用坐标法研究仿射变换.ppt

3用坐标法研究仿射变换 3 1仿射变换的变换公式 3 2变换矩阵的性质 3 3仿射变换的不动点和特征向量 3 4保距变换的变换公式 定理平面的仿射点变换f在一个仿射坐标系中的公式为 4 3 其中系数矩阵A aij 是可逆矩阵 反之 如果平面的一个点变换f在一个仿射坐标系中的公式为 4 3 且其系数矩阵A aij 是可逆矩阵 则f是仿射 点 变换 3 1仿射变换的变换公式 证明 设f是仿射点变换 I O e1 e2 是平面仿射坐标系 平面上任一点P在I中的坐标为 x y P在f下的像f P 在I中的坐标为 x y 记II f O f e1 f e2 根据仿射变换基本定理 它是仿射坐标系 且任一点Q在f下的像f Q 在II中的坐标等于Q在I中的坐标 x y 设f e1 f e2 f O 在I中的坐标分别为 a11 a21 a12 a22 b1 b2 于是f P 在II中的坐标为 x y 3 1仿射变换的变换公式 则I到II的坐标变换公式为 从而f P 的I坐标 x y 和II坐标 x y 应满足 而上式右端的 x y 又可以理解为P的I坐标 故上式 即 4 3 式就是平面的一个仿射点变换f在一个仿射坐标系中的公式 其系数矩阵A aij 是I到II的过渡矩阵 是可逆矩阵 反之 如果平面的一个点变换f在一个仿射坐标系中的公式为 4 3 且其系数矩阵A aij 是可逆矩阵 则f显然是可逆变换 其逆变换f 1可由下式给出 此外 设三点A B C共线 且在I中的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x3 y3 根据P22 例1 7 则有 3 1仿射变换的变换公式 由假设 像点f A f B f C 在I中的坐标分别为 a11x1 a12y1 b1 a21x1 a22y1 b2 a11x2 a12y2 b1 a21x2 a22y2 b2 a11x3 a12y3 b1 a21x3 a22y3 b2 因为行列式 1 1 3 1仿射变换的变换公式 0 根据P22 例1 7可知 f A f B f C 共线 综上可知 f是仿射 点 变换 3 1仿射变换的变换公式 注 1 若平面的仿射点变换f在一个仿射坐标系中的公式为 其中系数矩阵A aij 是可逆矩阵 则其决定的向量变换在该仿射坐标系中的公式为 A称为变换矩阵 4 3 4 4 3 1仿射变换的变换公式 2 仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵就是I到f I 的过渡矩阵 因此它的两个列向量分别为I的坐标向量e1 e2的像f e1 f e2 在I中的坐标 3 仿射变换的变换公式和坐标变换公式在形式上完全相同 但意义完全不同 仿射变换的变换公式中 x y x y 是不同的两个点A及其像点f A 或不同的两个向量u与f u 在同一个坐标系中的坐标 而在坐标变换公式中 x y x y 是同一个点 或向量 在不同坐标系中的坐标 3 1仿射变换的变换公式 4 对仿射向量变换公式的理解 1 若知道向量或它的像向量中任一个坐标 可由公式求出另一个坐标 2 若能求出任意向量及其像向量之间的关系表达式 则其矩阵表达式中的矩阵即为f的变换矩阵 5 给定仿射变换f在仿射坐标系I中的变换公式 若已知某图形 或它的像f 的方程 可利用变换公式求出 的像f 或 的方程 3 1仿射变换的变换公式 例1已知在仿射坐标系I中 仿射变换f的点变换公式为 直线l的方程为3x y 1 0 求f l 的方程 解 方法1 根据题设变换公式反解得 代入l的方程得 3 2x 3y 16 3x 4y 23 1 0 整理得9x 13y 72 0 于是f l 的方程为9x 13y 72 0 3 1仿射变换的变换公式 方法2 待定系数法 设f l 的方程为Ax By C 0 将题设变换公式代入得到l的方程为 A 4x 3y 5 B 3x 2y 2 C 0 它与3x y 1 0都是l的方程 于是 从左式得A B 9 13 右式得A C 1 8 取A 9 B 13 C 72 得f l 的方程为 9x 13y 72 0 3 1仿射变换的变换公式 方法3 取l上一点P1 0 1 和l的方向向量u 1 3 根据题设变换公式得f P1 的坐标为 8 0 根据题设 向量变换公式为 得f u 的坐标为 13 9 于是f l 的方程为 即9x 13y 72 0 3 1仿射变换的变换公式 例2在仿射坐标系I中 仿射变换f把直线x y 1 0变为2x y 2 0 把直线x 2y 0变为x y z 0 把点 1 1 变为 2 3 求f在I中的变换公式 解 方法1 待定系数法 假设所求变换公式为 因为f把直线x y 1 0变为2x y 2 0 即直线2x y 2 0的原像是x y 1 0 从而 3 1仿射变换的变换公式 2 a11x a12y b1 a21x a22y b2 2 0 就是直线x y 1 0 2a11 a21 2a12 a22 2b1 b2 2 1 1 1 即2a11 a21 2a12 a22 2a11 a21 2b1 b2 2 类似地 由f把直线x 2y 0变为x y 1 0可得到 a11 a21 a12 a22 b1 b2 1 1 2 0 即2 a11 a21 a12 a22 b1 b2 1 0 于是 3 1仿射变换的变换公式 再由f把点 1 1 变为点 2 3 得到 a11 a12 b1 2 a21 a22 b2 3 从上面这6个方程解出 a11 3 a12 1 b1 2 a21 1 a22 3 b2 1 于是所求变换公式为 3 1仿射变换的变换公式 方法2 把点 x y 经过变换得到的像点的坐标x y 看作x y的函数 用条件来决定变换公式 直线2x y 2 0的原像是x y 1 0 从而2x y 2 0 其中x y 看作x y的函数 与x y 1 0表示同一条直线的方程 因此存在数s 使得 2x y 2 s x y 1 再由f把点 1 1 变为点 2 3 用x 1 y 1 x 2 y 3代入 求出s 5 3 1仿射变换的变换公式 直线x y 1 0的原像是x 2y 0 因此存在数t 使得 x y 1 t x 2y 再由f把点 1 1 变为点 2 3 用x 1 y 1 x 2 y 3代入 求出t 2 由此解得 从而x y 1 0与x 2y 0表示同一条直线 3 1仿射变换的变换公式 例3 P207 1 证明 在任何仿射坐标系中 位似变换的变换矩阵都是数量矩阵kE 其中k是位似系数 反之 如果一个仿射变换在某个仿射坐标系中的变换矩阵是数量矩阵kE 其中k 1 则它一定是位似变换 证明 设f是位似变换 位似中心M 位似系数k 建立平面仿射坐标系I O e1 e2 设位似中心M在I中的坐标为 a b 平面上任一点P在I中的坐标为 x y P在f下的像f P 在I中的坐标为 x y 根据位似变换的定义 有 3 1仿射变换的变换公式 ae1 be2 k x a e1 k y b e2 故 因此位似变换f在I中的变换矩阵为数量矩阵kE kx 1 k a e1 ky 1 k b e2 即 3 1仿射变换的变换公式 反之 设仿射变换f在某个仿射坐标系I中的变换矩阵是数量矩阵kE 其中k 1 设其变换公式为 令M是在I中坐标为 c 1 k d 1 k 的点 设平面上任一点P在I中的坐标为 x y k x c 1 k e1 y d 1 k e2 即f是以M为位似中心 位似系数为k的位似变换 3 1仿射变换的变换公式 3 2变换矩阵的性质 在变换公式 4 3 和 4 4 中 变换矩阵A aij 是关键因素 已经知道仿射变换f在一个仿射坐标系I中的变换矩阵即为I到f I 的过渡矩阵 下面给出变换矩阵的几个重要性质 主要回答以下两个问题 1 已知两个仿射变换在一个仿射坐标系I中的变换矩阵 如何求它们的乘积的变换矩阵 2 已知仿射变换f在一个仿射坐标系I中的变换矩阵 如何求f在另一个仿射坐标系II中的变换矩阵 引理设I1和I2是平面上的两个仿射坐标系 它们分别被仿射变换f变为II1和II2 则I1到I2的过渡矩阵与II1到II2的过渡矩阵相同 f f A A A的列向量是I2坐标向量e1 e2的I1坐标 过渡矩阵的列向量是f I2 坐标向量f e1 f e2 的f I1 坐标 f I1 f I2 3 2变换矩阵的性质 性质1 若仿射变换f把坐标系I变成II 则f在II中的变换矩阵就是f在I中的变换矩阵 3 2变换矩阵的性质 f f A A f I f I 性质2 若仿射变换f g在仿射坐标系I中的变换矩阵分别为A B 则它们的乘积g f在I中的变换矩阵为BA A B A BA 3 2变换矩阵的性质 性质3 若仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵为A 则它的逆变换f 1在I中的变换矩阵为A 1 性质4 设仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵为A I到仿射坐标系II的过渡矩阵为H 则f在II中的变换矩阵为H 1AH A H H 1AH H H 1 3 2变换矩阵的性质 性质4表明 同一个仿射变换在不同仿射坐标系中的变换矩阵相似 并且可用这两个坐标系间的过渡矩阵实现这个相似关系 性质5 同一个仿射变换在不同仿射坐标系中的变换矩阵的行列式相等 命题4 8仿射变换的变积系数等于它的变换矩阵的行列式的绝对值 仿射变换的变换矩阵的行列式有很强的几何意义 证明 设在仿射坐标系I O e1 e2 中 仿射变换f的变换矩阵为 3 2变换矩阵的性质 则f e1 f e2 a11e1 a21e2 a12e1 a22e2 a11a22 a12a21 e1 e2 A e1 e2 所以f的变积系数 因 e1 e2 f e1 f e2 分别是I和f I 的两个坐标向量所夹平行四边形 和 的面积 且显然 f 3 2变换矩阵的性质 定义 平面的仿射变换f 若它在仿射坐标系中的变换公式的系数矩阵A的行列式 A 0 则称f为第一类的 若 A 0 则称f是第二类的 因为f e1 f e2 A e1 e2 所以 第一类仿射变换仿射坐标系I与f I 的定向相同 第二类仿射变换仿射坐标系I与f I 的定向相反 3 2变换矩阵的性质 P207 习题4 3 3 5 6 11 1 2 作业 定义 如果非零向量u与f u 平行 则称u为f的一个特征向量 此时有唯一实数 使得f u u 称 为f的一个特征值 也称u为f的属于特征值 的特征向量 求法 设f在仿射坐标系I中的公式为 变换矩阵A 3 3仿射变换不动点特征向量 仿射变换的特征值和特征向量 则非零向量u x0 y0 是f的属于特征值 的特征向量当且仅当 当且仅当下面齐次线性方程组有非零解 当且仅当行列式 称为f的特征方程 或 即 4 6 4 7 3 3仿射变换不动点特征向量 步骤1 求特征值 即特征方程的解 步骤2 对每一特征值 求齐次方程组 的非零解 即为f的属于特征值 的特征向量 或 这样求仿射变换特征向量和特征值的步骤如下 3 3仿射变换不动点特征向量 例4设f是位似系数为k的位似变换 求f的特征向量与特征值 解 由例3可知 位似变换在任何仿射坐标系中的变换矩阵都是数量矩阵kE 故其特征方程为 2 2k k2 k 2 0 从而f有两个相同的特征值 1 2 k 对于 1 2 k 齐次方程组 4 6 中两个方程都是恒等式0 0 故任何非零向量都是f的特征向量 直观上 位似变换将任何非零向量映成与之平行的向量 故任何非零向量都是f的特征向量 3 3仿射变换不动点特征向量 求法 f的不动点即为下面方程组的解 于是当行列式 定义设f 是一个仿射变换 P 如果P在f下不动 即f P P 则称P为f的一个不动点 仿射变换的不动点 3 3仿射变换不动点特征向量 1 不为零时 即1不是f的特征值 f有唯一不动点 2 为零且方程组无解 此时f无不动点 3 为零且两个一次方程同解 此时f有无穷多个不动点 若f id 则每一点都是不动点 否则f的不动点构成一条直线 1 a11 x 2a12y b1 0 3 3仿射变换不动点特征向量 例5已知仿射变换f在一个仿射坐标系中的变换公式为 1 求f的不动点和特征向量 2 求f的变积系数 3 作仿射坐标系 使得原点是不动点 坐标轴平行于特征向量 求f在此坐标系中的变换公式 解 1 解方程组得f的不动点 为点O 1 2 2 3 3仿射变换不动点特征向量 解特征方程 2 9 18 0得f的特征值为 1 3 2 6 对于 1 3 解齐次方程组 得f的属于 1 3的特征向量为k 1 4 T k 0 对于 1 6 解齐次方程组 得f的属于 2 6的特征向量为k 1 1 T k 0 3 3仿射变换不动点特征向量 2 f的变积系数为 3 解法一 待定系数法 运用变换矩阵的性质4 设所求的f的变换公式为 因为原点是不动点 所以 由此得d1 d2 0 3 3仿射变换不动点特征向量 设f在旧坐标系中的变换矩阵为A 根据性质4 f在新坐标系中的变换矩阵B应为 又新坐标轴平行于特征向量 所以可取特征向量 1 4 T 1 1 T分别作为新系的坐标向量 从而旧坐标系到新坐标系的过渡矩阵为 3 3仿射变换不动点特征向量 故f在新坐标系中的变换公式为 即 3 3仿射变换不动点特征向量 3 解法二 利用特征向量的性质 由原点是不动点 所以f在新系中的变换公式中常数项为0 又新坐标轴平行于特征向量 故坐标向量分别平行于u 1 4 T v 1 1 T 设 则 因此仿射变换f在新系中的变换矩阵为 从而f在新系中的变换公式为 3 3仿射变换不动点特征向量 定理平面的保距点变换f在一个直角坐标系中的公式为 其中系数矩阵A aij 是正交矩阵 反之 如果平面的一个点变换f在一个直角坐标系中的公式为 且其系数矩阵A aij 是正交矩阵 则f是保距 点 变换 3 4保距变换的变换公式 类似于仿射变换的变换公式 有如下定理 设f是平面 上的保距变换 取I O e1 e2 为右手直角坐标系 由上面定理可知 f在I中的变换矩阵为正交矩阵 情形1 若f是第一类保距变换 则 A 1 于是A有如下形式 若 0 则 于是f的点变换公式为 3 4保距变换的变换公式 此时f是一个平移 平移量为u b1 b2 如果0 2 则 故f有唯一不动点M0 x0 y0 作移轴 使新原点为M0 得新直角坐标系I M0 e1 e2 则I到I 的坐标变换公式为 3 4保距变换的变换公式 设f在I中的变换公式为 将I到I 的坐标变换公式代入上式可得 因为M0 x0 y0 是f的不动点 故 3 4保距变换的变换公式 将它代到上式中可得到f在I 中的变换公式为 因此f是绕M0的旋转 转角为 总结以上结果 得到 命题4 9平面上第一类保距变换或是平移 或是旋转 3 4保距变换的变换公式 情形2 若f是第二类保距变换 则 A 1 此时A有两个不相等的特征值 其乘积为 1