江苏省海安高级中学2020届高三3月线上考试 数学试题（PDF版）

江苏江苏省省海安中学高三数学模拟考试数学试卷海安中学高三数学模拟考试数学试卷 数学数学 1 1 方差公式 2222 12 1 n sxxxxxx n 其中 12 1 n xxxx n 一 填空题 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 不需要写出解答过程 请把答案 直接填在答题卡相应位置上 1 已知集合 02 Axx 1 Bx x 则AB 2 复数 1 zii 的共轭复数在复平面内对应的点位于第 象限 3 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况 现随机抽测了通 过这段公路的 200 辆汽车的时速 所得数据均在区间 40 80 中 其频率分布直方图如图所示 则在抽测的 200 辆汽车 中 时速在区间 40 60 内的汽车有 辆 4 袋中装有 5 个大小相同的球 其中 3 个黑球 2 个白球 从中一次摸出 2 个球 则摸出 1 个黑球和 1 个白球的概率等于 5 在一次知识竞赛中 抽取 5 名选手 答对的题数分布情况如下表 则这 组样本的方差为 6 如右图所示的算法流程图中 最后输出值为 7 已知m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 若m m 则 若m n 则mn 若m n 则 mn 若 m m n 则 mn 上述命题中为真命题的是 填写所有真命题的序号 答对题数 4 8 9 10 人数分布 1 1 2 1 第 6 题图 第 3 题图 第 5 题表 8 公元五世纪张丘建所著 张丘建算经 卷 22 题为 今有女善织 日益功疾 初日织五尺 今一月日织九匹三丈 问日益几何 题目的意思是 有个女子善于织布 一天比一天 织得快 每天增加的数量相同 已知第一天织布 5 尺 一个月 30 天 共织布 9 匹 3 丈 则该女子每天织尺布的增加量为 尺 1 匹 4 丈 1 丈 10 尺 9 若cos2cos 4 则tan 8 10 如图 已知O为矩形ABCD内的一点 且2OA 4OC 5AC 则 OB OD 11 已知关于x的方程 1x xa 在 2 上有三个相异实根 则实数a的取值范 围是 12 已知0 0ab 且 11 1 ab 则32 b ab a 的最小值等于 13 如图 已知8 AC B为AC的中点 分别以 AB AC为直径在AC的 同侧作半圆 M N分别为两半圆上的动点 不含端点ABC 且 BMBN 则 AM CN的最大值为 14 若关于x的不等式 32 3 0 xxaxb 对任意的实数 1 3 x 及任意的实数 2 4 b 恒成 立 则实数a的取值范围是 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域 内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 15 已知 ABC 内接于单位圆 半径为 1 个单位长度的圆 且 1tan 1tan 2AB 1 求角C的大小 2 求 ABC 面积的最大值 16 如图 在四面体 ABCD 中 ABACDBDC 点 E 是 BC 的中点 点 F 在线段 AC 上 且 AF AC 1 若 EF 平面 ABD 求实数 的值 2 求证 平面 BCD 平面 AED 第 16 题图 E A B C D F B A O C D 第 10 题图 17 如图 长方形材料中 已知 点为材料内部一 点 于 于 且 现要在长方形材料 中裁剪出四边形材料 满足 点 M N 分别在边 AB AD 上 1 设 试将四边形材料的面积表示为的函数 并指明的取 值范围 2 试确定点在上的位置 使得四边形材料的面积最小 并求出其最 小值 18 已知椭圆E 222 9 xym 0m 直线l不过原点 O且不平行于坐标轴 l与E 有两个交点 A B 线段AB的中点为M 1 若3 m 点K在椭圆E上 1 F 2 F分别为椭圆的两个焦点 求 21 KFKF 的范围 2 证明 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值 3 若l过点 3 m m 射线OM与椭圆E交于点P 四边形OAPB能否为平行四边形 若能 求此时直线l斜率 若不能 说明理由 ABCD2 3AB 4AD PABCD PEAB EPFAD F1PE 3PF ABCD AMPN150MPN FPN AMPNS NADAMPNS P A D C B M N E F 第 17 题图 19 已知函数 e x f xa lnln g xxa 其中a为常数 且曲线 y f x在其与y 轴的交点处的切线记为 1 l 曲线 y g x在其与x轴的交点处的切线记为 2 l 且 12 l l 1 求 12 l l之间的距离 2 若存在x使不等式 xm x f x 成立 求实数m的取值范围 3 对于函数 f x和 g x的公共定义域中的任意实数 0 x 称 00 f xg x的值为 两函数在 0 x处的偏差 求证 函数 f x和 g x在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 20 设数列 n a的前n项和为 n S 2 3 nn Sa Nn 1 求数列 n a的通项公式 2 设数列 n b满足 对于任意的 Nn 都有 1 121321 1 33 3 n nnnn aba ba ba bn成立 求数列 n b的通项公式 设数列 nnn c ab 问 数列 n c中是否存在三项 使得它们构成等差数列 若存在 求出这三项 若不存在 请说明理由 数学 理科 附加题数学 理科 附加题 说明 说明 1 以下题目的答案请直接填写在答卷上 以下题目的答案请直接填写在答卷上 2 本卷总分 本卷总分 40 分 考试时间分 考试时间 30 分钟 分钟 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区域 内作答 若多做 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 四边形 ABCD 内接于圆O 弧AB与弧AD长度相等 过 A 点的切线交 CB 的延 长线于 E 点 求证 2 ABBE CD B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 A 23 12 列向量 y x X 7 4 B 且BAX 1 求矩阵A的逆矩阵 1 A 2 求 x y的值 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 已知点 P 在曲线 C x 4cos y 3sin 为参数 上 直线 l x 3 2 2 t y 3 2 2 t t 为参数 求 P 到直线 l 距离的最小值 D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知 x y z 均为正数 求证 111xyz yzzxxyxyz A E B C D O 第 21 A 题 22 如图所示 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 CA 4 CB 4 CC1 2 2 ACB 90 点 M 在线段 A1B1上 1 若 A1M 3MB1 求异面直线 AM 和 A1C 所成角的余弦值 2 若直线 AM 与平面 ABC1所成角为 30 试确定点 M 的位置 23 在平面直角坐标系xOy中 已知焦点为F的抛物线yx4 2 上有两个动点A B 且 满足FBAF 过A B两点分别作抛物线的切线 设两切线的交点为M 1 求 OA OB的值 2 证明 ABFM 为定值 答案 一 填空题 一 填空题 1 1 2 2 四 3 80 4 3 5 5 22 5 6 25 7 8 16 29 9 21 3 10 5 2 11 5 2 2 12 11 13 4 14 2 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域 内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 15 命题立意 本题主要考查两角和与差的正切公式与正 余弦定理等基础知识 考查运算 求解能力 1 由 1tan 1tan 2AB 得tantan1tantanABAB 所以 tantan tan 1 1tantan AB AB AB 4 分 故 ABC 中 AB p 4 C 3p 4 6 分 2 由正弦定理得2 sin c 3p 4 即2c 8 分 由余弦定理得 22 22cosabab 3p 4 即 22 22abab 10 分 由 22 2222abababab 得22ab 当且仅当ab 时取等号 12 分 所以 2113 sin 22 Sab p 4 14 分 16 命题立意 本题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查空间想象与推理论 证能力 解 1 因为 EF 平面 ABD 易得EF 平面 ABC 平面 ABC平面 ABDAB 所以 EFAB 5 分 又点 E 是 BC 的中点 点 F 在线段 AC 上 所以点 F 为 AC 的中点 由 AF AC l 得 1 2 l 7 分 2 因为ABACDBDC 点 E 是 BC 的中点 所以BCAE BCDE 9 分 又AEDEE AEDE 平面 AED 所以BC 平面 AED 12 分 而BC 平面 BCD 所以平面 BCD 平面 AED 14 分 17 解 1 在直角 中 因为 所以 所以 2 分 在直角 中 因为 所以 NFP3PF FPNq 3tanNFq 11 13tan 3 22 NAP SNA PFq D MEP1PE 3 EPMq tan 3 MEq 所以 4 分 所以 6 分 注 定义域错误扣 1 分 2 因为 8 分 令 由 得 所以 12 分 当且仅当时 即时等号成立 13 分 此时 答 当时 四边形材料的面积最小 最小值为 14 分 18 解 椭圆 2 2 1 9 x y 两个焦点 1 2 2 0 F 2 2 2 0 F 设 1 2 2 FKxy 2 2 2 F Kxy 222 1212 2 2 2 2 8 81 KF KFFKF Kxyxyxyy 11 y 的范围是 4 分 2 设 A B的坐标分别为 11 x y 22 xy 则 222 11 222 22 9 9 xym xym 两式相减 得 12121212 9 0 xxxxyyyy 1212 1212 1 90 yyyy xxxx 即 1 90 OMl kk 故 1 9 OMl kk 8 分 11 3tan 1 223 AMP SAM PEq D 31 tantan 3 223 NAPAMP SSSqq DD 0 3 q 31 tantan 3 223 Sqq 33tan tan3 22 13tan q q q 13tantq 0 3 q 1 4 t 2 344343 3 2332 3 tt St tt 3433 22 2333 t t 2 3 3 t 23 tan 3 q 2 3 3 AN min 3 2 3 S 2 3 3 AN AMPNS 3 2 3 3m E K x y 21 KFKF 7 1 3 直线过点 3 m m 直线不过原点且与椭圆有两个交点的充要条件是0 k且 1 3 k 设 PP P xy 设直线 3 m l yk xm 即 3 m l ykxkm 由 2 的结论可 知 1 9 OMyx k 代入椭圆方程得 22 2 2 9 91 P m k x k 10 分 由 3 m yk xm与 1 9 yx k 联立得 2 22 93 3 9191 m km k mkm M kk 12 分 若四边形为平行四边形 那么 M 也是 OP 的中点 所以 即 2 222 22 939 4 9191 k mkmm k kk 整理得 2 9810 kk 解得 47 9 k 所以当 47 9 k 时 四边形为平行四边形 16 分 19 解 1 的图像与坐标轴的交点为 的图像与坐标轴的交点为 由题意得 即 又 2 分 函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线 方程分别为 两平行切线间的距离为 4 分 2 由得 故在有解 令 则 当时 当时 故 l lE 0 0mk OAPB 0 2 P xx OAPB x fxae 1 g x x yf x 0 a yg x a 0 f0g a 1 a a a0 a1 x f xe g xlnx yf x yg x xy10 xy10 2 xm x f x x xm x e x mxxe x0 x h xxxe max mhx x0 m0 xxx 11 hx1exe1x e 2 x2 x x0 x 11 x2x2 e1 2 x2 x x 1 x e2 2 x x 1 hx1x e0 2 x 即在区间上单调递减 故 即实数 m 的取值范围为 8 分 3 解法一 函数和的偏差为 设为的解 则当 当 在单调递减 在单调递增 故 即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 16 分 解法二 由于函数和的偏差 令 令 在单调递增 在单 调递减 在单调递增 即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 16 分 20 解 1 由 得 由 得 即 2 分 对 取得 所以 所以为常数 x h xxxe 0 max h xh 00 m0 0 yf x yg x x F xf xg xelnx x0 x 1 F xe x xt x 1 fxe0 x x0 t F x0 F x 0 t t ttt tmin 1 F xelntelnet e f 1e 10 1 fe20 2 1 t1 2 yf x yg x yf x yg x x F xf xg xelnx x0 x 1 F xex x0 2 F xxlnx x0 x 1 Fxe1 2 11x Fx1 xx 1 F x 0 2 Fx 0 1 1 11 F xF 01 22 F xF 11 x 12 F xelnxF xFx2 yf x yg x 23 nn Sa 11 23 nn Sa 2 n 1 20 nnn aaa 1 1 3 nn aa 2 n 1n 1 10a 0 n a 1 1 3 n n a a 所以为等比数列 首项为 公比为 即 4 分 2 由 可得对于任意有 则 则 8 分 由 得 9 分 对 取得 也适合上式 因此 10 分 由 1 2 可知 则 所以当时 即 当时 即在且上单调递减 故 12 分 假设存在三项 成等差数列 其中 由于 可不妨设 则 即 因为且 则 且 由数列的单调性可知 即 因为 所以 即 化简得 又 且 所以或 14 分 当时 即 由 时 此时 不构成 等差数列 不合题意 n a1 1 3 1 1 3 n n a n N 1 1 3 n n a nN n b 1 1 3 n b 2 2 1 3 n b 11 1 11 33 33 nn bn 1n b 2 1 3 n b 2 3 1 3 n b 22 1 11 3 1 3 33 nn bn 2 n 1 1 3 n b 2 2 1 3 n b 3 3 1 3 n b 11 1 11 2 33 nn bn 2 n 21 n bn 2 n 1n 1 1b 21 n bn n N 1 21 3 nnn n n ca b 1 1 21214 1 333 nn nnn nnn cc 1n 1nn cc 12 cc 2n 1nn cc s c p c r c s p r N 12345 ccccc spr 2 psr ccc 111 2 21 2121 333 psr psr s p r Nspr 1112 2 21 212123 3333 psrp psrp 12 2 21 23 33 pp pp 7 2 p p2 p N2p 3p 2p 1s 12 1cc r3 2 1 r cc 1 c 2 c r c 当时 由题意或 即 又 代入 式得 因为数列在且上单调递减 且 所以 综上所述 数列中存在三项 或 构成等差数列 3p 1s 2s 1 s c 3 5 9 p cc 1 9 r c n c2n n N 5 1 9 c r45r n c 1 c 3 c 5 c 2 c 3 c 5 c 1 数学 理科 附加题数学 理科 附加题 说明 说明 1 以下题目的答案请直接填写在答卷上 以下题目的答案请直接填写在答卷上 2 本卷总分 本卷总分 40 分 考试时间分 考试时间 30 分钟 分钟 21 A 连结 AC 1 分 因为 EA 切圆O于 A 所以 EAB ACB 3 分 因为弧AB与弧AD长度相等 所以 ACD ACB AB AD 于是 EAB ACD 5 分 又四边形 ABCD 内接于圆O 所以 ABE D 所以 于是 即 9 分 所以 10 分 21 B解 由 A 23 12 det 2 2 3 1 10 A 所 以A可 逆 从 而 1 A 23 12 5 分 由BAX 得到 2 1 7 4 23 12 1B AX 2 1 y x 10 分 也可由BAX 得到 7 4 23 12 y x 即 723 42 yx yx 解得 2 1 y x 也得 5 分 C 解 将直线 l 化为普通方程为 x y 6 0 则 P 4cos 3sin 到直线 l 的距离 d 4cos 3sin 6 2 5cos 6 2 其中 tan 3 4 所以当 cos 1 时 dmin 2 2 即点 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 2 10 分 ABEDCDAD ABBE CDDA AB DABE CD 2 ABBE CD A E B C D O 第 21 A 题 2 D 因为 x y z 无为正数 所以 12 xyxy yzzxz yxz 4 分 同理可得 7 分 当且仅当 x y z 时 以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 10 分 22 解 1 以 C 为坐标原点 分别以 CA CB CC1所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示 的空间直角坐标系 则 C 0 0 0 A 4 0 0 A1 4 0 2 2 B1 0 4 2 2 1 因为 A1M 3MB1 所以 M 1 3 2 2 所以CA1 4 0 2 2 AM 3 3 2 2 所以 cos CA1 AM CA1 AM CA1 AM 4 24 26 39 39 所以异面直线 AM 和 A1C 所成角的余弦值为 39 39 4 分 2 由 A 4 0 0 B 0 4 0 C1 0 0 2