(0，22a,0),B(22a,0,0),C(0, 22a,0),D(0,0, 22a),E(0,42a, a),F(42a, 42a,0) 21|,c o s,2|,2|8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(|)1(22222 20 例 2正方体 ，求异面直线 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属级题目 . 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得 . 错解分析：本题容易错误认为 主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离 . 技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采 用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得 . 解法一：如图，连结 正方体 面 1 连结 1, 面 平面 面 结 平面 面 1O 作 G，则 面 直线 为异面直线 在 2， ， 21121 = 26 31 111 异面直线 解法二：如图，在 ，作 ，作 ， 连结 平面 面 面 x,则 x 5， MR=x,)1(22 x31)31(23)1(21 22222 0 x 1) 当 x=31时， 1锦囊妙记 空间中的距离主要指以下七种： (1)两点之间的距离 . (2)点到直线的距离 . (3)点到平面的距离 . (4)两条平行线间的距离 . (5)两条异面直线间的距离 . (6)平面的平行直线与平面之间的距离 . (7)两个平行平面之间的距离 . 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或 平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离 . 在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点 . 求点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 .(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 .(3)体积法 . 求异面直线的距离： (1)定义法，即求公垂线段的长 .(2)转化成求直线与平面的距离 .(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的 . 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )正方形 长为 2， E、 F 分别是 中点，将正方 形沿 如图 )， M 为矩形 一点，如果 平面 成角的正切值为21，那么点 M 到直线 距离为 ( ) 21 D . 2 3C. B . 1 2 )三棱柱 ， ， ， 0 ,设平面 l，则 l 的距离为 ( ) A. 10 B. 11 、填空题 3.( )如左下图，空间四点 A、 B、 C、 D 中，每两点所连线段的长都等于 a，动点 P 在线段 ，动点 Q 在线段 ，则 的最短距离为 _. 4.( )如右上图， 果二面角 E 30，那么 平面 距离为 _. 三、解答题 5.( )在长 方体 ， ， ，如图： (1)求证：平面 面 (2)求 (1)中两个平行平面间的距离； (3)求点 1 6.( )已知正四棱柱 E 在棱 ，截面 面 成的角为 45 ,AB=a,求： (1)截面 (2)异面直线 (3)三棱锥 7.( )如图，已知三棱柱 的正三角形，侧棱 5角，且 E， . (1)求点 A 到平面 (2)当 1 8.( )如图，在梯形 ， ,31AD=a, 52, a. (1)求异面直线 (2)在线段 ，使点 参考答案 难点磁场 解： (1)在矩形 ，作 连结 面 三垂线定理得 长为 Q 到 在矩形 ， AB=a,AD=b, 2 ， 1PA=c 2222 Q 到 . (2)解法一：平面 过线段 中点， P 到平面 距离等于 在 ，作 H 为垂足 D 面 面 到平面 在 ， AQ=c,2 2222 )( P 到平面 ( 解法二：设点 A 到平面 距离为 h，由 Q 31S h=31S AQ h=22222 )( D 歼灭难点训练 一、 点 M 作 平面 =45 ,= 2 ,从而 2答案： A 线 l 过 B 与 l 于 D，连 1l 的距离，而 于 12,易求得 13=案： C 二、 A、 B、 C、 D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体， 取 P、 B、 中点，因为 Q=22a, 理可得 线段 长为 P、 Q 两点间的最短距离，在 ， 2)2()23( 2222 a 答案：22a 然 0 ,过 G平面 ，则 G 必在 面 F 与平面 距离，即 a. 答案：25.(1)证明：由于 面 理， 面 平面 面 2)解：设两平行平面 d，则 d 等于 1易求 ， 5 ， 13 ，则 52,则 561 ,则 S 111 = 61 ,由于111111 V ，则31 d= )21(31 111 入求得 d=616112,即两平行平面间的距离为616112. (3)解：由于线段 1 1由(2)知点 1(1)连结 ，连结 底面 正方形 5 又 2a， 2 a， 45a， S 2a (2) 面 异面直线 又 O 为 a 2 a， a (3)连结 ，交 Q，推证出 三棱锥 3a 32 4 2232 2311 (1) 面 面 5， a 2a,同理 2a,又 EF=a， 2a 同理 2a,又 EF=a 等腰直角三角形， 0 过 1N 面 1到平面 21 a又 A 到平面 a=2，所求距离为 2 (2)设 、 结 1 ，易证 1 面 面 平面 面 1M平面 ， 若 1N，又 0 13 ,即当 3 时满足条件 . (1) C 面 而 过 A 作 面 所求 . 在等腰直角三角形 ， B=a 2a (2)作 已知 552 1,即 1 正方形， 2 a,3 a 过 A 作 6下面在 ，使 ， 为等腰直角三角形 5 +45 =90 . 学法指导立体几何中的策略思想及方法 立体几何中的策略思想及方法 近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养 步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地 几何组合体中深层次考查空间的线面关系 考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法 . 一、领悟解题的基本策略思想 高考改革稳中有变 比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅 . 二、探寻立体几何图形中的基面 立体几何图形必须借助面的衬托 ，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来 明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面 过对这个平面的截得，延展或构造