振动理论-第二章-习题解答

第二章习题第二章习题 2 1一重块 支承在平台上 如题 2 1 图所示 重块下联结两个弹簧 其刚100WN 度均为 在图示位置时 每个弹簧已有初压力 设将平台20 kN cm 0 10FN 突然撤去 则重块下落多少距离 W k k 题 2 1 图 解答解答 由题可知 弹簧在初始时的形变 0 0 10 0 5 20 F Lcmcm k 设重块将下落 h m 则 22 1 2 W hk hLL 于是 4hcm 2 3 求题 2 3 图所示的轴系扭转振动的固有频率 轴的直径为 d 剪切弹性摸量为G 两 端固定 圆盘的转动惯量为 J 固定于轴上 至轴两端的距离分别为 12 ll和 解 以圆轴的轴线为固定轴 建立系统的振动微分方程 惯性力矩 J 恢复力矩 12 pp GIGI ll 由动静法得 12 0 pp GIGI J ll 因此 2 4 一均质等直杆 AB 重为 W 用两相 同尺寸的铅垂直线悬挂如题 2 4 图所示 122 1 2 4 4 12 1 2 32 2 1 232 p p GIll Jl l d I f d G ll f Jl l 且 由以上各式得 线长为 l 两线相距为 试推导 AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程 并求出2a 其固有频率 aa l AB W b b F T T 解 AB 杆绕重心摆动 则 2 2 2 2 cos 20 0 2 123 3 0 3 13 22 J aWa FTT ll JFa Wa J l mm Jbb Wa mlb ag bl ag f bl A A A A A A A A AA 惯性力矩 恢复力矩 2Fa 其中 则 即 又有 则 固有频率 2 5 有一简支梁 抗弯刚度 EI 2E10 N c 跨度为 L 4m 用题图 a b 的两种方式在梁 跨中连接一螺旋弹簧和重块 弹簧刚度 K 5kN cm 重块质量 W 4kN 求两种弹簧的固有频 率 a b 解 根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度 3 3 2 348 l mg mgl EIEI A 3 1 48 l mgEI k A a 图可以看作弹簧和杆的并联 11 3 48 e EI kkkk l 弹簧质量系统的固有频率 1 1 1 2 e k f m 已知 EI 2E10 N c K 5kN cm W 4kN 代入数据得1 11 14fHz b 图可以看作弹簧和杆的串联 所以 1 2 1 e k k k kk 2 2 1 2 e k f m 代入数据得2 4 82fHz 2 9 一有黏性阻尼的单自由度系统 在振动时 它的振幅在 5 个周期之后减少了 50 试 求系统的相对阻尼系数 解 由 2 33 式得 1 5 5 1 6 2 T A ee A 两端取对数 得 1 2 10 ln25 1 T 则 22 22 2 ln2ln 2 101100 1 0 0221 2 10列出题 2 10 图所示系统的振动微分方程 并计算其振动频率 解 系统运动时的受力如上所示 由动静法原理可得 0 00 2 2 2 2 x l bk x l ac xm bx l b kax l a clxmA 令 2 2 l ca Ce 2 2 l kb Ke 则 mw Ce 2 m k l b W m K W e 2 振动频率 2422 2 2 2 2 2 4 2 1 2 11 cabkml ml m k l b wml ac WWd 2 11 如题 2 1 图所示轴承 轴的直径剪切弹性模量2 40dcm lcm 圆盘饶对称轴的转动惯量为 并在 62 8 10 GN cm 10JkN cm 2 s kN cm 的外力偶矩作用下发生扭振 求振幅值 5 sin2Mt 2 11 解 惯性力矩 J 恢复力矩 2 p GI l 微分方程 25 sin2 p GI Jt l 所以 振幅 2 5 2 2 p B GI J l 已知 2 40dcm lcm 62 8 10 GN cm 10JkN cm 2 s 代入数据得 0 0672Brad 2 12 已知一弹簧系统 质量块重 弹簧刚度 作用在质量块上 NW196 cmNk 20 的力为 而受阻力为 的单位均为 的单位为 tF19sin16 vR56 2 RF Nt 的单位为 求 1 忽略阻力时 质量块的位移和放大因子 2 考虑阻力时 vs scm 质量块的位移和放大因子 解 系统运动方程为 tFkxxcxm 00sin 系统的稳态响应 222 00 2 2 1 sin t k F tx 其中 9 1 196 8 91020 19 2 0 4002 c m c 1 2 arctan 2 忽略阻力时 即 则 0 c00 放大因子 383 0 21 1 222 则系统的响应为 tt k F tx19sin306 0 sin 0 0 2 2 考虑阻力时 则 cmsNc 56 2 1 64 0 rad 放大因子 28 0 2 1 1 222 75 0 则系统的响应为 75 0 19sin 224 0 sin 0 0 2 tt k F tx 2 13一有阻尼的弹簧质量系统 其固有频率为 弹簧刚度为 黏性 1 2s 30 kN cm 阻尼系数 求在外力作用下的振幅和相位角 cN s cm 20cos3 Ft N 解答解答 由题可知 0 3 2 0 15 3 0 5 222 30 1 5 cc mk 由于 0 20FN 则 0 22 1 0 342 1 2 F Bcm k 2 2 arctan 129 48 1 2 14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件 0 和质量块上受有0t 0 x 0 x 时的响应 F 0 sinFt 解 阻尼较小时 即 系统响应为1 0 cossin sin t dd xeCtDtBt 00 cossin sincos cos tt dddd xeCtDteCtDtBt 其中 0 2 222 2 arctan 1 1 2 Fk B 代入初始条件 0 解得 0 x 0 x 0 0 sin sincos B CBD 因此 系统响应为 0 00 222 1 sincos sincos sin sin 1 2 t dd d Fk xettt 2 15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上 电动机与平台总质量为 100kg 弹簧的总刚度 k 700N cm 电动机轴上有一偏心质量为 1kg 偏心距离 e 10cm 电机转 速 n 2000r min 求平台的振幅 解 由公式得 0 2 n 0 2 n 22000200 603 rad srad s 该系统的振动为偏心振动 故运动微分方程可写为 2 00 sinMxcxkxmet 式中 100 1 10 0Mkg mkg ecm c 圆频率 700 7 100 k rad s M 频率比 0 200 79 161 3 7 设稳态响应则 0 sin xBt 由公式得 2 222 1 2 me B M 0 0 102Bcm 2 17 写出题 2 17 图所示系统的振动微分方程 并求出稳态振动的解 m taxs 0 sin 题 2 17 图 解 系统运动微分方程为 tkakxxcxm 0 sin 方程的解可表示为 21 txtxtx 其中为方程的特解 亦即稳态振动的解 令其形式为 2 tx sin 02 tBtx 将及其一阶 二阶导数代入运动微分方程 整理得 2 tx 2 0 22 0 cmk ka B 令 则 从而得 0 2 2 0 k m 2 0 k c 222 2 1 a B 于是得系统的稳态响应为 222 0 2 2 1 sin ta tx 相应地求得相位角 2 1 2 arctan 2 20 试写过如题 2 20 图所示结构系统的振动微分方程 并求出系统的固有频率 相对阻 尼系数和稳态振动的振幅 解 sin twax xxkxcxm os s 得twkakxxcxm o sin 0 O Mlmlm2 kx 则 方程转化为 twkakxxcxm 0 sin24 m k wc cm ww 2 1 222 2 1 2 2 a BB 2 21 一弹簧质量系统在如题 2 21 图所示的激振力作用下作强迫振动 试求其稳定振动的 响应 x 02 03 04 0y 1 0 1 解 先将分解为各简谐激励 并计算傅立叶系数 F t 由图可知 激励的均值 0 0 2 a 0 0 3 44 3 000 0 44 2 cos 222 coscoscos 23 sinsin 22 T j TT T TT aF tjtdt T jtdtjtdtjtdt TTT jj j 0 0 3 44 3 000 0 44 2 cos 222 sinsinsin 23 coscos 22 0 T j TT T TT bF tjtdt T jtdtjtdtjtdt TTT jj j 0 1 000 000 cos 444 coscos3cos5 1 27cos1 27cos31 27cos5 j j F tajt ttt ttt 0 0 2 1 T 系统的响应为 0 2 1 000 222 1 00 cos 1 coscos3cos51 271 271 27 lim 11 31 5 0 160 05 cos3cos5 j j j ajt x k ttt kkk tt kk 2 22 一弹簧质量系统如题 2 22 图所示的激振里作用下作强迫振动 试求其稳态振动的 响应 F 0 F 0 F 0 0 4 0 2 0 3 0 4 解 周期 T 0 2 0 2 F t 00 0 00 000 00 000 2 0 2 23 22 2232 2 F tt F tt F tt 由图知 1 2 0 0 0 0 0 3 00044 3 000000 0 4400 0 22 0 2 2 cos0 2 sin 22222 sin sin sin 02 4 6 8 11 3 5 j t j t j TT T TT a aF tjw tdt T bf tjw tdt T www Ftjw tdtFtjw tdtFtjw tdt Tww j F j j 因为是无阻尼系统 0 0 2 22