导数的几何意义教案

1 导数的几何意义教案 曾垂乐 教学目标教学目标 知识与技能目标知识与技能目标 1 使学生掌握函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在 xf 0 xx 0 xf xf 处的切线的斜率 数形结合 即 0 xx 切线的斜率 x xfxxf xf x lim 00 0 0 2 会利用导数的几何意义解释实际生活问题 体会 以直代曲 的数学思想方法 过程与方法目标 过程与方法目标 通过让学生在动手实践中探索 观察 反思 讨论 总结 发现问题 解决问题 从而达到培养学生的学习能力 思维能力 应用能力和创新能力的目的 教学手段教学手段 采用计算机 Flash Powerpoint 实物投影等多媒体手段 增大教学容量与 直观性 有效提高教学效率和教学质量 教学重点与难点教学重点与难点 重点重点 导数的几何意义及 数形结合 以直代曲 的思想方法 难点 难点 发现 理解及应用导数的几何意义 教学过程教学过程 一 作业点评 承上启下 一 作业点评 承上启下 问题 在高台跳水运动中 秒时运动员相对于水面的高度是t s 单位 求运动员在时的瞬时速度 并解释此时的105 69 4 2 ttthmst1 运动状态 在时呢 st5 0 教师点评作业的优点及不足 由学生甲解释 时运动员的运动状态 st1 st5 0 说明 实例引入 承上启下 有效铺垫 直接过渡 二 课题引入 类比探讨 二 课题引入 类比探讨 由导数的物理意义是瞬时速度 我们知道了导数的本质 问 一 导数的本质是什么 写出它的表达式 学生活动 在 学生动手实践 中 学生写出 导数的本质是函数在处的瞬时变化率 即 0 xf xf 0 xx x xfxxf xf x lim 00 0 0 说明 教师不能代替学生的思维活动 学生将大脑中已有的经验 认识转换成数学符号 有利于学生思维能力的有效提高 为学生 发现 感知导数的几何意义奠定基础 问 二 导数的本质仅是从代数 数 的角度来诠释导数 若从图形 形 的角度 2 来探究导数的几何意义 应从哪儿入手呢 教师引导学生 数形结合是重要的思想方法 要研究 形 自然要结合 数 即 导数的代数表达式 并回忆求导数的步骤 0 xf 问 三 求导数的步骤有哪几步 0 xf 教师引导学生回答 第一步 求平均变化率 x xfxxf 00 第二步 当趋近于 0 时 平均变化率无限趋近于的常数就是x x xfxxf 00 回归本质 数形结合 0 xf 教师进一步引导学生 这是从 数 的角度来求导数 若从 形 的角度探索导数的几何 意义 类比地 也可以分两个步骤 问 四 第一步 平均变化率的几何意义是什么 x xfxxf 00 请在函数图像中画出来 学生动手活动 见 学生动手实践 由学生乙回答 平均变化率的几何意义是割线 AB 的斜率 x xfxxf 00 教师提醒学生 A B 两点的坐标必须写清楚 00 xfxA 00 xxfxxB 问 五 第二步 时 割线有什么变化 请画出来 0 xAB 学生动手活动 见 学生动手实践 教师展示学生作品 引导学生观察 类比数的变化 0 x 00 xxfxxB 00 xfxA 当 割线有一个无限趋近的确定位置 这个确定位置上的直线叫做曲线0 xAB 在处的切线 请把它画出来 0 xx 学生动手活动 见 学生动手实践 教师展示学生作品 引导学生发现 并说出 形 割线切线 0 x ABAD 则割线的斜率切线的斜率AB AD 由数形结合 得 切线的斜率 x xfxxf xf x lim 00 0 0 AD 所以 函数所以 函数在在处的导数处的导数的几何意义就是函数的几何意义就是函数的图像在的图像在处处 xf 0 xx 0 xf xf 0 xx 3 的切线的切线 ADAD 的斜率 的斜率 数形结合 数形结合 说明 动手实践 探索发现 使学生经历探究 导数的几何意义 的过程以获得理智和 情感体验 建构 导数及其几何意义 的知识结构 准确理解 导数的几何意义 掌握 数形结合 类比探讨 的数学思想方法 三 三 动画演示 总结归纳动画演示 总结归纳 1 演示 Flash 动画 将同学们画图 思考 数形结合的过程展示出来 2 教师提问 此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同 展示 Powerpoint 动画 2 l 1 l x y A B C 初中平面几何中 圆的切线的的 定义 直线和圆有惟一公共点时 叫 做直线和圆相切 这时 直线叫做圆 的切线 惟一的公共点叫做切点 圆是一种特殊的曲线 这种定义 并不适用于一般曲线的切线 例如上 图中 直线虽然与曲线有惟一的公 1 l 共点 但我们不能认为它与曲线相切 而另一条直线虽然与曲线有不只一 1 l 个公共点 我们还是认为它是曲线的 切线 因此 以上圆的切线定义并不 适用于一般的曲线 通过逼近的方法 将割线趋于的 确定位置的直线定义为切线 交点可 能不惟一 适用于各种曲线 所以 这种定义才真正反映了切线的直观本 质 3 根据导数的几何意义 在点 P 附近 曲线可以用在点 P 处的切线 xf 近似代替 这是微积分中重要的思想方法 以直代曲 以简单的对象刻画复杂的对象 动画演示 通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图 图象放得 越大 这一小段曲线看起来就越象直线 大多数函数曲线就一小范围来看 大致可看作直 线 所以 某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替 即 以直代曲 教师引导学生看书 理解 在课堂教学中紧密结合教材 说明 适时 有效地采用计算机等多媒体辅助教学 可以不仅加强学生对 导数的几何 意义 形象 直观地理解 还能将学生的动手实践 感知体验 与抽象思维 深层内化 有效结合 增强学生的思维能力训练 提高教学效率和教学质量 四 训练巩固 加强理解 四 训练巩固 加强理解 1 在函数的图像上 1 用图形来体现导数 105 69 4 2 ttth3 3 1 h 的几何意义 并用数学语言表述出来 2 请描述 比较曲线在6 1 5 0 h th 4 附近增 减 以及增 减 快慢的情况 在附近呢 210 ttt 43 t t 说明 要求学生动脑 审题 动手 画切线 动口 讨论 描述运动员的运动状态 体会利用导数的几何意义解释实际问题 渗透 数形结合 以直代曲 的思想方法 2 如图表示人体血管中的药物浓度 单位 随时间 单位 tfc mLmg tmin 变化的函数图像 根据图像 估计 min 时 血管中药物浓度的瞬8 0 6 0 4 0 2 0 t 时变化率 把数据用表格的形式列出 精确到 0 1 t0 20 40 60 8 药物浓度的 瞬时变化率 说明 要求学生动脑 审题 动手 画切线 动口 说出如何估计切线斜率 进一 步体会利用导数的几何意义解释实际问题 渗透 数形结合 以直代曲 的思想方法 五 抽象概括 归纳小结 五 抽象概括 归纳小结 h tO 3 t 4 t 0 t 1 t 2 t 5 1 抽象概括 由练习 2 抽象概括出导函数 简称导数 的概念 是确定的数 静态 是的函数 动态 0 xf xf x 由 特殊 一般 x xfxxf xf x lim 00 0 0 静态 动态 x xfxxf xf x lim 0 说明 体验从静态到动态的变化过程 领会从特殊到一般的辩证思想 2 归纳小结 由学生进行开放式小结 1 函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在 xf 0 xx 0 xf xf 处的切线 AD 的斜率 数形结合 即 0 xx 切线的斜率 x xfxxf xf x lim 00 0 0 AD 2 利用导数的几何意义解释实际生活问题 体会 数形结合 以直代曲 的思想方法 3 导函数 简称 导数 的概念 x xfxxf xf x lim 0 六 作业布置 分层要求 六 作业布置 分层要求 1 习题 P10A5 6 B2 3 2 如图 函数图像参见 学生动手实践 此略 是利用信息技术画出的函数 的图像 请根据图像 估计时 气球的瞬时膨胀率 50 4 3 3 V V Vr 2 1 6 0 V 有什么发现 50 4 3 3 V V Vr r V O 3 请给出求函数在处的切线方程的一个算法 并小组自编四个求切 xfy 0 xx 线的题目 6 探索 若把 3 在点 处 改为 过点 算法有何不同 并小 00 xfx 00 xfx 组自编四个求切线的题目 学生动手实践 提问 1 导数的本质是什么 请写数学表达式 0 xf 导数的本质是函数在 处的 xf 即 函数平均变化率的几何意义是什么 请在函数 xf x xfxxf 00 图 像中画出来 y 0 xf O 0 xx 3 导数的几何意义是什么 0 xf 导数的几何意义是 0 xf 练习 1 在函数的图像上 1 说说 105 69 4 2 ttth3 3 1 h 的几何意义 2 请描述 比较曲线在附近增 减 以及增6 1 5 0 h th 210 ttt 减 快慢的情况 在附近呢 43 t t xf 1 平均变化率的几何意义 x xfxxf 00 2 当时 观察图形变化 0 x 7 1 2 h tO 3 t 4 t 0 t 1 t 2 t h tO 5 0 0 1 8 2 如图表示人体血管中的药物浓度 单位 随时间 单位 tfc mLmg tmin 变化的函数图像 根据图像 估计 min 时 血管中药物浓度的瞬时8 0 6 0 4 0 2 0 t 变化率 精确到 0 1 把数据用表格的形式列出 t0 20 40 60 8 药物浓度的 瞬时变化率 抽象概括 归纳小结 x xfxxf xf x lim 00 0 0 9 附 动态直观消除神秘 启发点拨贯通曲直 导数的几何意义 课例点评 本节内容是在学习了 变化率问题 导数的概念 等知识的基础上 研究导数的几何 意义 它能过直观具体的形象帮助学生消除对极限的神秘感 深刻理解导数的内涵和意义 形成对于变量与常量之间相互联系与转化的认识 感受和体验辩证思维活动的过程 它对 于学生深化数形结合认识 了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能 本课的设计 和教学较好地反映了以上意图 较好地体现出高中数学课程标准所倡导的教学理念 主要 特色如下 1 教学思路清晰 学习重点突出 本节课围绕着 利用函数图象直观理解导数的几何意义 和 利用导数的几何意义解 释实际问题 两个教学重心展开 首先 教师从点评简单的作业 求高台跳水运动中某时刻的瞬时速度并描述 该时刻的运动状态 入手 复习导数的实际意义 数值意义 由数到形 自然 引出从图形的角度研究导数的几何意义 然后 类比 平均变化率 瞬时变 化率 的研究思路 运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线 再引导学生从 数形结合的角度思考 获得导数的几何意义 导数是曲线上某点处切线的 斜率 完成本节课第一阶段的内容学习后 教师点明 利用导数的几何意义 在研究实际问 题时 某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替 即 以直代曲 从而达到 以简单 的对象刻画复杂对象 的目的 并通过两个例题的研究 让学生从不同的角度完整地体验 导数与切线斜率的关系 并感受导数应用的广泛性 整节课的教学思路清晰 突出了对主干知识的深入研讨 虽然活动的每一个环节和片 断基本上以教材内容为主线展开 但每一个知识 每一个发现 教师总是设法由学生自己 得出 教师只是在关键处加以引导 尤其是 课堂上给予学生充足的思考时间和空间 让 学生在动手操作 动笔演算等活动后 再组织讨论 充分体现出学生才是学习的主角这一 新课程理念 2 设问合乎情理 探究活动自然 著名哲学家波普尔说 问题构成了一切科学探索活动 包括数学活动 的实际出发点 10 在课堂上 只有通过适当的设问 才能在教学中真正实现 人人开动脑筋 积极思考 本 节课 教师十分注意提问的艺术 设计的问题围绕 怎样想到导数的几何意义就是切线的 斜率 而进行 引导学生充分经历 提出问题 从数的角度研究了导数后 从形的角度如 何研究导数 寻求想法 实施想法 发现规律 给出定义 应用定义解释 现象 如何估计切线的斜率 这一完整的探究活动 让学生感受到数学知识的产生是水到 渠成的 3 注重学法引导 揭示研究方法 无论是复习导数的实际意义 数值意义 还是研究导数的几何意义及其应用 教师都 很注重对数学思考和解决问题基本方法的教学 教师总是问 你为什么这样做 你 是怎样想的 还可以怎样做 等问题 问思路 问道理 问方法 及时组织学生交 流思维过程 展现问题解决的途径 揭示研究问题的基本方法 借此引导学生学会必要的 思维策略 从学生对例 2 例 3 的分析可以看出 学生分析问题时表述清楚 思维方向正 确 显得很是自信 4 巧用信息技术 强化直观感知 由于研究导数的几何意义时应用了 逼近 的思想 在学生动手画出一系列特殊位置 的割线后 教师恰当地应用 flash 动画 让学生从直观上强烈感受到由割线逼近切线 产生 切线的过程 再从理性的角度思考 切线产生 的深层原因 较好地培养了学生的观察能 力和分析能力 另外 在解释 以直代曲 思想时 利用几何画板将曲线某一点附近的图 象放大 让学生直观感受到 以直代曲 的合理性和有效性 加深了学生对这一重要思想 的认识 5 整合教材资源 突破理解难点 由于版面的限制 教材例 3 中的图 1 1 4 的网格较密 不利于学生展开对该问题的研 究 教师在实际处理时 直接将教材中的图形放