高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用

116 难点 33 函数的连续及其应用 函数的连续性是新教材新增加的内容之一 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 难点磁场 ( )已知函数 f(x)=)51( )1(lo g)11( )1()1( 32 1)讨论 f(x)在点 x= 1,0,1 处的连续性； (2)求 f(x)的连续区间 . 案例探究 例 1已知函数 f(x)=242(1)求 f(x)的定义 域，并作出函数的图象； (2)求 f(x)的不连续点 (3)对 f(x)补充定义，使其是 命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映 知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象 . 错解分析：第 (3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 3)问是求的分数函数解析式 . 技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答 . 解： (1)当 x+2 0 时，有 x 2 因此，函数的定义域是 ( , 2) ( 2,+ ) 当 x 2 时， f(x)=242xx=x 2, 其图象如上图 (2)由定义域知，函数 f(x)的不连续点是 2. (3)因为当 x 2 时， f(x)=x 2,所以 )2(2 4. 因此，将 f(x)的表达式改写为 f(x)=2)( 4)2( 242则函数 f(x)在 例 2求证：方程 x=b(a 0,b 0)至少有一个正根，且它不大于 a+b. 命题意图：要判定方程 f(x)=0 是否有实根 y=f(x)的图象是否与 此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在 x 轴上方，另一点在 x 轴下方即可 知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正 . 错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用 . 117 证明：设 f(x)=b x, 则 f(0)=b 0,f(a+b)=a a+b)+b (a+b)=a a+b) 1 0, 又 f(x)在 (0,a+b内是连续函数，所以存在一个 (0,a+b，使 f(0,即 f(x)=0的根，也就是方程 x=a b 的根 . 因此，方程 x=b 至少存在一个正根，且它不大于 a+b. 锦囊妙计 f(x)在 等式f(x)=f(涵义是： (1)f( x= f(在； (2)f(x)存在，这里隐含着 f(x)在点 x=近有定义； (3)f(x)在点 的极限值等于这一点的函数值，即f(x)=f( 函数 f(x)在 映在图象上是 f(x)的图象在点 x= f(x)在点 是 f(x)的图象在点 x= 其情形： (1)f(x)存在； f(在，但f(x) f(2)f(x)存在，但 f(存在 .(3) f(x)不存在 . 以得到计算函数极限的一种方法：如果函数 f(x)在其定义区间内是连续的，点 定义区间内的一点，那么求 x 函数 f(x)的极限，只要求出 f(x)在点 f(可以了，即f(x)=f( 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )若 f(x)=11113 点 x=0 处连续，则 f(0)等于 ( ) .( )设 f(x)=21 11 2110 f(x)的连续区间为 ( ) A.(0， 2) B.(0， 1) C.(0， 1) (1， 2) D.(1， 2) 二、填空题 3.( )x 2ln(=_. 4.( )若 f(x)=0 0 11x 处处连续，则 a 的值为 _. 三、解答题 118 5.( )已知函数 f(x)=)0( 1)0( 121211)f(x)在 x=0 处是否连续？说明理由； (2)讨论 f(x)在闭区间 1,0和 0,1上的连续性 . 6.( )已知 f(x)=)0()0(11x (1)求 f( x); (2)求常数 a 的值，使 f(x)在区间 ( ,+ )内处处 连续 . 7.( )求证任何一个实系数一元三次方程 (a0,a1,a2,R,0)至少有一个实数根 . 8.( )求函数 f(x)=)1( )21( 2 不连续点和连续区间 . 参考答案 难点磁场 解： (1)xf(x)=3, xf(x)= 1,所以xf(x)不存在，所以 f(x)在 x= 1 处不连续， 但xf(x)=f( 1)= 1, xf(x) f( 1),所以 f(x)在 x= 1 处右连续，左不连续 xf(x)=3=f(1), xf(x)不存在，所以xf(x)不存在，所以 f(x)在 x=1 不连续，但左连续，右不连续 . 又xf(x)=f(0)=0,所以 f(x)在 x=0 处连续 . (2)f(x)中，区间 ( , 1), 1,1 ,(1,5上的三个函数都是初等函数，因此 f(x)除不连续点 x= 1 外，再也无不连续点，所以 f(x)的连续区间是 ( , 1), 1,1和 (1,5 . 歼灭难点训练 一、 1111)1()11(11)1()11)(11()(333 233 22311111)0(1111)1( 323A 11 xx 19 21)1(1)(11 f(x)在 x=1 点不连续，显知 f(x)在 (0,1)和 (1,2)连续 . 答案： C 二、 用函数的连续性，即)()(0, 11a r c t a 12si n (11a r c t a 2si n (121,0)(400000答案：21三、 f(x)=)0( 1)0(12111) xf(x)= 1, xf(x)=1,所以xf(x)不存在，故 f(x)在 x=0 处不连续 . (2)f(x)在 ( ,+ )上除 x=0 外，再无间断点，由 (1)知 f(x)在 x=0 处右连续，所以 f(x)在 1， 0上是不连续函数，在 0,1上是连续函数 . (1)f( x)=)0( )0( 11(2)要使 f(x)在 ( ,+ )内处处连续，只要 f(x)在 x=0连续，xf(x) = x x x 11=2111 11(0 x xf(x)=x(a+a,因为要 f(x)在 x=0处连续，只要xf(x)= xf(x) = xf(x)=f(0),所以 a= f(x)=数 f(x)在 ( ,+ )连续，且 x