柯西不等式教学设计

柯西不等式教学设计柯西不等式教学设计 一 一 教学目标 教学目标 1 知识目标 1 认识二维柯西不等式的两种形式 代数形式 向量形式 1 2 2 学会二维柯西不等式的两种证明方法 代数方法 向量方法 1 2 3 了解一般形式的柯西不等式 并学会应用及探究其证明过程 2 能力目标 1 学会运用柯西不等式解决一些简单问题 2 学会运用柯西不等式证明不等式 3 培养学生知识迁移 自主探究能力 3 情感 态度 价值观目标 通过对柯西不等式的学习 使学生感受数学的美妙 提高数学素养 激发学习兴 趣 二 二 教学重点与难点 教学重点与难点 1 教学重点 1 二维柯西不等式的两种形式及其证明 代数形式 向量形式 1 2 2 探究一般的柯西不等式形式 2 教学难点 1 柯西不等式的证明思路 2 运用柯西不等式解决问题 三 三 教学方法 探究法 讲述法 教学方法 探究法 讲述法 四 四 教学过程及内容 教学过程及内容 1 单刀直入 通过基本不等式引出平方和与乘积的关系 直接引入 22 2abab 主题 2222 abcda b c d 为实数 师 同学们 以前我们学习了基本不等式 它反映的是两个实 22 2abab 数的平方和与乘积的大小关系 今天我们将学习一个著名的不等式 柯西不等 式 它的形式上也含有平方和与乘积 下面我们先来看一下这个式子 2222 abcda b c d 为实数 生 全神贯注地看黑板 师 在黑板展示 222222222222 abcda cb da db c 由于 2222222222 a cb da db cacbdadbc 因此 222222 abcdacbdadbc 所以 22222 abcdacbd 当且仅当时 等号成立 0adbc 师 这就是柯西不等式中最简单的形式 即它的二维形式 2 讲解二维柯西不等式定理 并给出两个相关推论 二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式 若都是实数 则 a b c d 22222 abcdacbd 当且仅当时 等号成立 0adbc 推论一 2222 abcdacbd 推论二 2222 abcdacbd 3 练习巩固新知识 例一 已知为实数 证明 a b 442233 2 ababab 生 动笔演算 讲解 利用柯西不等式 4422 222222222 33 2 abab ababaabb ab 例二 求函数的最大值 354 6yxx 生 动笔演算 分析 此题首先想到利用倒数求解 此方法可行 但是过程相对繁琐 讲解 函数的定义域为 5 6 观察式子形式 可以用推论二 即 22 354 6 34 5 6 5yxxxx 当且仅当 即时 函数有最大值 5 453 6xx 134 25 x 4 讲解柯西不等式的向量形式 在平面直角坐标系中 a bc d 则 0 cosacbd A 又 2222 abcd 而 cos A 即 2222 acbdabcd 当且仅当共线时 等号成立 即 adbc 柯西不等式的向量形式 柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 A 当且仅当是零向量 或存在实数 使得时 等号成立 kk 又称之为 Cauchy Schwarz 不等式 5 通过柯西不等式的向量形式 将二维形式推广到三维 得到三维形式的柯西不等 式 三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式 2222222 1231231 1223 3 aaabbbaba ba b 当且仅当 或存在使得时 等号成立 0 1 2 3 i bi k A 1 2 3 ii akb i 6 三维柯西不等式巩固练习 例三 设为正数 求证 123 x x x 123 123 111 9xxx xxx 生 动笔演算 讲解 利用柯西不等式 2 123123 123123 111111 9xxxxxx xxxxxx 7 探究一般形式的柯西不等式 师 同学们类比一下二维和三维的柯西不等式 猜想一下一般形式的柯西不 等式会是怎么样呢 生 踊跃回答 2222222 12121 122 nnnn aaabbbaba ba b 师 很好 同学们都很聪明 那么怎么证明这个一般形式的柯西不等式呢 它又是在什么样的条件下才能使得等号成立呢 这个问题留给同学们课后思考 提示 用向量证明 下面我们先来看一个例题 例四 设求证 21 Rxxx n 2222 112 12 231 nn n n xxxx xxx xxxx 讲解 在不等式左端乘以因式 由柯西不等式 得 12n xxx 2222 112 231 231 nn n n xxxx xxxx xxxx 2222 112 231 2222 231 112 231 231 2 12 nn n n nn n n n xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxx 于是于是 2222 112 12 231 nn n n xxxx xxx xxxx 8 小结 总结代数形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式 注意提醒学生等号 成立的条件 五 五 板书设计 板书设计 柯西不等式 二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式 若都是实数 则 a b c d 22222 abcdacbd 当且仅当时 等号成立 0adbc 推论一 2222 abcdacbd 推论二 2222 abcdacbd 柯西不等式的向量形式 柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 A 当且仅当是零向量 或存在实数 使得时 等号成立 kk 三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式 2222222 1231231 1223 3 aaabbbaba ba b 当且仅当 或存在使得时 等号成立 0 1 2 3 i bi k A