数列求和教案

数列求和常用方法集锦数列求和常用方法集锦 一 分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 1 设数列 n a满足 1 32n nn aa n N 且 1 1a 求 1 数列 n a的通项公式 2 数列 n a的前 n 项和 n S 2 已知等差数列 an 的前 n 项的和为 n S 如果4 12 84 aa 1 求数列 an 的通项公式 2 求 n S的最小值及其相应的 n 的值 3 从数列 an 中依次取出 1 2 8421 n aaaaa构成一个新的数列 bn 求 bn 的前 n 项和 二 裂项相消法 把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中间项 只剩有限项再求和 如 1 11 1 1 nnnn an 11 11 2 22n nnn 12 1 12 1 2 1 12 12 1 nnnn nn nn an 1 1 1 3 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 解 设 则 nn nn an 1 1 1 1 1 32 1 21 1 nn Sn 1 23 12 nn 11 n 4 求和 n 321 1 321 1 21 1 1 5 设数列的前项和为 已知 是数列 n an n S 1 2a 2 8a 11 452 nnn SSSn n T 的前项和 2n al ogn 1 求数列的通项公式 n a 2 求 n T 3 求满足的最大正整数的值 23 1111010 111 2013 n TTT n 本小题主要考查等差数列 等比数列 数列求和等知识 考查分类与整合 化归与转化的数学思想方法 以及抽象概括能力 运算求解能力和创新意识 1 解解 当时 2n 11 45 nnn SSS 1 分 11 4 nnnn SSSS 10 分 2222 13243511 234 nn n 11 分 1 2 n n 令 解得 13 分 1 2 n n 1010 2013 4 287 7 n 故满足条件的最大正整数的值为 n287 三 错位相减法 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置 近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容 需要我们的学生认真掌握好这种方法 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方 法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 求和时一般在已 知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 然后再将得到的新和式和原和式相减 转化为 q 同倍数的等比数列求和 这种方法就是错位相减法 6 已知等比数列 an 满足 9 1 3 1 321 aaa 来 源 全 品 中 n a 2 若数列满足数列的前项和为若不等式对一切 n b 31 2 n nn n n ba n bn n T 1 n n T 恒成立 求的取值范围 nN 1 由题知 1 1111 313111111113 1 3 3 22222 n nn nnnnnn a aaaaaaa 4 分 2 32 n n a 2 1 21 31 2231 n n n n n n bn 121 111 1 123 222 n n Tn 两式相减得 21 11111 121 22222 nn n Tnn 四 倒序相加法 8 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 解 设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将 式右边反序得 又因为 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 得 1cossin 90cos sin 22 xxxx 89 S 44 5 89cos89 sin 2cos2 sin 1cos1 sin2 222222 S 9 在各项均为正数的等比数列中 若的值 103231365 logloglog 9aaaaa 求 解 设 1032313 logloglogaaaSn 由等比数列的性质 找特殊性质项 qpnm aaaaqpnm 和对数的运算性质 得NMNM aaa logloglog 合并求和 log log log log log log 6353932310313 aaaaaaSn log log log 6539231013 aaaaaa 9log9log9log 333 10 五 通项加绝对值求和 10 已知为等差数列 且 n a8 1 52 aa I 求数列的前项和 n an II 求数列的前项和 n n a 2n II 记数列的前项和为 n n a2n n T 则 n n n aaaaT2222 3 3 2 2 1 n n n n n aaaaaT 1 13 4 2 3 1 2 222222 所以 n nn n adaT 132 1 22222 由 I 可知 73 3 4 1 nada n 所以 11 1 210320273 21 214 38 nn n n nnT 故 13 分 1 210320 n n nT 11 已知数列 记 n a 1 5a 2 2a A n 12n aaa 23 B naa Nn 若对于任意 Nn 成等差数列 1n a C n 342 n aaa A n B n C n 求数列的通项公式 n a 求数列的前项和 n an 解 根据题意 成等差数列 A n B n C n 已知一个等差数列的通项公式 an 25 5n 求数列的前 n 项和 n a n a 错解 错解 由 an0 得 n5 前 5 项为非负 从第 6 项起为负 n a Sn a1 a2 a3 a4 a5 50 n5 当 n6 时 Sn a6 a7 a8 an 2 5 520 nn Sn 6 2 5 520 5 50 n nn n 错因 一 把 n5 理解为 n 5 二 把 前 n 项和 误认为 从 n6 起 的和 正解正解 6 50 2 5 520 5 2 545 n nn n nn 练习 1 求和 个n n S111111111 22 2 22 1 1 1 n n n x x x x x xS 求数列 1 3 4 5 6 7 7 8 9 10 前 n 项和 n S 思路分析 通过分组 直接用公式求和 解 110 9 1 1010101111 2 kk k k a 个 101010 9 1 110 110 110 9 1 22 nS nn n 81 10910 9 110 10 9 1 1 n n nn 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 2 2 n n n x x x x x xS n xxx xxx n n 2 111 242 242 1 当时 1 xn xx xx n x xx x xx S n nnnn n 2 1 1 1 2 1 1 1 1 22 222 2 22 2 22 2 当nSx n 4 1 时 kk kkk kkkkkak 2 3 2 5 2 23 12 1 12 12 2 12 2 2 1 2 3 6 12 1 2 5 21 2 3 21 2 5 222 21 nnnnn nnaaaS nn 25 1 6 1 nnn 2 求和 12 12 2 53 4 31 2 222 nn n Sn 思路分析 分式求和可用裂项相消法求和 解 12 1 12 1 2 1 1 12 12 1 1 12 12 11 2 12 12 2 22 kkkkkk k kk k ak 12 1 2 12 1 1 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 21 n nn n n nn naaaS nn 3 已知是一个公差大于 0 的等差数列 且满足 n a 3627 55 16a aaa 求数列的通项公式 n a 令 记数列的前项和为 对于任意的 不等式 2 1 4 1 n n bnN a n bn n T nN 恒成立 求实数的最小值 100 n m T m m的最小值为100 12 分 4 已知各项都不相等的等差数列 n a 的前 6 项和为 60 且 6 a 为 1 a 和 21 a 的等比中项 1 求数列 n a 的通项公式 2 若数列 n b 满足 1 nnn bba n N 且 1 3b 求数列 1 n b 的前n项和 n T 思路分析 本题考查等差数列的通项公式和数列求和问题 考查方程思想 转化化归思想和计算能力 1 利用等差数列求和公式和等比中项联立方程 求解等差数列的通项公式 2 利用累加法求数列 的通项公式 然后利用列项相消法求数列的和 n b 解 1 设等差数列 n a的公差为d 0d 则 1 2 111 61560 205 ad a adad 解得 1 2 5 d a 23 n an 6 分 2 由 1nnn bba 11nnn bba 2 nn N 112211nnnnn bbbbbbbb 1211nn aaab 8 分 2 n n 111 11 222 n bn nnn 111111 1 23242 n T nn 2 1 31135 2 212412 nn nnnn 5 数列的前项和是 且 n an n S 1 1 2 nn Sa 求数列的通项公式 n a 记 数列的前项和为 证明 2 3 log 4 n n a b 2 1 nn bb n n T 3 16 n T 命题意图 本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式 其中还包括对数的运算与裂项 求和的应用技巧 解 1 由题 11 1 1 2 nn Sa 1 1 2 nn Sa 可得 则 3 分 11 11 0 22 nnn aaa 1 1 3 nn aa 当时 则 则是以为首项 为公比的等比数列 1n 11 1 1 2 Sa 1 2 3 a n a 2 3 1 3 因此 6 分 11 1 212 333 nn n n aa q 2 8 分 2 2 33 loglog 32 4 n n n a bn 所以 10 分 2 11111 11 22 2 4 2 82 nn bbnnn nnn 1 1111111111113 1 8 1324112821216 n T nnnnnn 6 设数列 n a的前n项和为 n S 点 nn a S在直线 3 1 2 yx 上 求数列 n a的通项公式 在 n a与 1n a 之间插入n个数 使这2n 个数组成公差为 n d的等差数列 求数列 1 n d 的前n项和 n T 并求使 1 840 55 327 n n n T 成立的正整数n的最小值 7 已知数列满足 n a 1 11 2 1 2 n n n n n a aanN a 证明数列是等差数列 2n n a 求数列的通项公式 n a 设 求数列的前项和 1 nn bn na n bn n S 命题意图 本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式 数列求和等基础知识知识 考查运算求解 能力 推理论证能力 中等题 8 设等比数列 n a 的前n项和 n S 首项 1 1a 公比 1 0 1 qf 证明 1 nn Sa 若数列 n b 满足 1 1 2 b 1 2 nn bf bnNn 求数列 n b 的通项公式 若1 记 1 1 nn n ca b 数列 n c 的前项和为 n T 求证 当2n 时 24 n T 答案 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 n n nn n a aq S q 而 11 1 11 nn n aa 所以 1 nn Sa 1 f 1 11 11 1 1 n n nnn b b bbb 1 n b 是首