《统计学》-第五章-时间数列(补充例题)

1 第五章第五章 动态数列动态数列 例 1 九五 时期我国国内生产总值资料如下 单位 亿元 其中年份国内生产总值 第一产业第二产业第三产业 1996 1997 1998 1999 2000 67884 6 74462 6 78345 2 82067 4 89403 5 13844 2 14211 2 14552 2 14472 0 14212 0 33612 9 37222 7 38619 3 40557 8 45487 8 20427 5 23028 7 25173 5 27037 7 29703 8 试计算 九五 时期我国国内生产总值和其中各产业的平均发展水平 解 解 分析分析 这是时期数列资料 可按简单算术平均数 这是时期数列资料 可按简单算术平均数 计算平均发展水平 计算平均发展水平 n a 计算结果如下 计算结果如下 国内生产总值平均发展水平国内生产总值平均发展水平 78432 778432 7 亿元亿元 其中 第一产业平均发展水平其中 第一产业平均发展水平 14258 314258 3 亿元 第二产业平均发展水平亿元 第二产业平均发展水平 39100 139100 1 亿元 第三亿元 第三 产业平均发展水平产业平均发展水平 25074 225074 2 亿元 亿元 例 2 我国人口自然增长情况见下表 单位 万人 1986 年1987 年1988 年1989 年1990 年 比上年增加人口 16561793172616781629 试计算我国在 七五 时期年平均增加人口数量 解 解 分析分析 新增长人口是时期指标 故平均增加人口数量仍用新增长人口是时期指标 故平均增加人口数量仍用计算 计算 n a a 年平均增加年平均增加 万人 万人 4 1696 5 16291678172617931656 n a a 例 3 某商店 2010 年商品库存资料如下 单位 万元 日期库存额日期库存额 1 月 1 日 1 月 31 日 2 月 28 日 3 月 31 日 4 月 30 日 5 月 31 日 6 月 30 日 63 60 55 48 43 40 50 7 月 31 日 8 月 31 日 9 月 30 日 10 月 31 日 11 月 30 日 12 月 31 日 48 45 45 57 60 68 试计算第一季度 第二季度 上半年 下半年和全年的平均库存额 2 解 这是一个等间隔时点数列 用解 这是一个等间隔时点数列 用 首末折半法首末折半法 计算 计算 1 2 1 2 1 121 n aaaa a nn 万元 第一季度平均库存额 8 56 3 2 48 5560 2 63 万元 第二季度平均库存额44 3 2 50 4043 2 48 万元 第三季度平均库存额 8 46 3 2 45 4548 2 50 万元 第四季度平均库存额 8 57 3 2 68 6057 2 45 万元 上半年平均库存额 4 50 2 44 8 56 万元 下半年平均库存额 3 52 2 8 57 8 46 万元 全年平均库存额35 51 4 8 578 4644 8 56 例 4 某企业 2002 年各月份记录在册的工人数如下 1 月 1 日2 月 1 日4 月 1 日6 月 1 日9 月 1 日12 月 1 日 12 月 31 日 在册 工人 数 326330335408414412412 试计算 2002 年该企业平均工人数 解 解 分析分析 这是不等间隔时点数列 用间隔月数进行加权的公式计算平均工人数 这是不等间隔时点数列 用间隔月数进行加权的公式计算平均工人数 121 11232121 2 1 2 1 2 1 n nnn fff faafaafaa a 133221 1 2 412412 3 2 412414 3 2 414408 2 2 408335 2 2 335330 1 2 330326 385 385 人 人 例 5 某企业 2002 年各季度计划利润和利润计划完成程度的资料如下 计划利润 万元 利润计划完成 第一季度 第二季度 860 887 130 135 3 第三季度 第四季度 875 898 138 125 试计算该企业年度利润计划平均完成百分比 解 解 分析分析 应该按两个时期数列对比组成的相对指标动态数列计算序时平均数的算式计应该按两个时期数列对比组成的相对指标动态数列计算序时平均数的算式计 算 算 b a n b n a a 该企业利润年平均计划完成百分比 该企业利润年平均计划完成百分比 132 898875887860 125898 138875 135887 130860 例 6 1995 2000 年各年底某企业职工工人数和工程技术人员数资料如下 年份职工人数工程技术人员 1995 1996 1997 1998 1999 2000 1000 1020 1085 1120 1218 1425 50 50 52 60 78 82 试计算工程技术人员占全部职工人数的平均比重 解 解 分析分析 这是由两个时点数列对比所组成的相对指标动态数列计算序时平均数的问题 这是由两个时点数列对比所组成的相对指标动态数列计算序时平均数的问题 分子和分母均应按分子和分母均应按 首末折半法首末折半法 计算序时平均数后加以对比 计算序时平均数后加以对比 工程技术人员占全部职工工人数比重 工程技术人员占全部职工工人数比重 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 121 121 nn nn bbbb n aaaa n 4 5 1 1131 2 61 2 1425 1218112010851020 2 1000 16 1 2 82 78605250 2 50 16 1 例 7 某工厂 2003 年上半年工人数和工业总产值资料如下 月份月初工人数 人 总产值 亿元 1 2 3 4 5 6 1850 2050 1950 2150 2216 2190 2 50 2 72 2 71 3 23 3 74 3 73 另外 7 月初工人数为 2250 人 根据上述资料计算 1 上半年平均工人数 2 上半年平均总产值 3 上半年平均劳动生产率 4 上半 年劳动生产率 解 解 分析分析 解答本题要明确劳动生产率的概念 认识月初工人数是时点指标 总产值是解答本题要明确劳动生产率的概念 认识月初工人数是时点指标 总产值是 4 时期指标 然后采用相应的方法计算序时平均数加以对比 时期指标 然后采用相应的方法计算序时平均数加以对比 1 1 上半年平均工人数 上半年平均工人数 人 2101 17 2 2250 21902216215019502050 2 1850 2 2 上半年平均总产值 上半年平均总产值 亿元 105 3 6 73 3 74 3 23 3 71 2 72 2 50 2 3 3 上半年平均劳动生产率 上半年平均劳动生产率人万元 亿元 78 14001478 0 2101 105 3 4 4 上半年劳动生产率 上半年劳动生产率 人万元 亿元 67 88008867 0 2101 73 3 74 3 23 3 71 2 72 2 50 2 例 8 某公司的两个企业 2004 年 2 月份工业增加值及每日工人在册资料如下 工人数企业增加值 万元 1 15 日16 20 日21 28 日 甲 乙 415 452 330 332 312 314 245 328 试计算各企业和综合两企业的月劳动生产率 解 先按解 先按公式计算平均工人数公式计算平均工人数 f af 甲企业 甲企业 人 303 5 302 8515 8245531215330 乙企业 乙企业 人 328 6 327 8515 8328531415332 全公司 全公司 人 630 8515 8328245531431215332330 计算结果如下表 计算结果如下表 增加值 万元 增加值 万元 平均工人数 人 平均工人数 人 月劳动生产率 元月劳动生产率 元 人 人 企业企业 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 甲甲 乙乙 415415 452452 302 5302 5 327 6327 6 1371913719 1379713797 合计合计 8678676306301376213762 例 9 试利用动态指标的互相联系来确定某市生产总值动态数列水平和所缺的环比动态指 标 环比动态指标 年份 生产 总值 亿元 增长量 亿元 发展速度 增长速度 增长 1 绝对值 亿元 2000353 200124 2002106 1 5 20037 25 2004 2005324 59 2006108 200742 20086125 72 200948 解 解 分析分析 动态分析指标中增长速度与发展水平 前期水平与增长动态分析指标中增长速度与发展水平 前期水平与增长 1 1 绝对值的关系是解绝对值的关系是解 答本题的依据 答本题的依据 就是结果如下表所示 就是结果如下表所示 环比动态指标环比动态指标 年份年份 生产生产 总值总值 亿元亿元 增长量增长量 亿元亿元 发展速度发展速度 增长速度增长速度 增长增长 1 1 绝对值绝对值 亿元亿元 20002000353353 200120013773772424106 8106 86 86 83 533 53 200220024004002323106 1106 16 16 13 773 77 200320034294292929107 25107 257 257 254 004 00 200420044594593030107 0107 07 07 04 294 29 200520054914913232107 0107 07 07 04 594 59 2006200653053039391081088 08 04 914 91 200720075725724242107 9107 97 97 95 305 30 200820086126124040107 0107 07 07 05 725 72 200920096606604848107 8107 87 87 86 126 12 平均增长量平均增长量 11 34 9 484042393230292324 9 353660 平均发展速度平均发展速度 9 8 107 107 9 107 108 107 107 3 107 1 106 8 106 072 1 353 660 9 平均增长速度平均增长速度 1 072 1 0 072 1 072 1 0 072 即该市生产总值年平均总值即该市生产总值年平均总值 34 1134 11 亿元 平均发展速度亿元 平均发展速度 107 2 107 2 例 10 已知某公司所属甲 乙两工厂 2001 年利税各为 500 万元与 1000 万元 其环比增长 速度如下 单位 2002 年2003 年 甲厂 乙厂 12 5 10 0 10 15 试通过计算确定哪个工厂平均增长速度较高 整个公司哪年的发展速度较快 解 各年份利税总量指标计算如下 解 各年份利税总量指标计算如下 单位 单位 6 20012001 年年20022002 年年20032003 年年 甲厂甲厂 乙厂乙厂 500500 10001000 500 1 125 562 5500 1 125 562 5 1000 1 1 11001000 1 1 1100 562 5 1 1 618 75562 5 1 1 618 75 1100 1 15 12651100 1 15 1265 合计合计 150015001662 51662 51883 751883 75 平均增长速度 平均增长速度 甲厂 甲厂 24 111124 0 1 500 75 618 11 1125 1 乙厂 乙厂 47 121247 0 1 1000 1265 115 1 1 1 乙厂的平均增长速度比甲厂高乙厂的平均增长速度比甲厂高 1 231 23 个百分点个百分点 公司发展速度 公司发展速度 20022002 年 年 83 110 1500 5 1662 1000500 1100 5 562 20032003 年 年 31 113 5 1662 75 1883 1100 5 562 126575 618 说明整个公司说明整个公司 20032003 年发展速度较快 年发展速度较快 例 11 某地区粮食产量 1985 1987 年平均发展速度是 1 03 1988 1989 年平均发展速度 是 1 05 1990 年比 1989 年增长 6 试求 1985 1990 年六年的平均发展速度 解 解 分析分析 本题的基年是本题的基年是 19841984 年 前后跨度七年 可理解为对年 前后跨度七年 可理解为对 6 6 项环比发展速度按几何项环比发展速度按几何 平均法计算其平均值 平均法计算其平均值 平均发展速度平均发展速度 2 10406 1 05 1 03 1 6 23 f f XX 例 12 1995 年我国国内生产总值 5 76 万亿元 九五 的奋斗目标是到 2000 年增加到 9 5 万亿元 远景目标是 2010 年比 2000 年翻一番 试问 1 九五 期间将有多大平 均增长速度 2 1996 2010 年 以 1995 年为基期 平均每年发展速度多大才能实现远 景目标 3 2010 年人口控制在 14 亿内 那时人均国内生产总值达到多少元 解 解 1 1 平均发展速度 平均发展速度 52 110 76 5 5 9 5 0 n n a a 九五九五 平均增长速度将达到平均增长速度将达到 10 52 10 52 2 2 至 至 20102010 年国内生产总值将达到的规模是 年国内生产总值将达到的规模是 195 92万亿元 实现远景目标的平均增长速度为 实现远景目标的平均增长速度为 3 81083 1 1 76 5 19 1 15 0 n n a a 3 3 20102010 年人均国内生产总值将达到的水平是 年人均国内生产总值将达到的水平是 357 1 1419万元 例 13 某煤矿采煤量如下 7 日期产量日期产量日期产量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 301 302 304 291 298 310 305 312 315 310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 308 319 320 323 296 290 328 330 334 338 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 336 334 338 338 339 345 342 356 350 351 求 1 按五日和按旬合并煤产量 编成时间数列 2 按五日和按旬计算平均日产量 编成时间数列 3 运用移动平均法 时距扩大为四天和五天 编制时间数列 解 解 1 1 2 2 按五日和按旬计算的采煤量与按五日和按旬的平均日产量编成时间数列 按五日和按旬计算的采煤量与按五日和按旬的平均日产量编成时间数列 某煤矿每五日的采煤量和每五日平均每日采煤量的时间数列某煤矿每五日的采煤量和每五日平均每日采煤量的时间数列 单位 吨单位 吨 日期起止日期起止煤产量煤产量平均日产量平均日产量日期起止日期起止煤产量煤产量平均日产量平均日产量 1 51 5 6 106 10 11 1511 15 14961496 15521552 15661566 299 2299 2 310 4310 4 313 2313 2 16 2016 20 21 2521 25 26 3026 30 16151615 16851685 17441744 323323 337337 348 8348 8 某煤矿每某煤矿每 1010 日的采煤量和每日的采煤量和每 1010 日平均每日采煤量的时间数列日平均每日采煤量的时间数列 单位 吨单位 吨 日期起止日期起止 1 101 1011 2011 2021 3021 30 煤产量煤产量 平均日产量平均日产量 30483048 304 8304 8 31813181 318 1318 1 34293429 342 9342 9 3 3 运用移动平均法 时距扩大为四天和五天 编制时间数列 运用移动平均法 时距扩大为四天和五天 编制时间数列 五天移动平均 五天移动平均 第一个平均数为第一个平均数为 2 299 5 1496 5 298291304302301 对正第三天原值 对正第三天原值 依次类推移动平均 得出五天移动平均数列共依次类推移动平均 得出五天移动平均数列共 2626 项 项 四天移动平均 四天移动平均 第一个平均数为第一个平均数为 5 299 4 291304302301 对着第对着第 2 32 3 项中间 项中间 第二个平均数为第二个平均数为75 298 4 298291304302 对着第对着第 2 32 3 项中间 依次类推移动平均 得出四天移动平均数列 最后进行二项移正平均 项中间 依次类推移动平均 得出四天移动平均数列 最后进行二项移正平均 趋势值趋势值日期日期产量产量 五天移动平均五天移动平均四天移动平均四天移动平均两项移正平均两项移正平均 1 1301301 8 2 2302302 299 50299 50 3 3304304229 2229 2299 10299 10 298 75298 75 4 4291291301 0301 0299 75299 75 300 75300 75 5 5298298301 6301 6300 88300 88 301 00301 00 6 6310310303 2303 2303 75303 75 306 25306 25 7 7305305308 0308 0308 50308 50 310 50310 50 8 8312312310 4310 4310 50310 50 310 50310 50 9 9315315310 0310 0310 90310 90 311 25311 25 1010310310312 8312 8312 10312 10 313 00313 00 1111308308314 4314 4313 60313 60 314 25314 25 1212319319316 0316 0315 90315 90 317 50317 50 1313320320313 2313 2316 00316 00 314 50314 50 1414323323309 6309 6310 90310 90 307 25307 25 1515296296311 4311 4308 30308 30 309 25309 25 1616290290313 4313 4310 25310 25 311 00311 00 1717328328315 6315 6315 80315 80 320 50320 50 1818330330323 0323 0325 90325 90 331 25331 25 1919334334332 2332 2332 30332 30 333 25333 25 2020333333333 4333 4333 80333 80 334 25334 25 2121336336335 1335 1334 80334 80 335 25335 25 2222334334335 8335 8336 00336 00 336 50336 50 2323338338337 0337 0337 00337 00 9 337 25337 25 2424338338338 8338 8338 60338 60 340 00340 00 2525339339340 4340 4340 50340 50 341 00341 00 2626345345344 4344 4343 25343 25 345 50345 50 2727342342346 4346 4346 90346 90 348 25348 25 2828356356348 8348 8349 00349 00 349 75349 75 2929350350 3030351351 例 14 某地区年粮食总产量如下表所示 年份产量 万吨 年份产量 万吨 1 2 3 4 5 230 236 241 246 252 6 7 8 9 10 257 262 276 281 286 要求 1 试检查该地区粮食生产发展趋势是否接近于直线型的 2 如果是直线型 请用最小平方法配合直线趋势方程 3 预测第 11 年的粮食生产水平 解 解 1 1 列表如下 列表如下 年份年份产量产量 y y逐期增长量逐期增长量年份年份产量产量 y y逐期增长量逐期增长量 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 230230 236236 241241 246246 25252525 6 6 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 257257 262262 276276 281281 286286 5 5 5 5 1414 5 5 5 5 从逐期增长量可以看出 各期增长量大体相同 所以变化趋势是直线型的 从逐期增长量可以看出 各期增长量大体相同 所以变化趋势是直线型的 2 2 配合直线趋势方程如下 配合直线趋势方程如下 年份年份产量产量y时间代码时间代码t 2 t ty 趋势值趋势值btayt 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 230230 236236 241241 246246 252252 257257 262262 276276 9 9 7 7 5 5 3 3 1 1 1 1 3 3 5 5 8181 4949 2525 9 9 1 1 1 1 9 9 2525 2070 2070 1652 1652 1205 1205 738 738 252 252 252252 786786 13801380 228 17228 17 234 51234 51 240 85240 85 247 19247 19 253 53253 53 259 87259 87 266 21266 21 272 55272 55 10 9 9 1010 281281 286286 7 7 9 9 4949 8181 19671967 25742574 278 89278 89 285 23285 23 256725670 03303301047104725672567 把上表数据代入简化了的方程组 把上表数据代入简化了的方程组 2 tbty nay 解得解得 7 256 10 2567 n y a17 3 330 1047 2 t ty b 则配合的直线方程为则配合的直线方程为tbtayt17 3 7 256 3 3 预测第 预测第 1111 年 年 粮食产量为 粮食产量为 11 t 57 2911117 3 7 256 11 万吨 y 例 15 以下是某厂的单位产品成本和配合方程的相关数据 年份金额 元 y环比速度 t 2 t ylgytlg 1995 1996 1997 1998 1999 2000 435 422 407 395 382 370 97 01 96 45 97 05 96 71 96 86 1 2 3 4 5 6 1 4 9 16 25 36 2 6385 2 6253 2 6096 2 5966 2 5821 2 5682 2 6385 5 2506 7 8288 10 3864 12 9105 15 4092 219115 620354 424 预测 2001 年的单位产品水平 解 解 分析分析 从以上资料可知环比速度大体相同 所以其发展趋势是指数曲线型的 方程从以上资料可知环比速度大体相同 所以其发展趋势是指数曲线型的 方程 式为式为 t t aby abtylglglg 设设aAbByYlg lg lg 下面用最小二乘法配合曲线方程 下面用最小二乘法配合曲线方程 01412 0 21916 620 1521424 546 222 ttn YttYn B 968 0 1010 01412 0 B b 11 6528 2 6 21 1412 0 6 6203 15 n t B n Y A 573 4491010 6528 2 A a 所以所以 tt t aby968 0 573 449