2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3

高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 1 2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国 理科数学 试题及答案解析 一 选择题 本题共12小题 每小题5分 共60分 1 已知集合 则中元素的个数为 22 1Ax y xy Bx y yx AB A 3B 2C 1D 0 答案 B 解析 表示圆上所有点的集合 表示直线上所有点的集合 A 22 1xy Byx 故表示两直线与圆的交点 由图可知交点的个数为2 即元素的个数为 AB AB 2 故选B 2 设复数z满足 则 1i 2iz z A B C D 2 1 2 2 22 答案 C 解析 由题 则 故选C 2i 1i2i2i2 i1 1i1i 1i2 z 22 112z 3 某城市为了解游客人数的变化规律 提高旅游服务质量 收集并整理了2014年1月至2016 年12月期间月接待游客量 单位 万人 的数据 绘制了下面的折线图 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 2 2014年 2015年 2016年 根据该折线图 下列结论错误的是 A 月接待游客量逐月增加 B 年接待游客量逐年增加 C 各年的月接待游客量高峰期大致在7 8月 D 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月 波动性更小 变化比较平稳 答案 A 解析 由题图可知 2014年8月到9月的月接待游客量在减少 则A选项错误 故选A 4 的展开式中的系数为 5 2 xyxy 33 x y A B C 40D 80 答案 C 解析 由二项式定理可得 原式展开中含的项为 33 x y 则的系数为40 故选C 2332 2333 55 C2C240 xxyyxyx y 33 x y 5 已知双曲线 的一条渐近线方程为 且与椭圆 22 22 1 xy C ab 0a 0b 5 2 yx 有公共焦点 则的方程为 22 1 123 xy C A B C D 22 1 810 xy 22 1 45 xy 22 1 54 xy 22 1 43 xy 答案 B 解析 双曲线的一条渐近线方程为 则 5 2 yx 5 2 b a 又 椭圆与双曲线有公共焦点 易知 则 22 1 123 xy 3c 222 9abc 由 解得 则双曲线的方程为 故选B 2 5ab C 22 1 45 xy 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 3 6 设函数 则下列结论错误的是 cos 3 f xx A 的一个周期为 B 的图像关于直线对称 f x 2 yf x 8 3 x C 的一个零点为D 在单调递减 f x 6 x f x 2 答案 D 解析 函数的图象可由向左平移个单位得到 cos 3 f xx cosyx 3 如图可知 在上先递减后递增 D选项错误 故选D f x 2 6 A x y O 7 执行右图的程序框图 为使输出的值小于91 则输入的正整数的最小值为 SN A 5 B 4 C 3 D 2 答案 D 解析 程序运行过程如下表所示 SM 初始状态01001 第1次循环结束1002 10 第2次循环结束9013 此时首次满足条件 程序需在时跳出循环 9091S 3t 即为满足条件的最小值 故选D 2N 8 已知圆柱的高为1 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上 则该圆柱的体 积为 A B C D 3 4 4 答案 B 解析 由题可知球心在圆柱体中心 圆柱体上下底面圆半径 2 2 13 1 22 r 则圆柱体体积 故选B 2 3 4 Vr h 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 4 9 等差数列的首项为1 公差不为0 若 成等比数列 则前6项的和 n a 2 a 3 a 6 a n a 为 A B C 3D 8 24 3 答案 A 解析 为等差数列 且成等比数列 设公差为 n a 236 a a a 则 即 2 326 aaa 2 111 25adadad 又 代入上式可得 1 1a 2 20dd 又 则 0d 2d 故选A 61 6565 61 6224 22 Sad 10 已知椭圆 的左 右顶点分别为 且以线段为直 22 22 1 xy C ab 0ab 1 A 2 A 1 A 2 A 径的圆与直线相切 则的离心率为 20bxayab C A B C D 6 3 3 3 2 1 3 答案 A 解析 以为直径为圆与直线相切 圆心到直线距离等于半径 12 A A20bxayab 22 2ab da ab 又 则上式可化简为 0 0ab 22 3ab 可得 即 222 bac 222 3aac 2 2 2 3 c a 故选A 6 3 c e a 11 已知函数有唯一零点 则 211 2 ee xx f xxxa a A B C D 1 1 1 3 1 2 答案 C 解析 由条件 得 211 2 ee xx f xxxa 221 2 1 211 211 2 2 2 2 ee 4442 ee 2 ee xx xx xx fxxxa xxxa xxa 即为的对称轴 2 fxf x 1x f x 由题意 有唯一零点 f x 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 5 的零点只能为 f x 1x 即 21 11 1 1 12 1 ee 0fa 解得 1 2 a 12 在矩形中 动点在以点为圆心且与相切的圆上 若 ABCD1AB 2AD PCBD 则的最大值为 APABAD A 3B C D 2 2 25 答案 A 解析 由题意 画出右图 设与切于点 连接 BDCAECE 以为原点 为轴正半轴 AAD 为轴正半轴建立直角坐标系 AB 则点坐标为 C 2 1 1CD 2BC 22 125BD 切于点 BDCAE CEBD 是中斜边上的高 CERtBCD BD 1 2 222 2 5 55 BCD BCCD S EC BDBD 即的半径为 CA 2 5 5 在上 PCA 点的轨迹方程为 P 22 4 2 1 5 xy 设点坐标 可以设出点坐标满足 P00 xy P 的参数方程如下 0 0 2 25cos 5 2 15sin 5 x y 而 00 APxy 0 1 AB 2 0 AD 0 1 2 0 2 APABAD 0 15 1cos 25 x 0 2 15sin 5 y 两式相加得 22 25 15sin1cos 55 2 55 2 sin 55 2sin 3 其中 5 sin 5 2 5 cos 5 A O Dx y B Pg C E 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 6 当且仅当 时 取得最大值 3 2 2 k k Z 二 填空题 本题共4小题 每小题5分 共20分 13 若x y满足约束条件则的最小值为 0 20 0 xy xy y 34zxy 答案 1 解析 由题 画出可行域如图 目标函数为 则直线纵截距越大 值越小 34zxy 3 44 z yx 由图可知 在处取最小值 故 1 1A min 3 14 11z A B 1 1 2 0 0 xy 20 xy y x 14 设等比数列满足 则 n a 12 1aa 13 3aa 4 a 答案 8 解析 为等比数列 设公比为 n a 即 12 13 1 3 aa aa 11 2 11 1 3 aa q aa q 显然 1q 1 0a 得 即 代入式可得 13q 2q 1 1a 3 3 41 128aa q 15 设函数则满足的x的取值范围是 1 0 2 0 x xx f x x 1 1 2 f xf x 答案 1 4 解析 即 1 0 2 0 x xx f x x 1 1 2 f xfx 1 1 2 fxf x 由图象变换可画出与的图象如下 1 2 yfx 1yf x 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 7 A 1 2 A 1 2 1 1 4 4 A 1 2 yf x 1 yf x y x 由图可知 满足的解为 1 1 2 fxf x 1 4 16 为空间中两条互相垂直的直线 等腰直角三角形的直角边所在直线与ABCAC 都垂直 斜边以直线为旋转轴旋转 有下列结论 ABAC 当直线与成角时 与成角 AB60 AB30 当直线与成角时 与成角 AB60 AB60 直线与所成角的最小值为 AB45 直线与所成角的最大值为 AB60 其中正确的是 填写所有正确结论的编号 答案 解析 由题意知 三条直线两两相互垂直 画出图形如图 abAC 不妨设图中所示正方体边长为1 故 1AC 2AB 斜边以直线为旋转轴旋转 则点保持不变 ABACA 点的运动轨迹是以为圆心 1为半径的圆 BC 以为坐标原点 以为轴正方向 为轴正方向 CCD CB 为轴正方向建立空间直角坐标系 CA 则 1 0 0 D 0 0 1 A 直线的方向单位向量 0 1 0 a 1a 点起始坐标为 B 0 1 0 直线的方向单位向量 1 0 0 b 1b 设点在运动过程中的坐标 B cos sin 0 B 其中为与的夹角 B C CD 0 2 那么在运动过程中的向量 AB cos sin 1 AB 2AB 设与所成夹角为 AB 0 2 则 cos sin 1 0 1 0 22 cos sin 0 22 a AB 故 所以 正确 错误 4 2 设与所成夹角为 AB 0 2 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 8 cos cos sin 1 1 0 0 2 cos 2 AB b b AB b AB 当与夹角为时 即 AB 60 3 12 sin2cos2cos2 322 22 cossin1 2 cos 2 21 cos cos 22 0 2 此时与夹角为 3 AB 60 正确 错误 三 解答题 共70分 第17 20题为必考题 每个试题考生都必须作答 第22 23题为选考 题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共60分 分 17 12分 的内角A B C的对边分别为a b c 已知 ABC sin3cos0AA 2 7a 2b 1 求c 2 设为边上一点 且 求的面积 DBC ADAC ABD 解析 1 由得 sin3cos0AA 2sin0 3 A 即 又 3 Akk Z 0 A 得 3 A 2 3 A 由余弦定理 又 代入并整理得 222 2cosabcbcA 1 2 7 2 cos 2 abA 故 2 125c 4c 2 2 2 7 4ACBCAB 由余弦定理 222 2 7 cos 27 abc C ab 即为直角三角形 ACAD ACD 则 得 cosACCDC 7CD 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 9 由勾股定理 22 3ADCDAC 又 则 2 3 A 2 326 DAB 1 sin3 26 ABD SADAB 18 12分 某超市计划按月订购一种酸奶 每天进货量相同 进货成本每瓶4元 售价每 瓶6元 未售出的酸奶降价处理 以每瓶2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验 每天需求量与当天最高气温 单位 有关 如果最高气温不低于25 需求量为500 瓶 如果最高气温位于区间 需求量为300瓶 如果最高气温低于20 需求量为 20 25 200瓶 为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月份各天的最高气温数据 得下 面的频数分布表 最高气温 10 15 15 20 20 25 25 30 30 35 35 40 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 1 求六月份这种酸奶一天的需求量 单位 瓶 的分布列 X 2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 单位 元 当六月份这种酸奶一天的 Y 进货量 单位 瓶 为多少时 的数学期望达到最大值 Y 解析 易知需求量可取200 300 500 2161 200 3035 P X 362 300 3035 P X 25742 500 3035 P X 则分布列为 X200300500 P 2 5 2 5 当时 此时 当时取到 200n 642Ynn max 400Y 200n 当时 200300n 41 220022002 55 Ynn 880026800 555 nn n 此时 当时取到 max 520Y 300n 当时 300500n 122 20022002300230022 555 Ynnn 32002 5 n 此时 520Y 当时 易知一定小于 的情况 500n 综上所述 当时 取到最大值为 300n 520 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 10 19 12分 如图 四面体中 是正三角形 是直角三角形 ABCD ABC ACD ABDCBD ABBD 1 证明 平面平面 ACD ABC 2 过的平面交于点 若平面 ACBDE 把四面体分成体积相等的两部 AECABCD 分 求二面角的余弦值 DAEC 解析 取中点为 连接 ACOBODO 为等边三角形 ABC BO AC AB BC ABBC BDBD ABDDBC ABDCBD 即为等腰直角三角形 ADCD ACD ADC 为直角又为底边中点 OAC DO AC 令 则 ABa ABACBCBDa 易得 2 2 ODa 3 2 OBa 222 ODOBBD 由勾股定理的逆定理可得 2 DOB 即OD OB ODAC ODOB ACOBO ACABC OBABC 平面 平面 ODABC 平面 又 OD ADC 平面 由面面垂直的判定定理可得 ADCABC 平面平面 由题意可知V V D ACEB ACE 即 到平面的距离相等 BDACE 即为中点 EBD 以为原点 为轴正方向 为轴正方向 OOA OB 为轴正方向 设 建立空间直角坐标 OD ACa 系 则 0 0 0O 0 0 2 a A 0 0 2 a D 3 0 0 2 Ba 3 0 44 a Ea 易得 3 244 aa AEa 0 22 aa AD 0 0 2 a OA 设平面的法向量为 平面的法向量为 AED1 n AEC2 n D A B C E D A B C E O D A B C E y x O z 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 11 则 解得 1 1 0 0 AE n AD n 1 3 1 3n 解得 2 2 0 0 AE n OA n 2 0 1 3n 若二面角为 易知为锐角 DAEC 则 12 12 7 cos 7 nn nn 20 12分 已知抛物线 过点 2 0 的直线交于 两点 圆是以线 2 2C yx CABM 段为直径的圆 AB 1 证明 坐标原点在圆上 OM 2 设圆过点 4 求直线与圆的方程 MP2 M 解析 显然 当直线斜率为时 直线与抛物线交于一点 不符合题意 设 2l xmy 11 A x y 22 B xy 联立 得 2 2 2 yx xmy 2 240ymy 恒大于 2 416m 12 2yym 12 4y y 1212 OA OBx xy y uur uu u r 12 2 2 mymy 2 1212 1 2 4my ym yy 2 4 1 2 2 4mmm 0 即在圆上 OAOB uuruu u r OM 若圆过点 则 MP0AP BP uu u r uur 1212 4 4 2 2 0 xxyy 1212 2 2 2 2 0mymyyy 2 1212 1 22 80my ymyy 化简得解得或 2 210mm 1 2 m 当时 圆心为 1 2 m 240lxy 00 Q xy 12 0 1 22 yy y 00 19 2 24 xy 半径 22 91 42 rOQ 则圆 22 9185 4216 Mxy 当时 圆心为 1m 20l xy 00 Q xy 12 0 1 2 yy y 00 23xy 半径 22 31rOQ 则圆 22 3 1 10Mxy 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 12 21 12分 已知函数 1lnf xxax 1 若 求的值 0f x 2 设为整数 且对于任意正整数 求的最小 m 2 111 1 1 1 222n m m 值 解析 1lnf xxax 0 x 则 且 1 axa fx xx 1 0f 当时 在上单调增 所以时 0a 0fx f x 0 01x 不满足题意 0f x 当时 0a 当时 则在上单调递减 0 xa 0fx f x 0 a 当时 则在上单调递增 xa 0fx f x a 若 在上单调递增 当时矛盾1a f x 1 a 1 xa 1 0f xf 若 在上单调递减 当时矛盾1a f x 1 a 1 xa 1 0f xf 若 在上单调递减 在上单调递增 满1a f x 0 1 1 1 0f xf 足题意 综上所述 1a 当时即 1a 1ln0f xxx ln1xx 则有当且仅当时等号成立ln 1 xx 0 x 11 ln 1 22 kk k N 一方面 22 1111111 ln 1 ln 1 ln 1 11 2222222 nnn 即 2 111 1 1 1 e 222n 另一方面 223 111111135 1 1 1 1 1 1 2 22222264 n 当时