公式法与韦达定理

解一元二次方程 解一元二次方程 3 公式法解一元二次方程推导公式法解一元二次方程推导 ax2 bx c 0 x2 0 x a b a c x2 x a b a c x2 x a b 2 2 a b a c 2 2 a b x 2 a b 2 2 2 4 4 a acb x a b a acb 22 4 2 2 4 2 bbac x a 根的判别式根的判别式 b b2 2 4ac 4ac 方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 2 40bac 方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根 或说方程有一个实数根或说方程有一个实数根 2 40bac 方程没有实数根方程没有实数根 2 40bac 例例 关于的一元二次方程有实数根 则的取值范围是 x 22 2 1 10 xkxk k 思路分析 思路分析 方程有实数根 但具体不知道有多少个根 所以有 2 40bac 解 2 1 2 1 1abkck 2 22 42 1 4 1 1 88backkk 因为方程有实数根 2 40bac 即 880k 1k 例例 方程的根的情况是 2 20 xx A 只有一个实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 没有实数 根 练习当 m 为何值时 方程 x2 2m 2 x m2 5 0 20 分 1 有两个不相等的实数根 2 有两个相等的实数根 3 没有实数根 公式法解一元二次方程公式法解一元二次方程 例 解方程 例 解方程 公式法解一元二次方程的步骤 公式法解一元二次方程的步骤 2 273xx 解 解 把一元二次方程化为一般形式 把一元二次方程化为一般形式 2 2730 xx 2 0axbxc 0a 确定 确定的值的值 2 7 3abc a b c 求出 求出的值的值 22 4 7 4 2 3 73bac 2 4bac 若 若 则把 则把及及的值代入的值代入 7 73773 2 24 x 2 40bac a b c 2 4bac 求根公式 求出求根公式 求出和和 若 若 则方程无解 则方程无解 773773 1 2 44 xx 1 x 2 x 2 40bac 练习用公式法解方程用公式法解方程 1 3x2 5x 2 0 2 3x2 2x 1 0 3 8 2 x x2 练习用公式法解方程用公式法解方程 1 2x2 7x 3 0 2 x2 7x 1 0 3 2x2 9x 8 0 4 9x2 6x 1 0 根与系数的关系根与系数的关系 韦达定理韦达定理 如果一元二次方程的两根分别为 x1 x2 则有 0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 例例 已知一元二次方程的两根 则 12 x x 2 5140 xx 12 xx 12 xx 解 根据韦达定理得 1212 514 5 14 11 bc xxxx aa 例例 利用根与系数的关系求值利用根与系数的关系求值 若方程的两根为 则的值为 2 310 xx 12 x x 12 11 xx 解 根据韦达定理得 1212 31 3 1 11 bc xxxx aa 12 1212 113 3 1 xx xxx x 利用根与系数的关系求值 要熟练掌握以下等式变形 222 121212 2xxxxx x 12 1212 11xx xxx x 22 121212 4xxxxx x 2 121212 4xxxxx x 例例利用根与系数的关系构造新方程利用根与系数的关系构造新方程 理论 以两个数理论 以两个数为根的一元二次方程是为根的一元二次方程是 例 解方程组 x y 5 xy 6 解 显然 x y 是方程 z2 5z 6 0 的两根 由方程 解得 z1 2 z2 3 原方程组的解为 x1 2 y1 3 x2 3 y2 2 练习若是方程的两个根 则的值为 12 x x 2 2630 xx 12 11 xx A B C D 22 1 2 9 2 练习若方程的两根之差为 1 则的值是 2 2 1 30 xkxk k 常考题型及其相应的知识点 常考题型及其相应的知识点 1 利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题 例 1 关于的一元二次方程有一根为 0 则的值为 x 22 1 10mxxm m 例 2 一元二次方程 的一个根为 则另一个根为 2 30 xmx 1 例 3 是方程的两个根 不解方程 求下列代数式的值 1 x 2 x0532 2 xx 1 2 3 2 2 2 1 xx 21 xx 2 2 2 2 1 33xxx 课堂练习课堂练习 一 填空题 1 利用求根公式解一元二次方程时 首先要把方程化为 确定 的值 当 时 把 a b c 的值代入公式 x1 2 求得方程的解 2 方程 3x2 8 7x 化为一般形式是 a b c 方程的根 x1 x2 二 选择题 1 用公式法解方程 3x2 4 12x 下列代入公式正确的是 A x1 2 B x1 2 2 431212 2 2 431212 2 C x1 2 D x1 2 2 431212 2 32 434 12 12 2 2 方程 x2 3x 14 的解是 A x B x C x D x 2 653 2 653 2 233 2 233 3 下列各数中 是方程 x2 1 x 0 的解的有55 1 1 1 555 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 4 方程 x2 x 0 的解是23 6 A x1 1 x2 B x1 1 x2 C x1 x2 D x1 x2 662323 三 用公式法解下列各方程 1 5x2 2x 1 0 2 6y2 13y 6 0 3 x2 6x 9 7 1 2x2 7x 3 0 2 x2 7x 1 0 3 2x2 9x 8 0 4 9x2 6x 1 0 四 拓展延伸 1 一个直角三角形三边的长为三个连续偶数 求这个三角形的三条边长 2 求方程的两根之和以及两根之积 2 10 xx 拓展应用 关于的一元二次方程的一个根是 则 x 2 40 xxm 52 m 方程的另一根是 课外练习课外练习 1 用公式法解方程 1 2 2 310 xx 2 2430 xx 2 4 816x x 2 5