高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值

难点 16 三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 . 难点磁场 ( )已知2 43, )=1312, + )=53,求 值_. 案例探究 例 1不查表求 + 3 值 . 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高 级题目 . 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用 . 错解分析：公式不熟，计算易出错 . 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会 . 解法一： + 3 =21(1 )+21(1+)+ 3 =121+21+ 3 0 +20 ) =121+21( )+ 3 ( ) =1214143+4323 =14343(1 )= 41解法二：设 x=+ 3 y=+ 3 则 x+y=1+1 3 =21， x y= + 3 = 2+ 3 =0 x=y=41，即 x=+ 3 =41. 例 2设关于 x 的函数 y=22(2a+1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)=21的 a 值，并对此时的 a 值求 y 的最大值 . 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力 级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题 . 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 . 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等 . 解：由 y=2(a)22 242 1， 1得： f(a)2( 41)22( 122)2( 12f(a)=21, 1 4a=21 a=81 2,+ ) 故22a 2a 1=21，解得： a= 1，此时， y=2(1)2+21，当 时，即 x=2 k Z， . 例 3已知函数 f(x)=2x+3) 3 1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值； (3)若当 x12，127时， f(x)的反函数为 f 1(x)，求 1(1)的值 . 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属级题目 . 知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识 . 错解分析：在求 1(1)的值时易走弯路 . 技巧与方法：等价转化，逆向思维 . 解： (1)f(x)=2x+3) 3 2 3 23 x+3) f(x)的最小正周期 T= (2)当 2x+3=22，即 x=125(k Z)时， f(x)取得最小值 2. (3)令 2x+3)=1，又 x27,2 , 2x+33,23 , 2x+3=65，则 x=4，故 1(1)= 4. 锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： 1给角求值， 2给值求值， 3给式求值， 4求函数式的最值或值域， 5化简求值 . 1要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 . 2注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等 常规技巧的运用 . 3对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 . 4求最值问题，常用配方法、换元法来解决 . 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )已知方程 a+1=0(a 1)的两根均 且 ， (2,2)，则 的值是 ( ) 2 21或 2 二、填空题 2.( )已知 53， (2， )， )= 21，则 2 )=_. 3.( )设 (43,4 )， (0，4)， 4)=53， 3+ )=135，则 + )=_. 三、解答题 o 7 0t a 0 0s 0s +x)=53， (1217 x47)，求x xx 的值 . 6.( )已知 =38 ，且 k Z)4(s s c)c o s (1 2 的最大值及最大值时的条件 . 7.( )如右图，扇形 半径为 1，中心角 60，四边形 扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点 P 的位置，并求此最大面积 . 8.( )已知 3 ， 取值范围是D， x D，求函数 y=10432最小值，并求取得最小值时 x 的值 . 参考答案 难点磁场 解法一：2 43, 0 4 + 43, )= s i n1)c o s (,135)(c o 2 ( )+( + ) = ) + )+ ) + ) 3(1312)54(135 解法二： )=135, + )=54, 2 + ) )=6572 2 + ) )=6540 6556)65406572(21 歼灭难点训练 一、 a 1， 4a 0. 3a+1 0,又 、 (2,2) 、 (2, ),则2 (2,0),又 + )=342t a a n2)t a n (,34)13(14t a nt a a nt a 又a a, 整理得 22ta = 2. 答案： B 53, (2, ), 54则 43,又 )=21可得 21, 247)34()43(1)34(432t a nt a a nt a n)2t a n (1(1)21(2t a a a 答案： (43,4 ), 4 (0, 2),又 4)=53. 6556)s i n (312(53)43s i n ()4s i n ()43c o s ()4c o s ()43()4c o s (2)43()4s i n ()s i n (3c o s (,135)43s i n ().,43(43)(,54)4s i n (即答案：6556三、 ： 2 752853)54(257)4c o s ()4s i n (2s i ns i nc o sc o s)c o s( s i ns i o ss i i o ss i a i i s i n (,2435,(2c o i n,53)4c o s (:又解 2)322s i n (22)21()322s i n (822c o i s i s i s i 2c o o i 2c o s (142s i n1)c o s i n)44(s i i s c)c o s (1:解 k （ k Z） ,322322 k（ k Z） 当 ,22322 k（ k Z）时 , )322的最小值为 1. x 轴 原点，建立平面直角坐标系，并设 P 的坐标为 (，则 =直线 方程为 y= 3 x，直线 方程为 y=联立解之得 Q(33 ，所以 =33 于是 33=33( 3 =33(232 2)=33(232121)= 33 +6)63. 0 3,6 2 +665 .21 +6) 1. +6)=