2017年考研数学二真题及答案分析(word版)

2017 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二真题分析数学二真题分析 word 版 版 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 若函数在处连续 则 1 cos 0 0 x x f x ax b x 0 x A B C D 1 2 ab 1 2 ab 0ab 2ab 答案 A 解析 在处连续选 A 00 1 1 cos1 2 limlim 2 xx x x f x axaxa 0 x 11 22 bab a 2 设二阶可导函数满足且 则 f x 1 1 1 0 1fff 0fx 11 11 0101 1010 0 0 Af x dxBf x dx Cf x dxf x dxDf x dxf x dx 答案 B 解析 为偶函数时满足题设条件 此时 排除 C D f x 01 10 f x dxf x dx 取满足条件 则 选 B 2 21f xx 11 2 11 2 210 3 f x dxxdx 2 3 设数列收敛 则 n x 当时 当时 Alimsin0 n n x lim0 n n x Blim 0 nn n xx lim0 n n x 当时 当时 C 2 lim 0 nn n xx lim0 n n x Dlim sin 0 nn n xx lim0 n n x 答案 D 解析 特值法 A 取 有 A 错 n x limsin0 lim nn nn xx 取 排除 B C 所以选 D 1 n x 4 微分方程的特解可设为 A B 22 cos2sin2 xx AeeBxCx 22 cos2sin2 xx AxeeBxCx C D 22 cos2sin2 xx AexeBxCx 22 cos2sin2 xx AxeeBxCx 答案 A 解析 特征方程为 2 1 2 48022i 222 2 2 12 1 cos2 cos2 cos2sin2 xxxxx f xexeexyAeyxeBxCx 故特解为 选 C 22 12 cos2sin2 xx yyyAexeBxCx 5 设具有一阶偏导数 且对任意的 都有 则 f x y x y 0 0 f x yf x y xy A B C D 0 0 1 1 ff 0 0 1 1 ff 0 1 1 0 ff 0 1 1 0 ff 答案 C 解析 是关于的单调递增函数 是关于的单调递减函数 0 0 f x yf x y f x y xy xy 所以有 故答案选 D 0 1 1 1 1 0 fff 6 甲乙两人赛跑 计时开始时 甲在乙前方 10 单位 m 处 图中实线表示甲的速度曲线 单位 虚线表示乙的速度曲线 三块阴影部分面积的数值依次为 10 20 3 1 vv t m s 2 vv t 计时开始后乙追上甲的时刻记为 单位 s 则 0 t 051015202530 t s v m s 10 20 A B C D 0 10t 0 1520t 0 25t 0 25t 答案 B 解析 从 0 到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲 则 0 t 00 12 00 t t tt vdtvdt 当时满足 故选 C 0 21 0 t v t 10 t vdt 0 25t 4 7 设为三阶矩阵 为可逆矩阵 使得 则 A 123 P 1 0 1 2 P AP 123 A A B C D 12 23 2 23 12 2 答案 B 解析 1 12312323 000 11 12 222 P APAPPA 因此 B 正确 8 设矩阵 则 200210100 021 020 020 001001002 ABC A B ACBC与相似与相似 ACBC与相似与不相似 C D ACBC与不相似与相似 ACBC与不相似与不相似 答案 B 解析 由可知 A 的特征值为 2 2 1 0EA 因为 A 可相似对角化 即3 2 1rEA 100 020 002 A 由可知 B 特征值为 2 2 1 0EB 因为 B 不可相似对角化 显然 C 可相似对角化 但 B 不相似于 C 3 2 2rEB AC 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 曲线的斜渐近线方程为 2 1arcsinyx x 答案 2yx 解析 22 limlim 1 arcsin 1 limlim arcsin2 2 xxxx y yxx xxx yx 10 设函数由参数方程确定 则 yy x sin t xte yt 2 2 0t d y dx 答案 1 8 解析 22 02 22 cos cos 1 1 cos sin 1 cos11 8 1 t t tt t t t dydxdyt te dtdtdxe t d yteted ye dx dxdx e dt 11 2 0 ln 1 1 x dx x 答案 1 解析 6 2 00 0 2 0 2 0 ln 1 1 ln 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 1 1 x dxx d xx x dx xx dx x 12 设函数具有一阶连续偏导数 且 则 f x y 1 yy df x yye dxxy e dy 0 0 0f f x y 答案 y xye 解析 故 1 yyyy xy fyefxy ef x yye dx xyec y yyyy y fxexyec yxexye 因此 即 再由 可得 0c y c yC 0 0 0f y f x yxye 答案 解析 13 11 0 tan y x dydx x 答案 lncos1 解析 交换积分次序 1111 0000 tantan tanlncos1 x y xx dydxdxdyxdx xx 14 设矩阵的一个特征向量为 则 412 12 311 Aa 1 1 2 a 答案 1 解析 设 由题设知 故 1 1 2 A 412111 121132 3112222 aa 故 1a 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤演算步骤 15 本题满分 10 分 求极限 0 3 0 lim x t x xte dt x 答案 2 3 解析 令 则有 0 30 lim x t x xte dt x xtu 0 00 xx tx ux u x xte dtueduuedu 00 33 00 22 0 31 00 22 limlim 2 limlim 33 2 xx x uxu xx x u x xx uedueue du xx ue du xe xx 原式 8 16 本题满分 10 分 设函数具有 2 阶连续偏导数 求 f u v cos x yf ex 0 x dy dx 2 2 0 x d y dx 答案 2 111 2 0 0 1 1 1 1 x x dyd y ff dxdx 解析 0 12121 0 0 2 2 2 1112212212 2 2 1112 2 0 cos 0 1 1 sin 1 1 1 1 1 0 1 1 sin sin sincos 1 1 1 1 1 1 x x x x x xxxx x yf exyf dy f efxfff dx d y f ef exf exfxf efx dx d y fff dx 结论 1 0 2 1112 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x x dy f dx d y fff dx 17 本题满分 10 分 求 2 1 limln 1 n n k kk nn 答案 1 4 解析 2 111 22 1 0 2 000 1 111 11 limln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2214 n n k kkx xx dxx dxxxdx nnx 18 本题满分 10 分 已知函数由方程确定 求的极值 y x 33 3320 xyxy y x 答案 极大值为 极小值为 1 1y 1 0y 解析 两边求导得 1 22 33 33 0 xy yy 令得 0y 1x 对 1 式两边关于 x 求导得 2 2 2 66 3 3 0 xy yy yy 将代入原题给的等式中 得 1x 11 10 xx or yy 将代入 2 得1 1xy 1 10y 将代入 2 得1 0 xy 1 20y 故为极大值点 为极小值点 1x 1 1y 1x 1 0y 19 本题满分 10 分 设函数在区间上具有 2 阶导数 且 证明 f x 0 1 0 1 0 lim0 x f x f x 方程在区间内至少存在一个实根 0f x 0 1 方程在区间内至少存在两个不同实根 2 0f x fxfx 0 1 答案 解析 I 二阶导数 f x 0 1 0 lim0 x f x f x 解 1 由于 根据极限的保号性得 0 lim0 x f x x 10 有 即0 0 x 0 f x x 0f x 进而 0 0 0 xf 有 又由于二阶可导 所以在上必连续 f x f x 0 1 那么在上连续 由根据零点定理得 f x 1 0 1 0ff 至少存在一点 使 即得证 1 0f II 由 1 可知 令 则 0 0f 0 1 0f 使 F xf x fx 0 0ff 由罗尔定理 则 0 0f 使 0 0FFF 对在分别使用罗尔定理 F x 0 且 使得 即 12 0 1212 0 1 12 0FF 在至少有两个不同实根 2 0F xf x fxfx 0 1 得证 20 本题满分 11 分 已知平面区域计算二重积分 22 2 Dx yxyy 2 1 D xdxdy 答案 5 4 解析 22sin 2222 2 00 5 1122cos 4 DDDD xdxdyxdxdyx dxdydxdydrd 21 本题满分 11 分 设是区间内的可导函数 且 点是曲线 L 上 y x 3 0 2 1 0y P yy x 任意一点 L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点 法线与 x 轴相交于点 若 求 L 0 p Y 0 p X pp XY 上点的坐标满足的方程 x y 答案 解析 设的切线为 令得 法线 p x y x Yy xy xXx 0X p Yy xy x x 令得 由得 即 1 Yy xXx y x 0Y p Xxy x y x pp XY yxy xxyy x 令 则 按照齐次微分方程的解法不难解出1 1 yy y x xx y u x yux 2 1 ln 1 arctanln uuxC x 22 本题满分 11 分 设 3 阶矩阵有 3 个不同的特征值 且 123 A 312 2 证明 2r A 若 求方程组的通解 123 Ax 答案 I 略 II 通解为 11 21 11 kkR 解析 I 证明 由可得 即线性相关 312 2 123 20 123 因此 即 A 的特征值必有 0 123 0A 又因为 A 有三个不同的特征值 则三个特征值中只有 1 个 0 另外两个非 0 且由于 A 必可相似对角化 则可设其对角矩阵为 1 212 0 0 12 2r Ar II 由 1 知 即的基础解系只有 1 个解向量 2r A 3 1r A 0Ax 由可得 则的基础解系为 123 20 123 11 220 11 A 0Ax 1 2 1 又 即 则的一个特解为 123 123 11 11 11 A Ax 1 1 1 综上 的通解为Ax 11 21 11 kkR 23 本题满分 11 分 设二次型在正交变换 222 123123121323 2282f x xxxxaxx xx xx x 下的标准型 求的值及一个正交矩阵 XQY 22 1122 yy aQ 答案 22 12 111 326 12 2 0 36 36 111 326 aQf xQyyy 解析 其中 123 T f x xxX AX 214 111 41 A a 由于经正交变换后 得到的标准形为 123 T f x xxX AX 22 1122 yy 故 214 2 011102 41 r AAa a 将代入 满足 因此符合题意 此时 则2a 2r A 2a 214 111 412 A 123 214 11103 0 6 412 EA 由 可得 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3 0EA x 1 1 1 1 由 可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为 6 0EA x 2 1 0 1 由 可