高中数学椭圆双曲线和抛物线的总结及例题精讲

椭圆椭圆2012 年高考文科数学年高考文科数学 1 2012 年高考 课标文 设 1 F 2 F是椭圆E 22 22 xy ab 1 a b 0 的左 右焦点 P为 直线 3 2 a x 上一点 21 F PF是底角为 0 30的等腰三角形 则E的离心率为 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 5 2 2012 年高考 江西文 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右顶点分别是 A B 左 右 焦点分别是 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 A 1 4 B 5 5 C 1 2 D 5 2 3 2012 年高考 大纲文 椭圆的中心在原点 焦距为 4 一条准线为4x 则该椭圆的 方程为 A 22 1 1612 xy B 22 1 128 xy C 22 1 84 xy D 22 1 124 xy 4 2012 年高考 四川文 椭圆 22 2 1 5 xy a a 为定值 且5 a 的的左焦点为F 直线 xm 与椭圆相交于点A B FAB 的周长的最大值是 12 则该椭圆的离心率是 5 2012 年高考 重庆文 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知椭圆的中心为原点O 长轴在x 轴上 上顶 点为A 左 右焦点分别为 12 F F 线段 12 OF OF 的中点分别为 12 B B 且 12 AB B是面积为 4 的直角三角形 求该椭圆 的离心率和标准方程 过 1 B 作直线交椭圆 于 P Q 22 PBQB 求 2 PB Q的面积 6 2012 年高考 天津文 已知椭圆 22 22 1 xy ab 0 a b 点 52 52 Paa在椭圆上 I 求椭圆的离心率 II 设A为椭圆的右顶点 O为坐标原点 若Q在椭圆上且满足 AQAO 求直线 OQ的斜率的值 双曲线高考文科真题双曲线高考文科真题 一 选择题 1 2007 宁夏海南文 2 双曲线1 210 22 yx 的焦距为 A 32 B 42 C 33 D 43 解析 由已知有 222 12 cab 所以2 3 c 故双曲线焦距为4 3 故选 D 2 2009 浙江 9 过双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的右顶点A作斜率为 1 的直线 该直 线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B C 若BCAB 2 1 则双曲线的离心率是 A 2 B 3 C 5 D 10 解析 由BCAB 2 1 OCOAOB 3 1 3 2 又直线 BC 的方程axy 与渐近线 交点 22 ba ab ba a C ba ab ba a B 所以 542 3 1 222 eacaba ba ab ba ab 3 2009 海南宁夏 4 双曲线1 124 22 yx 的焦点到渐近线的距离为 A 32 B 2 C 3 D 1 解析 双曲线1 124 22 yx 的一条渐近线是4124 3 cxy 其一焦点的坐标 为 4 0 由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为32 3 1 34 2 选 A x y o x y o x y o x y o 4 2009 安徽理 3 下列曲线中离心率为 2 6 的是 A 1 42 22 yx B 1 24 22 yx C 1 64 22 yx D 1 104 22 yx 解析 2 1 2 3 2 2 2 22 2 2 2 a b a ba a c e a c e 选 B 5 2009 浙江文 6 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点F 右顶点为A 点B在椭 圆上 BF x轴 直线AB交y轴于点P 若PBAP2 则椭圆的离心率是 A 2 3 B 2 2 C 3 1 D 2 1 解析 由题意知 因为PBAP2 则 2 1 2 2 ecaAFOA 选 D 6 2009 天津文 4 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双 曲线的渐近线方程为 A xy2 B xy2 C xy 2 2 D xy 2 1 解析 由题意知 2 3 1 322 22 acbcb 故双曲线的渐近线方程 为xy 2 2 选 C 7 已知 m n 为两个不相等的非零实数 则方程 mx y n 0 与 nx2 my2 mn 所表示的曲线可 能是 A B C D 解析 选 C 8 2009 福建文 4 若双曲线1 32 2 2 2 y a x 的离心率为 2 则a等于 A 2 B 3 C 3 2 D 1 解析 由离心率公式 选 B 二 填空题 9 2008 山东文 13 已知圆 0 846 22 yxyxC以圆 C 与坐标轴的交点分别作为 双曲线的一个焦点和顶点 则适合上述条件的双曲线的标准方程为 解析 令0y 得24xx 或符合条件的双曲线 2 4 ac 22 16412bc 且焦点在x轴上 双曲线方程为 22 1 412 xy 10 2009 上海春文 7 过点 1 4 A和双曲线1 169 22 yx 右焦点的直线为 解析 双曲线 22 1 916 xy 的右焦点为 5 0 过 4 1 和 5 0 两点的直线方程为 5 yx 11 2007 宁夏海南13 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2 焦点到渐近线的距离为 6 则该双曲线的离心率为 解析 设焦点在x轴上 渐近线为 b yx a 顶点到渐近线 1 2 2 2 1 bab d c b a 焦点 到渐近线距离 2 2 2 6 1 b c a db b a 则3 c c a 12 2009 辽宁 16 已知 F 是双曲线1 124 22 yx 的左焦点 A 1 4 P 是双曲线右支上 的动点 则 PF PA 的最小值为 解析 设双曲线的右交点为 1 F 则由双曲线的定义可知 11 42PFPFaPF 所 以当满足 PF1 PA 最小时就满足 PF PA 取最小值 由双曲线的图像可知当点 A P F 1共线时 满足 PF1 PA 最小 而1 AF即为 PF1 PA 的最小值 1 AF 5 故所求最 小值为 9 三 解答题 13 已知双曲线与椭圆共焦点 且以为渐近线 求双曲线方程 1 2449 22 yx xy 3 4 14 2008 上海 18 已知双曲线 2 2 1 4 x y P 是双曲线上一点 1 求证 P 点到双曲线两条渐进线的距离的乘积是一个定值 6 分 2 已知点 A 3 0 求PA的最小值 9 分 解析 1 设 11 yxP是双曲线上任意一点 该双曲线的两条渐近线方程分别是 02 yx和 02 11 yxPyx点 到两条渐近线的距离分别是 1111 2 2 55 xyxy 和 它们的乘积是 22 111111 2 2 4 4 5555 xyxyxy 来源 Z xx k Com 点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 2 设P的坐标为 yx 则 222 3 yxPA 5 4 5 12 4 5 1 4 3 2 2 2 x x x 2 x 时当 5 12 x PA 2的最小值为 5 4 即 PA 的最小值为 5 52 抛物线高考文科真题抛物线高考文科真题 一 选择题 1 2007 宁夏海南文 7 已知抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为 F 点 111 P x y 222 P xy 333 P xy在抛物线上 且 213 2xxx 则有 A 123 FPFPFP B 222 123 FPFPFP C 213 2 FPFPFP D 2 213 FPFPFP 解析 11 2 p FPx 22 2 p FPx 33 2 p FPx 221313 2 2 FPxpxxpFPFP 故选 C 2 2009 山东文 10 设斜率为 2 的直线l过抛物线 0 2 aaxy 的焦点 F 且和 y 轴交 于点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A 4 2 y B xy8 2 C xy4 2 D xy8 2 解析 不论a值正负 过抛物线 0 2 aaxy 的焦点坐标都是 0 4 a 故直线l的方程 为 4 2 a xy 令0 x得 2 a y 故OAF 的面积为4 16242 1 2 aaa 故 8 a 选B 二 填空题 3 2007 广东文 11 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线关于x轴对称 顶点在原点O 且 过点P 2 4 则该抛物线的方程是 解析 设抛物线方程 yax 又抛物线图象过 2 4 p则162 a 2 8 8 ayx 4 2008 上海文 6 若直线01 yax经过抛物线xy4 2 的焦点 则a 解析 抛物线 2 4yx 的焦点 1 0 F在直线10axy 上 10 1 aa 5 2009 上海春 5 抛物线xy 2 的准线方程是 解析 由 2 yx 得 21 p 故准线方程为 2 p x 即 1 4 x 6 2009福建理13 过抛物线 0 2 2 ppxy的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于 A B两点 线段AB的长为8 则 p 解析 设点BA 的坐标分别为 11 yx 22 yx 过抛物线 0 2 2 ppxy的焦点F 作倾斜角为450的直线方程为 2 p xy 把 2 p yx 代入 0 2 2 ppxy得 02 22 ppyy 因为8 AB 所以 24 4 24 2 21 2 2121 yyyyyy ppp 32 4 2 22 2 7 2009 上海文 9 过点 A 1 0 作倾斜角为4 的直线 与抛物线 2 2yx 交于 MN 两点 则MN 解析 由已知条件可得直线方程为 1yx 代入抛物线方程可得 2 220yy 设 M 1 x 1 y N 2 x 2 y 由 1212 2 2yyy y 可得 2222 12121212 MNxxyyyyyy 22 1212 2 42282 6yyy y 8 2009 海南宁夏文 14 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点在x轴上 直线xy 与 抛物线 C 交于 A B 两点 若 2 2 P为 AB 的中点 则抛物线 C 的方程为 解析 设抛物线的方程为 0 2 aaxy 由方程组 xy axy2 得交点坐标为 0 0 aaBA 而点 2 2 P是AB的中点 从而有4 a 故所求抛物线C的方程为 xy4 2 三 解答题 9 2008 广东文 20 设0 b 椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb 抛物线方程为 8 2 byx 如图所 示 过点xbF作 2 0 轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为G 已知抛物线在点 G的切线经过椭圆的右焦点F1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 解析 由 2 8 xyb 得 2 1 8 yxb 当2yb 得4x G 点的坐标为 4 2 b 1 4 yx 4 1 x y 过点 G 的切线方程为 2 4ybx 即2yxb 令0y 得2xb 1 F 点的坐标为 2 0 b 由椭圆 方程得 1 F点的坐标为 0 b 2bb 即1b 即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 1 2 x y 和 2 8 1 xy 10 2009 浙江文 22 已知抛物线 0 2 2 ppyxC上一点A m 4 到其焦点的距离 为 4 17 求p与m的值 解析 由抛物线的定义 得 4 17 2 4 p 又pm8 2 所以 2 2 1 mp 11 2009 福建文 22 已知直线220 xy 经过椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左顶 点 A 和上顶点 D 椭圆C的右顶点为B 点S是椭圆C上位于x轴上方的动点 直线 AS BS与直线 10 3 l x 分别交于 M N两点 I 求椭圆C的方程 求线段 MN 长度的最小值 解析 I 由已知得 椭圆 C 的左顶点为 0 2 A 上顶点为 1 0 D 1 2 ba 故椭圆 C 的方程为 1 4 2 2 y x 直线 AS 的斜率k显然存在 且0 k 故可设直线 AS 的方程为 2 xky 从而 3 16 3 10 k M 由 1 4 2 2 2 y x xky 得 0 41616 41 2222 kxkxk 设 11 yxS则 2 2 1 41 416 2 k k x 得 2 1 2 2 1 41 4 41 82 k k y k k x 从而 即 41 4 41 82 22 2 k k k k S 又 0 2 B 故直线 BS的方程为 2 4 1 x k y 由 3 10 2 4 1 x x k y 得 3 1 3 10 k y x 3 4 3 10 k N 故 3 1 3 16 k k MN 又 3 8 3 1 3 16 2 3 1 3 16 0 k k k k MNk 当且仅当 k k 3 1 3 16 即 4 1 k时 等号成立 4 1 k时 线段 MN 的长度取最小值 3 8 四 证明题 12 若 AB 是抛物线的焦点弦 过焦点的弦 且 求证 2 2 0 ypx p 11 A x y 22 B x y 2 1 2 4 p x x 2 12 y yp 证明 因为焦点坐标为 F 0 当 AB 不垂直于 x 轴时 可设直线 AB 的方程为 2 p 2 p yk x 由得 2 2 2 p yk x ypx 22 20kypykp 2 12 y yp 2242 12 12 2 2244 yypp x x ppp 当